高师院校数学专业开设高等几何课程的必要性

何星钢;王美娜;熊显萍;杨伟平

【摘 要】高等几何课程在数学专业课程中处于基础地位,它与初等几何有着非常密切的关系,高等几何课程对中学几何教学有重要的指导作用,在培养学生几何观点、几何思维和几何方法方面起到非常重要的作用. 【期刊名称】《兴义民族师范学院学报》 【年(卷),期】2013(000)006 【总页数】4页(P77-79,87)

【关键词】高等几何;欧氏几何;德萨格定理;数学专业课程 【作 者】何星钢;王美娜;熊显萍;杨伟平

【作者单位】兴义民族师范学院, 贵州 兴义 562400;兴义民族师范学院, 贵州 兴义 562400;兴义民族师范学院, 贵州 兴义 562400;兴义民族师范学院, 贵州 兴义 562400

【正文语种】中 文 【中图分类】O185 一、引言

高等几何是高等师范院校数学专业一门重要的基础课程。高等几何的主要内容和精华部分就是射影几何学，射影几何学是19世纪初期产生的几何学的又一分支，射影几何是研究几何图形的射影性质，即它们经过射影变换后，依然保持不变的图形

性质的几何学分支学科。曾经也叫做投影几何学，在经典几何学中，射影几何处于一个特殊的地位，通过它可以把其他一些几何学联系起来。1872年德国著名数学家克莱茵（F.Klein）在德国埃尔朗根（Erlangen）大学所作题为“近世几何学研究的比较评论”的报告中首次提出用变换群的观点来研究几何学，历史上称为埃尔朗根（Erlangen）纲领，他给出了欧氏几何、罗氏几何、黎氏几何在射影几何中的新的解释。克莱茵用变换群的观点不仅把欧氏几何、仿射几何、射影几何统一起来，而且把表面上互相矛盾的欧氏几何、罗氏几何、黎氏几何也都统一为射影几何的子几何，并且给出了它们在射影几何中的模型，这样射影几何就与初等几何建立了相互关系。

在经历了教育部的全面教学评估后，高等师范院校在对各类专业的课程设置开始了新一轮的论证和改革，在数学专业的课程设置改革中，有人认为高等几何课程内容陈旧过时，跟不上时代发展的要求，该门课程可开可不开。于是，部分院校把高等几何课程(有的院校开设的是《几何学引论》，其主要介绍的内容就是射影几何学）确定为选修课,有的院校在专业课程设置中甚至把高等几何课程取消了，然而高等师范院校数学专业培养的学生大多数是未来的中学数学教师，高等几何对学生几何观点的提高、几何思维和几何方法的培养起着重要作用。高等几何课程的开设，将对数学专业培养的毕业生今后进行中学几何的教学具有重要的指导作用。 二、高等几何课程在数学专业课程中的基础地位

高等几何与高等代数、数学分析在高等师范院校数学专业课程中统称“三高”，它是高等师范院校数学专业的一门重要课程，也是进一步学习其它专业课程的基础。高等几何蕴含着许多现代数学的思想、观点和方法，高等几何与初等几何的联系非常密切，为我们提供了解决初等几何问题的一些方法。高等几何在高等师范院校数学专业课程中处于基础地位。

我们知道，几何作为人类发展的智慧结晶，它为人类认识自然、改造自然和利用自

然提供了一种有效的工具，为人类开拓了更为广阔的空间视野，而且几何学的公理化思想和严格的演绎推理的方法为其它学科的发展树立了典范和产生了深刻的影响，例如牛顿力学就是几何学的公理化思想影响下的产物，它就是建立在最基本的三条牛顿定律的基础之上而展开的。还有几何学对人的逻辑思维能力的培养是其它学科无法替代的。尽管近代的集合论具有广泛的基础性应用，但从思维的角度来看，高等几何用来培养和发展人的逻辑思维能力和空间想象力仍然毫不逊色，并且它具有直观性和多样性，它既是抽象思维的源泉，也是抽象思维发展和体现的形式。对于未来的中学数学教师来说，具备较高层次的几何修养和丰富、渊博的几何学知识是十分必要和必须的，而高等几何中一些重要概念的引进、重要思想的形成、处理问题的方法等为我们认知水平的提高和数学素养的完善奠定了基础，高等几何在高等师范院校数学专业课程中的基础地位毋庸置疑。 三、高等几何与初等几何的密切关系

对几何学的研究，以前我们常见的是由欧几里得（Euclid）创建的公理化观点，除此之外还有克莱茵从变换群的观点，在变换群的观点下，一种变换群对应一种几何学，几何学研究的对象就是图形在此变换群下保持不变的性质和不变量。与射影变换群对应的是射影几何学，与仿射变换群对应的是仿射几何学，与正交变换群对应的是欧氏几何学，三个变换群的关系是：射影变换群“仿射变换群”正交变换群，因此，从变换群的观点来看，所对应的这几种几何学的关系为：射影几何学“仿射几何学”欧氏几何学，为此，十九世纪有一句名言：“一切几何学都是射影几何”。我们通常说的初等几何是以欧氏几何学为主要内容的，而欧氏几何是仿射几何及射影几何的子几何，在欧氏几何中可以讨论仿射性质和仿射不变量及射影性质和射影不变量。站得高，才能看得远，只有深入了解这几种几何间的关系，才能全面地掌握欧氏几何的内容，在研究欧氏几何的许多问题时可以站在高等几何的高度下去进行研究，用更高的观点去认识欧氏几何的内容。

四、高等几何课程对中学几何教学的指导作用

仅有初等几何的知识去进行中学几何教学是远远不够的，因为初等几何无论是在内容、方法，还是在几何思想方面都有很大的局限性。高等几何课程的有关仿射几何、射影几何的理论，可以开阔我们的几何空间的视野，认识用变换群的观点去研究几何学的思想，可以揭示仿射几何、射影几何、欧氏几何的内在联系，从而可以用更高的观点去认识欧氏几何，明晰欧氏几何的来龙去脉和在几何学中的地位以及研究的对象和范围，这样有助于我们从几何学的全局与整体来加深对中学几何教材的认识和理解，提高几何的教学能力。 1.高等几何是中学几何部分内容的依据

如著名的“九树十行”这个数学问题是以高等几何中的巴卜斯（Pappus）定理为基础的，立体几何直观图的画法、截面图的画法分别是以透视仿射对应的性质和Desargues（德萨格）定理为理论依据的。还有中学几何中一些难以讲透的问题在高等几何中得到全面讲透，如“圆为什么只需要不共线的三点就能确定？”，这个问题在中学很难讲清楚、讲透，而在高等几何中这个问题很容易讲清楚、讲透，它是由结论“一条非退化的二阶曲线由无三点共线的五点唯一确定”保证的。 2.高等几何有助于深入理解和把握中学几何教材

从变换群的观点来看，由于欧氏几何是仿射几何及射影几何的子几何，在仿射几何中矩形可变换为平行四边形，矩形的概念就失去了意义；在射影几何任何两条直线必然相交，平行线的概念就失去了意义，平行四边形也就失去了意义。因此，“几何是研究图形的形状、位置和大小的一门学科”可作为欧氏几何的定义，但是不能作为仿射几何和射影几何的定义。

就坐标系而言，笛卡尔直角坐标系是研究欧氏几何的最恰当的坐标系，而笛卡尔坐标系去掉横轴和纵轴上的单位长度的限制后就是仿射坐标系，引入齐次坐标后，对仿射平面上的通常元素与无穷远元素（无穷远点和无穷远直线的统称）不加区别，

同等看待，可得到一般的射影坐标系。反之，从一般的射影坐标系出发，去掉其特殊性就是仿射坐标系，从仿射坐标系又可以得到笛卡尔直角坐标系，对于坐标系的这种研究方法，不仅可以提高学生对坐标系的认识，而且还可以培养学生的数学素养。

中学的解析几何与高等几何均将二次曲线作为重要的研究对象，但是中学几何仅仅在欧氏几何的范围中进行研究，而高等几何既在欧氏几何的范围中进行研究，又在仿射几何和射影几何的范围中进行研究。站在射影几何的高度研究二次曲线的本质，是椭圆、双曲线、抛物线的共同特征，从配极、配极变换导出有关二次曲线的配极理论，把中学解析几何中的中心、直径、渐近线、焦点、准线统一在配极理论中，使这些概念在射影几何的高度之下得到统一。

3.高等几何的方法可以给出初等几何中一些问题的简捷证明

巴甫洛夫说过“方法是最主要的和最基本的东西，有了良好的方法，即使是没有多大才干的人也能作出许多成就，若果方法不好即使是有天才的人也将一事无成”。我们知道欧氏几何是仿射几何及射影几何的子几何，而中学几何的内容属于欧氏几何，所以仿射几何与射影几何的有关理论和方法完全适用于欧氏几何。因此，应用高等几何中的有关理论，可以使初等几何中的一些难题得到轻易的解决。 在高等几何中，经过适当的仿射变换，任意一个三角形、平行四边形、梯形、椭圆可分别变为正三角形、正方形、等腰梯形、圆，那么对于有关仿射性质的一些命题，可将命题中的一般图形利用仿射变换使它特殊化。若所给命题在特殊的图形中成立，根据仿射变换的性质（仿射变换保持同素性、结合性和平行性不变；保持共线三点的单比不变）可知，所给命题在原图形中也成立。在证明一些共线点或共点线的问题时，可利用“投影到无穷远”的方法把相交直线投影成平行直线，在投影后的图形中容易证明共线点或共点线的问题，利用中心射影保持结合性不变的性质，原命题得证。另外，帕斯卡（Pascal）定理、布利安桑（Brianchon）定理、巴卜斯

（Pappus）定理、Desargues（德萨格）定理、完全四点形的调和性、配极变换、透视变换等，都可以简捷地解决某类初等几何的共线和共点问题。 4.高等几何能为初等几何构造出新命题

许多初等几何命题是以高等几何为背景的，而许多高等几何中的定理又可以用中学几何的方法给出证明或解答，高等几何中的仿射变换和射影变换可以沟通特殊与一般的关系。因此，可以利用变换、对偶等方法来构作中学几何的一些新命题，这也是探索中学数学教学改革方向的一种启迪。

例如，Desargues（德萨格）定理：如果两个三点形对应顶点的连线共点，那么它们对应边的交点共线。此定理中的三点形应理解为中学几何中的三角形；若有两直线平行，则这两平行直线交于一无穷远点。利用Desargues（德萨格）定理可以构造出如下几个初等几何命题：（1）三角形的垂足三角形的三边与原三角形的对应边的交点共线；（2）以三角形的三条内角平分线与对边交点为顶点的三角形的三边与原三角形的对应边的交点共线；（3）三角形的三边中点的连线构成的三角形的三边与原三角形的对应边分别平行；利用Pascal（帕斯卡）定理：圆锥曲线的内接六点形的三双对应边的交点共线。可以构造如下几个初等几何命题：（此定理中的六点形应理解为中学几何中的六边形）（1）△ABC与△A′B′C′为同一圆的两个内接三角形，若AB与A′B′交于D,BC与B′C′交于E,求证：AC与 A′C′的交点在 D、E的连线上；（2）ABCDE为圆的内接五边形，若AB与DE交于M，BC与过E的切线交于点N，则CD与AE的交点在M、N的连线上；（3） ABCD为圆的内接四边形，若BC与过点A的切线交于点M，AD与过点B的切线交于点N，求证：AB与CD的交点必在M、N的连线上。

综上所述，高等几何课程的有关仿射几何、射影几何的理论，可以开阔教师的几何空间的视野。高等几何教学中用现代思维和变换群的观点引导学生进行多层次思维，可以培养学生的抽象思维能力和创新精神。而用变换群的观点去研究几何学的思想，

可以揭示仿射几何、射影几何、欧氏几何的内在联系，只有深入了解这几种几何间的关系，才能全面地掌握欧氏几何的内容，在研究欧氏几何的许多问题时站在高等几何的高度下去进行研究，用更高的观点去认识欧氏几何的内容，从而对初等几何教学进行引领与指导。 参考文献：

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