一元一次函数

一、知识回顾

1、定义：若两个变量x、y间的关系可以表示成则称y是x的一次函数（xykxb(k、b为常数,k0)的形式，

为自变量，y是因变量）。特别地，当b0，y是x的正比例函数。 一般形式：（1）一次函数：ykxb(k、b为常数,k0) （2）正比例函数：ykx(k为常数,k0) （3）定义域、值域 关系：正比例函数是特殊的一次函数。 2、一次函数的图象

画法：一次函数的图象都是一条直线，因为两点确定一条直线，所以画一次函数的图象时只需要描出两个点，再连成直线即可。 解读：（1）一次函数ykxb是经过点(b,0)、(0,b)的一条直线。 k(1,k)的一条直线。 （2）正比例函数ykx是经过原点(0,0)、

（3）一次函数的性质 当

k0时，y随x的增大而增大；当k0时，y随x的增大

而减小。

（4）位置关系（yk1xb1；yk2xb2表示两条直线） 当k1k2且b1b2时，yk1xb1与yk2xb2平行； 当k1k21时，yk1xb1与yk2xb2相互垂直。

（5）一次函数图像过哪些象限。 当

k0时，k0时，

函数图像过一、三象限；当函数图象过二、

bb0时，

四象限。表示函数图象与y轴的交点，也叫截距。当

函数图象与y轴正半轴相交；当交。具体图象位置关系如下： 3、确定一次函数解析式 方法：待定系数法

4、函数与函数间的交点问题。

方法：将两函数的解析式联立解方程组。

b0时，函数图象与y轴负半轴相b0 b0 b0 k0 过象限________ 过象限________ 过象限________ 过象限________ k0 过象限________ 过象限________ 5、在平面直角坐标系下，任意两点间的距离

22AB(xx)(yy)A（x,y）,B(x,y)12121122若；则

考点精析

、y2x3、y5x1,y3x5例1 （1）试着判断yx1一定不过那些象限？

（2）若y2 与x成正比例，当函数表达式。

变式练习

2kk____y（k2k）x1、当时，

2x3时，y4则求y 与x的

3是正比例函数。

mn0）2、已知ym与xn（m,n为常数，成正比例，试说明

（1）

y 是x的一次函数。

y 是x的正比例函数。

（2）在什么情况下，

3、已知两条直线y2xa、yxb的交点坐标在第一象限内，试着判断两直线分别过那些象限。

1,2）,B(3,4)求直线AB的例2 （1） 已知，在直角坐标系中，A（解析式并求出直线AB要过的两个定点。

（2）若a为任意实数，则一次函数yax14a的图象必过一定点，求此定点的坐标。

变式练习

,B(c,d)，则1、若一次函数yx5的图象经过点A（a,b）a(cd)b(cd)的值为___________。

2、若一次函数ymx(4m4)的图象经过原点，则m的值为___. 3、一次函数ymx(4m4)，恒过的定点为________。

1,2）,B(3,6)求直线AB的解析式并4、已知，在直角坐标系中，A（求出直线AB要过的两个定点。试着求出AB的长度？

例3 已知一条直线解析式为y2x3 ，A（1，2）为直线外一点。试求（1）过A点与已知直线垂直的直线的解析式；

（2）过A点与已知直线平行的直线的解析式；

例4 已知A（1,1）B（2,，3）C（2，5）D（-1,3）四点；

试求（1）直线AB、BC、CD、BD的解析式；若所求直线均过（-1， a），（1，b）试着比较a、b的大小？

（2）直线AB与BC、CD与BD的交点坐标。

变式训练： 1、若y1xn与ymx1交于一点(1，2)，则m的值为____。 222、若yxm与y4x1相交于x轴上一点，则m的值为____。

(1,b)两点，试比较a____b。 3、若直线y2xm经过(1,a)、4、若直线ykxb与直线y2x1平行，且与另一直线

yx3相交于y轴上一点，则此直线的表达式为___________。

5、若直线ykxb与直线y2x1垂直，且与另一直线

yx3相交于y轴上一点，则此直线的表达式为___________。

拓展练习

2y2x1yx1有交点，1、若直线与函数则交点坐标为____. 2y2x2、若函数与函数y

2

x有交点，则交点坐标为_______.

3、已知正方形A1B1C1O,A2B2C2C1，A3B3C3C2,按如图所示的方式放置。点A1，A2，A3和点C1，C2，C3分别在直线

ykxb和x轴上，若点B（，1）、B（）1123,2则点Bn______。 （，0）4、已知直线ykxb过点且与坐标轴围成的三角形的面2525积为4，求该直线的函数表达式。

用函数观点看方程组与不等式

知识点归纳

一、一元一次方程与一次函数的联系

（1）从“数”的方面看，当一次函数的值为0时，相应自变量的值

即为方程的解；

（2）从“形”的方面看，函数与x轴交点的横坐标即为方程的解。 解读：例：一元一次方程2x40与一次函数y2x4的联系，从“数”的方面看，当一次函数y2x4的函数值为0时，相应的自变量

x2即为方程2x40的解；从“形”的方面看，一

（2,0）次函数y2x4的图象与x轴的交点的横坐标

为方程

x2，

即

2x40的解。

二、一元一次不等式与一次函数的关系

（1）从“数”的方面看，任何一个一元一次不等式都可以转化为

axb0或axb0的形式，所以解一元一次不等式可以看做当

一元一次函数函数值大于0（或小于0），求自变量相应的取值范围。 （2）从“形”的方面看，不等式

axb0的解可以当成是一次函

数yaxb的图象在x轴上方的部分对应的自变量的取值范围；

axb0的解可以当成是一次函数yaxb的图象在x轴下方

的部分对应的自变量的取值范围。

解读：例：已知一次函数y2x1，当x取何值时，函数值大于零？

求不等式

2x10的解集。

三、二元一次方程与一次函数的关系

关系：一般地，一个二元一次方程有无数个解，以这些解为坐标的点所组成的图形，是一条直线，也就是说，以一个二元一次方程的所有解为坐标的点所围成的图形可以看做是一个一次函数的图象。 解读：例：以方程2xy4的解为坐标的所有点组成的图形就是一次函数y42x的图象。

四、二元一次方程组与一次函数的关系

（1）一般地，一个二元一次方程组（两个二元一次方程组成）的解为坐标的点，可以看做是两个一次函数所组成的图象的交点（即两条直线的交点）。

（2）两个一次函数所组成的图象的交点（即两直线的交点），可以看成某个二元一次方程组的解。

（3）两直线yk1xb1,yk2xb2的交点与方程组的解的关系。

yk1xb1yk2xb2两直线重合，方程组有无数组解b1b2k1k2两直线平行，方程组无解b1b2b1b2两直线交于y轴上一点，方程组有解

kk12y轴上一点，方程组有解b1b2两直线交于不在注意：在比较时，必须化简成上述标准的直线表达式ykxb。