2021-2022学年辽宁省锦州市七年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共20.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. −√3的倒数是( )
A. −√3 B. −1√3 C. 1√3 D. √3
2. 2021年7月24日，中共中央办公厅、国务院办公厅印发了《关于进一步减轻义务教育阶段学生作业负担和校外培训负担的意见》9月23日，教育部基础教育司司长吕玉刚在教育部新闻通气会上介绍，截至9月22日，全国有7743.1万名学生参加了课后服务．将数据7743.1万用科学记数法可表示为( )
A. 77431×103 B. 77.431×106 C. 7.7431×107 D. 0.77431×108
3. 质检员在一批足球中抽出四个进行质量检测，超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，下列四个球中，最接近标准质量的足球是( )
A.
B.
C.
D.
4. 如图，是由五个相同的小立方体搭成的几何体，则从左面看到这个几何体的形状图是( )
A.
B.
C.
D.
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5. 下面的调查，适合抽样调查的是( )
A. 了解某班学生每周课外阅读的情况 C. 了解某班同学每周体育锻炼的时间
B. 了解某鞋厂生产的鞋底能承受的弯折次数 D. 了解某校师生新冠疫情期间每日的体温
6. 若关于𝑥的方程3𝑥+2𝑘−4=0的解是𝑥=−2，则𝑘的值是( )
A. 5 B. 2 C. −2 D. −5
7. 下列运算正确的是( )
A. |𝜋−4|=𝜋−4 C. 5𝑎+3𝑎2=8𝑎3
B. (−2)÷2=−1 D. 𝑎2𝑏−5𝑏𝑎2=−4𝑎2𝑏
1
8. 按一定规律排列的单项式：−𝑎，4𝑎3，−9𝑎5，16𝑎7，−25𝑎9，⋯，则第𝑛个单项式是( )
A. (−1)𝑛𝑛2𝑎2𝑛−1 B. (−1)𝑛𝑛2𝑎2𝑛+1 C. (−𝑛)2𝑎2𝑛−1
9. 下列说法正确的是( )
D. (−𝑛)2𝑎2𝑛+1
A. 连接两点的线段叫做这两点之间的距离 B. 若𝐴𝑃=𝐵𝑃，则𝑃为线段𝐴𝐵的中点
C. 若𝐶，𝐷是线段𝐴𝐵上两点，𝐴𝐶=𝐵𝐷，则𝐴𝐷=𝐵𝐶 D. 若∠𝐴𝑂𝐵=2∠𝐴𝑂𝐶，则𝑂𝐵是∠𝐴𝑂𝐶的平分线
10. 中国古代问题：有甲、乙两个牧童，甲对乙说：“把你的羊给我1只，我的羊数就是你的羊数的两倍”.乙回答说：“最好还是把你的羊给我1只，我们的羊数就一样了”.若设甲有𝑥只羊，则所列方程正确的是( )
1
A. 𝑥+1=2𝑥−1 C.
二、填空题（本大题共8小题，共16.0分）
11. 单项式−𝑥2𝑦的次数是______．
4
3
𝑥+1
+12
B. D.
𝑥+1
2
=𝑥−1
=𝑥−1
=𝑥−1
𝑥+3
+12
12. 下列是根据我国历次人口普查数据，绘制的全国人口年平均增长率的折线图，根据图中提
供的信息，可以判断我国人口年平均增长率的变化趋势是逐渐______.(填“下降”或“上升”)
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13. 如图，将一个三角板60°角的顶点与另一个三角板的直角顶点重合，若∠1=25°40′，则∠2=______．
14. 如图，𝐴为数轴上表示2的点，点𝐵到点𝐴的距离是5，则点𝐵在数轴上所表示的有理数为 ．
15. 如图，𝐶，𝐷是线段𝐴𝐵上的点，若𝐴𝐵=8，𝐶𝐷=2，则图中以𝐶为端点的所有线段的长度之和为______．
16. 如图，从一个四边形的同一个顶点出发可以引出1条对角线，从五边形的同一个顶点出发，…，可以引出2条对角线，从六边形的同一个顶点出发，可以引出3条对角线，依此规律，从2022边形的同一个顶点出发，可以引出的对角线数量为______条．
17. 某品牌电饭煲按进价提高40%后标价．2021年“双十一”期间，商家为了提高该品牌电饭煲的销售量，在九折的基础上，满1000元赠送一张118元的代金券．某顾客购买该品牌电饭煲时，使用一张代金券后，又付现金1016元，则该品牌电饭煲的进价是______元． 18. 用“#”定义一种新运算，根据定义的这种新运算得到下列各式：1#3=5×1+3=8；3#(−1)=5×3−1=14；5#6=5×5+6=31；(−6)#(−3)=5×(−6)−3=−33，若𝑎，𝑏是有理，则这个定义的新运算是𝑎#𝑏=______.(用含𝑎，𝑏的代数式表示)
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三、计算题（本大题共1小题，共14.0分）
19. 计算下列各题
(1)27÷(−3)2−(−)3×(−2)；
(2)535−(−19)−21+465−14+21；(要求用箱便方法计算)
(3)先化简，再求值：3𝑏3−𝑎2−2(2𝑎2−3𝑎𝑏2)+6(𝑎2−𝑏3)，其中𝑎=2，𝑏=−1．
四、解答题（本大题共7小题，共50.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
20. (本小题8.0分) 解下列方程：
(1)4(𝑥+2)=23−3𝑥； (2)4−1=
𝑥+5
2𝑥+1
． 31
12
2
3
12
21. (本小题5.0分)
如图，已知直线𝑙和直线𝑙外三点𝐴，𝐵，𝐶，请按下列要求作图： (1)作射线𝐴𝐵； (2)连接𝐵𝐶；
(3)在射线𝐴𝐵上取一点𝐷，使𝐴𝐷=𝐴𝐵+2𝐵𝐶；(请用尺规作图，不写作法和结论) (4)在直线𝑙上确定一点𝐸，使得𝐴𝐸+𝐶𝐸最短．(请保留作图痕迹)
22. (本小题6.0分)
某初中开展“阳光体育一小时”活动，根据学校实际情况，决定开设踢键子、篮球、跳绳、健美操四种运动项目(分别用𝐴，𝐵，𝐶，𝐷表示)，为了解学生最喜欢哪一种运动项目，随机抽取了部分学生进行调查(每个被调查的学生必须选择一种且只能选择一种).并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．请结合图中的信息解答下列问题：
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(1)本次共调查学生______名；
(2)请补全条形统计图，并求扇形统计图中𝐶部分所对应的扇形圆心角的度数； (3)若该校有1500名学生，喜欢篮球运动的学生约有多少名？ 23. (本小题6.0分)
如图，在一条道路的同侧有𝐴，𝐵，𝐶，𝐷四个小区，其中𝐴与𝐵相距𝑥 𝑚，𝐵与𝐶相距150𝑚，𝐶与𝐷相距𝑥 𝑚，某公司的员工住在𝐴小区的有20人，𝐵小区的有6人，𝐶小区的有15人，𝐷小区的有8人．
(1)该公司计划在𝐵，𝐶小区的位置任选一个作为班车停靠点，设所有员工步行到𝐵，𝐶小区的路程总和分别为𝑠1，𝑠2，试求𝑠1，𝑠2；(用含𝑥的代数式表示)
(2)为了使所有员工步行到班车停靠点的路程总和最小，那么停靠点的位置应该选在𝐵小区还是𝐶小区？请说明理由．
24. (本小题8.0分)
某口罩厂从相距365𝑘𝑚的𝐴地采购了一批生产设备，用一辆货车以60𝑘𝑚/ℎ的平均速度将设备从𝐴地运回该厂所在的𝐵地．为了尽快投入生产，在货车出发前1ℎ，该口罩厂派一辆轿车前往𝐴地接技术人员来厂调试设备．已知轿车以110𝑘𝑚/ℎ的平均速度沿同一条公路从𝐵地前往𝐴地，到达𝐴地后(在𝐴地停留时间忽略不计)立即按原路原速返回．问货车与轿车在途中相遇几次？相遇时货车出发的时间是多少？(要求用方程解决问题) 25. (本小题8.0分)
小明在学习了比较线段的长短时对下面一道问题产生了探究的兴趣：
如图1，点𝐶在线段𝐴𝐵上，𝑀，𝑁分别是𝐴𝐶，𝐵𝐶的中点．若𝐴𝐵=12，𝐴𝐶=8，求𝑀𝑁的长．
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(1)根据题意，小明求得𝑀𝑁=______；
(2)小明在求解(1)的过程中，发现𝑀𝑁的长度具有一个特殊性质，于是他先将题中的条件一般化，并开始深入探究．
设𝐴𝐵=𝑎，𝐶是线段𝐴𝐵上任意一点(不与点𝐴，𝐵重合)，小明提出了如下三个问题，请你帮助小明解答．
①如图1，𝑀，𝑁分别是𝐴𝐶，𝐵𝐶的中点，则𝑀𝑁=______；
②如图2，𝑀，𝑁分别是𝐴𝐶，𝐵𝐶的三等分点，即𝐴𝑀=3𝐴𝐶，𝐵𝑁=3𝐵𝐶，求𝑀𝑁的长；
1
1
③若𝑀，𝑁分别是𝐴𝐶，𝐵𝐶的𝑛等分点，即𝐴𝑀=𝑛𝐴𝐶，𝐵𝑁=𝑛𝐵𝐶，则𝑀𝑁=______． 26. (本小题9.0分)
如图，已知∠𝐴𝑂𝐵(45°<∠𝐴𝑂𝐵<90°)，
(1)以𝑂𝐵为边作∠𝐵𝑂𝐶，使∠𝐵𝑂𝐶=90°−∠𝐴𝑂𝐵，在给出的图形中画出满足条件的所有∠𝐵𝑂𝐶；(请利用具角器和直尺画图)
(2)在(1)的条件下，作∠𝐴𝑂𝐶的平分线𝑂𝐷， ①若∠𝐴𝑂𝐵=70°，求∠𝐴𝑂𝐷的度数； ②若∠𝐴𝑂𝐵=58°，则∠𝐴𝑂𝐷的度数是______； ③若∠𝐴𝑂𝐵=𝛼，则∠𝐴𝑂𝐷的度数是______．
1
1
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答案和解析
1.【答案】𝐵
【解析】解：−√3的倒数是−故选：𝐵．
根据倒数的定义写出即可．
本题考查了倒数的定义，属于基础题，比较简单．
1， √32.【答案】𝐶
【解析】解：7743.1万=774310000=7.7431×107． 故选：𝐶．
科学记数法的表示形式为𝑎×10𝑛的形式，其中1≤|𝑎|<10，𝑛为整数．确定𝑛的值时，要看把原数变成𝑎时，小数点移动了多少位，𝑛的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值≥10时，𝑛是正数；当原数的绝对值<1时，𝑛是负数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为𝑎×10𝑛的形式，其中1≤|𝑎|<10，𝑛为整数，正确确定𝑎的值以及𝑛的值是解决问题的关键．
3.【答案】𝐶
【解析】解：∵|+0.7|=0.7，|−0.8|=0.8，|+0.6|=0.6，|−1.3|=1.3， ∴0.6<0.7<0.8<1.3，
∴上列四个球中，𝐶是最接近标准质量的足球， 故选：𝐶．
求出这些正数和负数的绝对值，然后进行比较即可． 本题考查了正数和负数，比较这些数的绝对值是解题的关键．
4.【答案】𝐷
【解析】解：从左边看，底层是两个正方形，上层的左边是一个正方形． 故选：𝐷．
左视图是从左边看得出的图形，结合所给图形及选项即可得出答案．
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本题考查了简单组合体的三视图，从上边看得到的图形是俯视图是解题关键．
5.【答案】𝐵
【解析】解：𝐴.了解某班学生每周课外阅读的情况，适合全面调查，故本选项不符合题意； B.了解某鞋厂生产的鞋底能承受的弯折次数，适宜采用抽样调查，故本选项符合题意； C.了解某班同学每周体育锻炼的时间，适合全面调查，故本选项不符合题意； D.了解某校师生新冠疫情期间每日的体温，适合全面调查，故本选项不符合题意． 故选：𝐵．
根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似解答
本题考查的是抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．
6.【答案】𝐴
【解析】解：∵关于𝑥的方程3𝑥+2𝑘−4=0的解是𝑥=−2， ∴−6+2𝑘−4=0， 解得，𝑘=5， 故选：𝐴．
根据一元一次方程的解的定义计算即可．
本题考查的是一元一次方程的解，使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解．
7.【答案】𝐷
【解析】解：𝐴、原式=4−𝜋，故此选项不符合题意； B、原式=−×=−，故此选项不符合题意；
224C、5𝑎与3𝑎2不是同类项，不能合并计算，故此选项不符合题意； D、原式=−4𝑎2𝑏，故此选项符合题意； 故选：𝐷．
1
1
1
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根据绝对值的意义判断𝐴，根据有理数除法运算法则进行计算判断𝐵，根据合并同类项运算法则判断𝐶和𝐷．
本题考查合并同类项，理解绝对值的意义，掌握合并同类项(系数相加，字母及其指数不变)的运算法则是解题关键．
8.【答案】𝐴
【解析】解：第𝑛个单项式为：(−1)𝑛𝑛2𝑎2𝑛−1， 故选：𝐴．
由所给的单项式可得，系数是(−1)𝑛𝑛2，次数为奇数2𝑛−1，则可求第𝑛个单项式为：(−1)𝑛𝑛2𝑎2𝑛−1． 本题考查数字的变化规律，根据所给单项式的系数与次数的特点，确定单项式的规律是解题的关键．
9.【答案】𝐶
【解析】解：𝐴、连接两点的线段的长度叫做这两点之间的距离，故A错误； B、若𝐴𝑃=𝐵𝑃，当𝑃点在线段𝐴𝐵上时，点𝑃在𝐴𝐵的中点上，故B错误； C、若𝐶，𝐷是线段𝐴𝐵上两点，𝐴𝐶=𝐵𝐷，则𝐴𝐷=𝐵𝐶，故C正确；
D、若∠𝐴𝑂𝐵=∠𝐴𝑂𝐶，射线𝑂𝐵在∠𝐴𝑂𝐶内部，则𝑂𝐵是∠𝐴𝑂𝐶的平分线，故D错误． 故选：𝐶．
A、依据两点之间的距离的定义可判断𝐴；𝐵、𝐶、由线段中点的定义可判断，𝐷、由角平分线的性质可判断𝐷．
本题主要考查的是线段的性质、角平分线的性质、两点之间的距离的定义，掌握相关概念和性质是解题的关键．
1
210.【答案】𝐷
【解析】解：设甲有𝑥只羊，乙的羊只数为：𝑥−1−1或根据题意可得：故选：𝐷．
设甲有𝑥只羊，根据乙的话可得乙的羊数的关系式，根据甲的话得到等量关系列方程即可．
𝑥+1
+12
𝑥+3
𝑥+1
+1， 2=𝑥−1−1，则2+1=𝑥−1．
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本题考查由实际问题列一元一次方程，设出甲有𝑥只羊，得到乙的羊数的关系式是解决本题的难点．
11.【答案】3
【解析】解：单项式−𝑥2𝑦的次数是3． 故答案为：3．
利用单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数，进而分析即可． 此题主要考查了单项式，正确把握单项式的次数的确定方法是解题的关键．
3
412.【答案】下降
【解析】 【分析】
本题考查的是折线统计图．读懂统计图并从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键． 折线图是用一个单位表示一定的数量，根据数量的多少描出各点，然后把各点用线段依次连接起来．以折线的上升或下降来表示统计数量增减变化． 【解答】
解：根据折线统计图可知，我国人口年平均增长率的变化趋势是逐渐下降． 故答案为：下降．
13.【答案】55°40′
【解析】解：∵∠𝐵𝐴𝐶=60°，∠1=25°40′， ∴∠𝐸𝐴𝐶=∠𝐵𝐴𝐶−∠1 =60°−25°40′ =59°60′−25°40′ =34°20′， ∵∠𝐸𝐴𝐷=90°， ∴∠2=∠𝐸𝐴𝐷−∠𝐸𝐴𝐶 =90°−34°20′ =89°60′−34°20′ =55°40′， 故答案为：55°40′．
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根据题目的已知可求出∠𝐸𝐴𝐶的度数，再利用90°减去∠𝐸𝐴𝐶的度数即可解答． 本题考查了度分秒的换算，熟练掌握度分秒的进制是解题的关键．
14.【答案】−3或7
【解析】 【分析】
本题考查数轴，解题的关键是正确讨论点𝐵的位置，本题属于基础题型．由题意可知点𝐵可在𝐴的左侧，也可在𝐴的右侧，然后根据两点间距离即可求出答案． 【解答】
解：设点𝐵所表示的数为𝑏， 当𝐵在𝐴左侧时，𝑏=−3， 当𝐵在𝐴右侧时，𝑏=7， 故答案为：−3或7．
15.【答案】10
【解析】解：以𝐶为端点的所有线段分别是𝐴𝐶、𝐶𝐷、𝐶𝐵共3条， ∵𝐴𝐵=8，𝐶𝐷=2， ∴𝐴𝐶+𝐶𝐷+𝐶𝐵 =(𝐴𝐶+𝐶𝐵)+𝐶𝐷 =𝐴𝐵+𝐶𝐷 =8+2 =10． 故答案为：10．
先根据线段的定义表示出以𝐶为端点的所有线段，再代入数据进行计算即可得解．
本题考查了两点间的距离，找线段时要按照一定的顺序做的不重不漏，求和时把相加等于𝐴𝐵的长度的两条线段结合成一组可以使运算更简便．
16.【答案】2019
【解析】解：从2022边形的同一个顶点出发，可以引出的对角线数量为：2022−3=2019(条)， 故答案为：2019．
𝑛边形从一个顶点出发可引出(𝑛−3)条对角线，据此作答．
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本题考查了多边形的对角线，𝑛边形从一个顶点出发可引出(𝑛−3)条对角线．
17.【答案】900
【解析】解：设该电饭煲的进价为𝑥元， 则(1+40%)𝑥×90%=1016+118， ∴1.2𝑥=696， 解得：𝑥=900．
答：该电饭煲的进价为580元． 故答案为：900．
首先根据题意，设该电饭煲的进价为𝑥元；然后根据：该电饭煲的进价×(1+40%)×90%=1016+118，列出方程，求出𝑥的值是多少即可．
此题主要考查了一元一次方程的应用，弄清题意，找出合适的等量关系，进而列出方程是解答此类问题的关键．
18.【答案】5𝑎+𝑏
【解析】解：∵1#3=5×1+3=8； 3#(−1)=5×3−1=14； 5#6=5×5+6=31；
(−6)#(−3)=5×(−6)−3=−33， ∴𝑎#𝑏=5𝑎+𝑏， 故答案为：5𝑎+𝑏．
根据已知等式得出其运算规律为：5乘以第一个数，再加上第二个数，据此可得答案． 本题主要考查列代数式，解题的关键是掌握列代数式时，要先认真审题，抓住关键词语，仔细辩析词义．如“除”与“除以”，“平方的差(或平方差)”与“差的平方”的词义区分．
19.【答案】解：(1)原式=27÷9−(−8)×(−2)
=3−4 =4；
11
1
1
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(2)原式=53+19+(−21)+46+(−14)+21 55=(53+46)+[19+(−14)]+[(−21)+21] =100+5+0 =105；
(3)原式=3𝑏3−𝑎2−4𝑎2+6𝑎𝑏2+6𝑎2−3𝑏3 =6𝑎𝑏2+𝑎2， 当𝑎=2，𝑏=−1时， 原式=6×2×(−1)2+22 =6×2×1+4 =12+4 =16．
【解析】(1)先算乘方，然后算乘除，最后算减法；
(2)将减法统一成加法，然后利用加法交换律和加法结合律进行简便计算； (3)原式去括号，合并同类项进行化简，然后代入求值．
本题考查有理数的混合运算，整式的加减—化简求值，注意明确有理数混合运算顺序(先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算)，掌握合并同类项(系数相加，字母及其指数不变)和去括号的运算法则(括号前面是“+”号，去掉“+”号和括号，括号里的各项不变号；括号前面是“−”号，去掉“−”号和括号，括号里的各项都变号)是解题关键．
2
53523
20.【答案】解：(1)4(𝑥+2)=23−3𝑥，
去括号，得4𝑥+2=23−3𝑥， 移项，得4𝑥+3𝑥=23−2， 合并同类项，得7𝑥=21， 系数化为1，得𝑥=3； (2)4−1=
𝑥+5
2𝑥+1
， 3
1
去分母，得3(𝑥+5)−12=4(2𝑥+1)， 去括号，得3𝑥+15−12=8𝑥+4，
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移项，得3𝑥−8𝑥=4−15+12， 合并同类项，得−5𝑥=1， 系数化为1，得𝑥=−．
【解析】(1)方程去括号、移项、合并同类项、系数化为1即可； (2)方程去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1即可．
本题考查了解一元一次方程，掌握解一元一次方程的基本步骤是解答本题的关键．
15
21.【答案】解：(1)(1)如图，射线𝐴𝐵为所作；
(2)如图，线段𝐵𝐶为所作； (3)如图，点𝐷为所作； (4)如图，点𝐸为所作．
【解析】本题考查了作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了直线、射线、线段和两点之间线段最短． (1)(2)(3)根据几何语言画出对应的几何图形；
(4)连接𝐴𝐶交直线𝑙于𝐸，根据两点之间线段最短可判断𝐸点满足条件．
22.【答案】200
【解析】解：(1)本次共调查学生30÷15%=200(名)， 故答案为：200；
(2)𝐵项目对应的人数为200×30%=60(名)， 补全图形如下：
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扇形统计图中𝐶部分所对应的扇形圆心角的度数为360°×(3)喜欢篮球运动的学生约有1500×30%=450(名)． (1)由𝐴项目人数及其所占百分比可得总人数；
70200=126°；
(2)总人数乘以𝐵项目对应百分比求出其人数，从而补全条形图，用360°乘以𝐶项目人数所占比例即可；
(3)总人数乘以样本中𝐵项目对应的百分比即可．
本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
23.【答案】解：(1)当停靠点的位置选在𝐵小区时，𝑠1=20𝑥+15×150+8(𝑥+150)=(28𝑥+
3450)𝑚，
当停靠点的位置选在𝐵小区时，𝑠2=20(𝑥+150)+6×150+8𝑥=(28𝑥+3900)𝑚； (2)选B小区， 理由：∵𝑥>0，
∴28𝑥+3450<28𝑥+3900，
∴当停靠点的位置选在𝐵小区时，使所有员工步行到班车停靠点的路程总和最小．
【解析】(1)当停靠点的位置选在𝐵小区时，当停靠点的位置选在𝐵小区时，根据题意列代数式即可得到结论；
(2)根据题意分别计算停靠点分别在𝐴、𝐵、𝐷、𝐶各点时员工步行的路程和，选择最小的即可求解． 本题主要考查了两点间的距离，理清题意，正确列出算式是解答本题的关键．
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24.【答案】解：相遇2次．设相遇时货车出发的时间是𝑥 ℎ，
当轿车从𝐵地前往𝐴地时，货车与轿车相遇(两车相向而行)，可列方程，得60𝑥+110 (1+𝑥)=365． 解方程，得𝑥=1.5，
当轿车从𝐴地返回𝐵地肘，轿车追上货车(两车同向而行)，可列方程，得110 (𝑙+𝑥)=365+60𝑥， 解方程，得𝑥=5.1，
因为365÷60=>5.1，所以1.5ℎ和5.1ℎ都符合題意，
12答：货车与轿车在途中相遇2次，相遇时货车出发的时间是1.5ℎ和5.1ℎ．
【解析】设相遇时货车出发的时间是𝑥 ℎ，当轿车从𝐵地前往𝐴地时，货车与轿车相遇(两车相向而行)，可列方程，得60𝑥+110 (1+𝑥)=365；当轿车从𝐴地返回𝐵地肘，轿车追上货车(两车同向而行)，可列方程，得110 (𝑙+𝑥)=365+60𝑥，解方程即可．
本题考查一元一次方程的实际应用，行程问题为很常见的一元一次方程应用题型，关键在于理解清楚题目中路程的等量关系，才能列出方程求解．
73
25.【答案】解：(1)6；
(2)①𝑎；
②因为𝐴𝑀=3𝐴𝐶，𝐵𝑁=3𝐵𝐶， 所以𝐶𝑀=𝐴𝐶，𝐶𝑁=𝐵𝐶，
33所以𝑀𝑁=𝐶𝑀+𝐶𝑁=𝐴𝐶+𝐵𝐶=𝐴𝐵，
333因为𝐴𝐵=𝑎， 所以𝑀𝑁=𝑎；
3③
𝑛−1
𝑎. 𝑛2
2
2
2
2
2
1
1
12【解析】 【分析】
本题考查线段的中点、线段的和差，解题的关键是掌握线段中点的定义及线段和差运算． (1)由𝐴𝐵=12，𝐴𝐶=8，𝑁分别是𝐴𝐶，𝐵𝐶的中点，得𝐵𝐶=𝐴𝐵−𝐴𝐶=4，根据𝑀，即得𝐶𝑀=𝐴𝐶=
24，𝐶𝑁=𝐵𝐶=2，故𝑀𝑁=𝐶𝑀+𝐶𝑁=6；
21
1
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𝑁分别是𝐴𝐶，𝐵𝐶的中点，知𝐶𝑀=𝐴𝐶，即得𝑀𝑁=𝐴𝐶+𝐵𝐶=𝐴𝐵，𝐶𝑁=2𝐵𝐶，(2)①由𝑀，2222故𝑀𝑁=𝑎；
②由𝐴𝑀=3𝐴𝐶，𝐵𝑁=3𝐵𝐶，知𝐶𝑀=3𝐴𝐶，𝐶𝑁=3𝐵𝐶，即得𝑀𝑁=𝐶𝑀+𝐶𝑁=3𝐴𝐶+3𝐵𝐶=
2
𝐴𝐵，故𝑀𝑁311
1
2
2
2
2
1211111
=𝑎；
1
𝑛−1
𝑛−1
𝑛−1
23③由𝐴𝑀=𝑛𝐴𝐶，𝐵𝑁=𝑛𝐵𝐶，知𝐶𝑀=𝑛𝐴𝐶，𝐶𝑁=𝑛𝐵𝐶，即得𝑀𝑁=𝐶𝑀+𝐶𝑁=𝑛𝐴𝐶+
𝑛−1
𝐵𝐶𝑛
=𝑛𝐴𝐵，故𝑀𝑁=𝑛𝑎.
𝑛−1𝑛−1
【解答】
解：(1)因为𝐴𝐵=12，𝐴𝐶=8， 所以𝐵𝐶=𝐴𝐵−𝐴𝐶=4， 因为𝑀，𝑁分别是𝐴𝐶，𝐵𝐶的中点， 所以𝐶𝑀=𝐴𝐶=4，𝐶𝑁=𝐵𝐶=2， 所以𝑀𝑁=𝐶𝑀+𝐶𝑁=6； 故答案为：6；
(2)①因为𝑀，𝑁分别是𝐴𝐶，𝐵𝐶的中点， 所以𝐶𝑀=𝐴𝐶，𝐶𝑁=𝐵𝐶，
22所以𝑀𝑁=𝐴𝐶+𝐵𝐶=𝐴𝐵， 因为𝐴𝐵=𝑎， 所以𝑀𝑁=𝑎； 2故答案为：𝑎；
2②见答案;
③因为𝐴𝑀=𝑛𝐴𝐶，𝐵𝑁=𝑛𝐵𝐶， 所以𝐶𝑀=𝐴𝐶，𝐶𝑁=𝑛𝐵𝐶， 𝑛所以𝑀𝑁=𝐶𝑀+𝐶𝑁=𝐴𝐶+𝑛𝐵𝐶=𝑛𝐴𝐵， 𝑛因为𝐴𝐵=𝑎，
𝑛−1
𝑛−1
𝑛−1
𝑛−1
𝑛−1
1
1
111
212121
1
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所以𝑀𝑁=𝑎， 𝑛故答案为：
𝑛−1
𝑎. 𝑛
𝑛−1
26.【答案】45°或13° 45°或𝛼−45°
【解析】解：(1)如图1，∠𝐵𝑂𝐶为所作； 如图2，∠𝐵𝑂𝐶为所作；
(2)①当射线𝑂𝐶在∠𝐴𝑂𝐵的外部，如图1， ∵∠𝐵𝑂𝐶=90°−∠𝐴𝑂𝐵， ∴∠𝐵𝑂𝐶+∠𝐴𝑂𝐵=90°， 即∠𝐴𝑂𝐶=90°， ∵𝑂𝐷平分∠𝐴𝑂𝐶， ∴∠𝐴𝑂𝐷=2∠𝐴𝑂𝐶=45°； 当射线𝑂𝐶在∠𝐴𝑂𝐵的内部，如图2， ∵∠𝐵𝑂𝐶=90°−∠𝐴𝑂𝐵=90°−70°=20°， ∴∠𝐴𝑂𝐶=∠𝐴𝑂𝐵−∠𝐵𝑂𝐶=70°−20°=50°， ∵𝑂𝐷平分∠𝐴𝑂𝐶， ∴∠𝐴𝑂𝐷=∠𝐴𝑂𝐶=25°；
综上所述，∠𝐴𝑂𝐷的度数为45°或25°； ②当∠𝐴𝑂𝐵=58°，
当射线𝑂𝐶在∠𝐴𝑂𝐵的外部时，∠𝐴𝑂𝐷=45°； 当射线𝑂𝐶在∠𝐴𝑂𝐵的内部时，∠𝐴𝑂𝐷=13°； 故答案为：45°或13°； ③当∠𝐴𝑂𝐵=𝛼，
121
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当射线𝑂𝐶在∠𝐴𝑂𝐵的外部时，∠𝐴𝑂𝐷=45°； 当射线𝑂𝐶在∠𝐴𝑂𝐵的内部时，∠𝐴𝑂𝐷=𝛼−45°． 故答案为：45°或𝛼−45°．
(1)分射线𝑂𝐶在∠𝐴𝑂𝐵的外部和内部分别画出图形；
(2)①当射线𝑂𝐶在∠𝐴𝑂𝐵的外部，如图1，易得∠𝐴𝑂𝐶=90°，则利用角平分线的性质得到∠𝐴𝑂𝐷=45°；当射线𝑂𝐶在∠𝐴𝑂𝐵的内部，如图2，先计算出∠𝐵𝑂𝐶=20°，则∠𝐴𝑂𝐶=50°，则利用角平分线的性质得到∠𝐴𝑂𝐷=25°；
②③利用同样方法分类讨论求∠𝐴𝑂𝐷的度数．
本题考查了作图−复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了角平分线的定义．
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