中考模拟试卷
数学试卷
题号 得分 一 二 一、选择题（本大题共8小题，共24.0分） 1. −2的绝对值等于( )
11
A. −2 B. 2 C. −2 D. 2
2. 研究表明，可燃冰是一种可替代石油的新型清洁能源，在我国某海域已探明的可燃冰储存量达
150000000000立方米，其中数字150 000 000 000用科学记数法可表示为( ) A. 15×1010 B. 0.15×1012 C. 1.5×1011 D. 1.5×1012 3. 如图是由5个相同的小正方体组成的立体图形，这个立体图形的左视图是( )
三 四 总分 A.
B.
C.
D.
31 −𝑥≤0
4. 不等式组{22的解集在数轴上表示正确的是( )
𝑥+2>0A. B. C. D.
1 5. 方程4𝑥2−2𝑥+4=0根的情况是( )
A. 有两个相等的实数根 B. 只有一个实数根 C. 没有实数根 D. 有两个不相等的实数根
EF平分∠𝐴𝐸𝐷交AB于点F，6. 如图𝐴𝐵//𝐶𝐷，点E是CD上一点，若∠𝐴𝐸𝐶=
42∘，则∠𝐴𝐹𝐸的度数为( ) A. 42∘ B. 65∘ C. 69∘ D. 71∘
BC切⊙𝑂于点B，OC平行于弦AD，⊙𝑂的直径𝐴𝐵=4，𝑂𝐶=5，7. 如图，
则AD的长为( )
6A. 5
B. 5
8
7 C. √5
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3 D. 2√5
𝑘𝑘
8. 如图，A，B两点在反比例函数𝑦=𝑥1的图象上，C，D两点在反比例函数𝑦=𝑥2的图象上，𝐴𝐶⊥𝑦轴于
点E，𝐵𝐷⊥𝑦轴于点F，𝐴𝐶=2，𝐵𝐷=1，𝐸𝐹=3，则𝑘1−𝑘2的值是( ) A. 6 B. 4 C. 3 D. 2
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分） 9. 计算：√2×√3=______． 10. 分解因式：𝑥2𝑦−𝑦=______．
11. 如图，从边长为(𝑎+3)的正方形纸片中剪去一个边长为3的正方形，剩余部分沿虚线又剪拼成一个如
图所示的长方形(不重叠无缝隙)，则拼成的长方形的另一边长是______．
12. “今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸，问井深几
何？”这是我国古代数学《九章算术》中的“井深几何”问题，它的题意可以由图获得，则井深为______尺.
13. 如图，四边形ABCD中，𝐴𝐵=𝐶𝐷，𝐴𝐷//𝐵𝐶，以点B为圆心，BA为半径的圆弧与BC交于点E，四边
形AECD是平行四边形，𝐴𝐵=5，则图中阴影部分扇形面积是______．
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14. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数𝑦=−𝑥2+𝑏𝑥+5的图象与y轴交于点B，以点C为圆心的半圆
7
与抛物线𝑦=−𝑥2+𝑏𝑥+5相交于点A、𝐵.若点C的坐标为(−1,2)，则b的值为______．
三、计算题（本大题共2小题，共12.0分）
7
15. 先化简，再求值：(2𝑎−3)(2𝑎+3)−(𝑎+1)(4𝑎−2)，其中𝑎=2．
16. 《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，其中有一段文字的大意是：甲、乙两人各有若干钱.如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱48文；如果乙得到甲所有钱的3，那么乙也共有钱48文.甲、乙两人原来各有多少钱？
四、解答题（本大题共8小题，共66.0分）
17. 甲、乙两个不透明的口袋中各装有3个小球，它们除所标数字不同外其余均相同.甲口袋中小球分别标
有数字1，6，7，乙口袋中小球分别标有数字1，2，4.现从甲口袋中随机摸出1个小球，记下标号；再从乙口袋中随机摸出1个小球，记下标号.用树状图(或列表)的方法，求两次摸出小球的标号之积是偶数的概率．
18. 第24届冬季奥林匹克运动会将于2022年02月04日～2022年02月20日
在我国北京举行，全国人民掀起了雪上运动热潮.如图，一名滑雪运动员沿
∘
着倾斜角为34的斜坡，从A滑行至𝐵.若这名滑雪运动员的高度下降了300米，求他沿斜坡滑行了多少米？(结果精确到0.1米)(参考数据：sin34∘=0.56，cos34∘=0.83，tan34∘=0.67)
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2
19. 为发展学生的核心素养，培养学生的综合能力，某学校计划开设四门选修课：乐器、舞蹈、绘画、书
法，学校采取随机抽样的方法进行问卷调查(每个被调查的学生必须选择而且只能选择其中一门).对调查结果进行整理，绘制成如下两幅不完整的统计图.请结合图中所给信息解答下列问题：
(1)本次调查的学生共有______人，在扇形统计图中，m的值是______．
(2)分别求出参加调查的学生中选择绘画和书法的人数，并将条形统计图补充完整． (3)该校共有学生2000人，估计该校约有多少人选修乐器课程？
20. 如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵=𝐴𝐶，点D是边BC的中点，过点A、D分别作BC与AB的平行线，相交于点
E，连结EC、𝐴𝐷.求证：四边形ADCE是矩形．
21. 某工厂安排甲、乙两个运输队各从仓库调运物资300吨，两队同时开始工作，甲运输队工作3天后因故
1
停止，2天后重新开始工作，由于工厂调离了部分工人，甲运输的工作效率降低到原来的2.甲、乙运输队调运物资的数量𝑦(吨)与甲工作时间𝑥(天)的函数图象如图所示． (1)𝑎=______；𝑏=______．
(2)求甲运输队重新开始工作后，甲运输队调运物资的数量𝑦(吨)与工作时间𝑥(天)的函数关系式； (3)直接写出乙运输队比甲运输队多运50吨物资时x的值．
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D、E分别是AB、AC两边的中点，22. 感知：如图1，在△𝐴𝐵𝐶中，延长DE至点F，使𝐸𝐹=𝐷𝐸，连结𝐹𝐶.易
知△𝐴𝐷𝐸≌△𝐶𝐹𝐸． 探究：如图2，AD是△𝐴𝐵𝐶的中线，BE交AC于点E，交AD于点F，且𝐴𝐸=𝐸𝐹，求证：𝐴𝐶=𝐵𝐹．
DE是△𝐴𝐵𝐶的中位线.过点D、E作𝐷𝐹//𝐸𝐺，∠𝐵=60∘，𝐴𝐵=4，𝐵𝐶=6，应用：如图3，在△𝐴𝐵𝐶中，
分别交边BC于点F、G，过点A作𝑀𝑁//𝐵𝐶，分别与FD、GE的延长线交于点M、N，则四边形MFGN周长C的取值范围是______．
23. 如图1，在▱ABCD中，𝐴𝐷=6𝑐𝑚，𝐴𝐵=8𝑐𝑚，∠𝐷𝐴𝐵=120∘，射线AE平分∠𝐷𝐴𝐵.动点P以1𝑐𝑚/𝑠的
速度沿AD向终点D运动，过点P作𝑃𝑄⊥𝐴𝐷交AE于点Q，过点P作𝑃𝑀//𝐴𝐸，过点Q作𝑄𝑀//𝐴𝐷，交PM于点𝑀.设点P的运动时间为𝑡(𝑠)，四边形APMQ与四边形ABCD重叠部分面积为𝑆(𝑐𝑚2).
(1)𝑃𝑄=______.(用含t的代数式表示) (2)当点M落在CD上时，求t的值． (3)求S与t之间的函数关系式．
(4)如图2，连结AM，交PQ于点G，连结AC、BD交于点H，直接写出t为何值时，GH与三角形ABD的一边平行或共线．
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24. 定义：如图1，在平面直角坐标系中，点M是二次函数𝐶1图象上一点，过点M作𝑙⊥𝑥轴，如果二次函
数𝐶2的图象与𝐶1关于l成轴对称，则称𝐶2是𝐶1关于点M的伴随函数.如图2，在平面直角坐标系中，二次函数𝐶1的函数表达式是𝑦=−2𝑥2+2，点M是二次函数𝐶1图象上一点，且点M的横坐标为m，二次函数𝐶2是𝐶1关于点M的伴随函数． (1)若𝑚=1， ①求𝐶2的函数表达式．
②点𝑃(𝑎,𝑏1)，𝑄(𝑎+1,𝑏2)在二次函数𝐶2的图象上，若𝑏1≥𝑏2，a的取值范围为______． (2)过点M作𝑀𝑁//𝑥轴，
①如果𝑀𝑁=4，线段MN与𝐶2的图象交于点P，且MP：𝑃𝑁=1：3，求m的值．
②如图3，二次函数𝐶2的图象在MN上方的部分记为𝐺1，剩余的部分沿MN翻折得到𝐺2，由𝐺1和𝐺2所组成的图象记为𝐺.以𝐴(1,0)、𝐵(3,0)为顶点在x轴上方作正方形𝐴𝐵𝐶𝐷.直接写出正方形ABCD与G有三个公共点时m的取值范围．
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答案和解析
【答案】 1. D 2. C 3. A
4. A 5. A 6. C 7. B
8. D
9. √6
10. 𝑦(𝑥+1)(𝑥−1) 11. 𝑎+6 12. 57.513. 25𝜋
6
14. −1
2
15. 解：(2𝑎−3)(2𝑎+3)−(𝑎+1)(4𝑎−2)
=4𝑎2−9−4𝑎2−2𝑎+2
=−2𝑎−7当𝑎=7，
2时，原式=−2×7
2
−7=−7−7=−14．
16. 解：设甲原有x文钱，乙原有y文钱，
1
由题意可得，{𝑥+22𝑦=48
𝑥+𝑦=48
，
解得：{𝑦𝑥=36
3
=24，
答：甲原有36文钱，乙原有24文钱． 17. 解：列表得： 甲 乙 1 6 7 1 1 6 7 2 2 12 14 4 4 24 28 ∴𝑃(两次摸出的小球标号之积是偶数)=7
18. 9．
解：如图在𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐶=300米，∠𝐴𝐶𝐵=90∘，∠𝐴𝐵𝐶=34∘，
则𝐴𝐵=𝐴𝐶÷sin34∘=300÷0.56≈535.7𝑚． 答：他沿斜坡大约滑行了535.7米． 19. 50；30%
20. 证明：∵𝐴𝐸//𝐵𝐷，𝐷𝐸//𝐴𝐵 ∴四边形ABDE是平行四边形 ∴𝐴𝐵=𝐷𝐸，𝐴𝐸=𝐵𝐷
∵𝐴𝐵=𝐴𝐶∴𝐷𝐸=𝐴𝐶 D
∵点是BC的中点 ∴𝐵𝐷=𝐶𝐷 𝐴𝐷⊥𝐵𝐶 所以𝐴𝐸=𝐷𝐶，𝐴𝐸//𝐷𝐶
∴四边形ADCE是平行四边形
∵∠𝐴𝐷𝐶=90∘
∴平行四边形ADCE是矩形 21. 5；11
22. 4√3+6≤𝐶≤4√7+6 23. √3𝑡
24. 𝑎≥3
2
【解析】
1. 解：根据绝对值的性质， |−2|=2． 故选：D．
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根据绝对值的性质：一个负数的绝对值是它的相反数解答即可．
0的绝对值是0，本题考查了绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，
难度适中．
2. 解：150000000000=1.5×1011， 故选：C．
n为整数.确定n的值时，科学记数法的表示形式为𝑎×10𝑛的形式，其中1≤|𝑎|<10，要看把原数变成a时，
小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值>1时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．
此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为𝑎×10𝑛的形式，其中1≤|𝑎|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3. 解：从左边看第一层是两个小正方形，第二层左边一个小正方形， 故选：A．
根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．
本题考查了简单组合体的三视图，从左边看得到的图形是左视图．
31−𝑥≤0①
4. 解：{22
𝑥+2>0②
∵解不等式①得：𝑥≥3， 解不等式②得：𝑥>−2， ∴不等式组的解集为𝑥≥3， 在数轴上表示为：，
故选：A．
先求出不等式组的解集，再在数轴上表示出解集即可．
本题考查了解一元一次不等式组和在数轴上表示不等式组的解集，能根据不等式的解集找出不等式组的解集是解此题的关键．
1
5. 解：∵△=(−2)2−4×4×4=4−4=0， ∴有两个相等的实数根， 故选：A．
计算出判别式的值即可判断．
本题考查了一元二次方程𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐=0(𝑎≠0)的根的判别式△=𝑏2−4𝑎𝑐：当△>0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△<0，方程没有实数根． 6. 解：∵∠𝐴𝐸𝐶=42∘，
∴∠𝐴𝐸𝐷=180∘−∠𝐴𝐸𝐶=138∘， ∵𝐸𝐹平分∠𝐴𝐸𝐷，
1
∴∠𝐷𝐸𝐹=2∠𝐴𝐸𝐷=69∘， 又∵𝐴𝐵//𝐶𝐷，
∴∠𝐴𝐹𝐸=∠𝐷𝐸𝐹=69∘． 故选：C．
由平角求出∠𝐴𝐸𝐷的度数，由角平分线得出∠𝐷𝐸𝐹的度数，再由平行线的性质即可求出∠𝐴𝐹𝐸的度数． 本题考查的是平行线的性质以及角平分线的定义.熟练掌握平行线的性质，求出∠𝐷𝐸𝐹的度数是解决问题的关键．
7. 解：连接BD．
∵𝐴𝐵是直径，∴∠𝐴𝐷𝐵=90∘．
∵𝑂𝐶//𝐴𝐷，∴∠𝐴=∠𝐵𝑂𝐶，∴cos∠𝐴=cos∠𝐵𝑂𝐶． ∵𝐵𝐶切⊙𝑂于点B，∴𝑂𝐵⊥𝐵𝐶，
𝑂𝐵2
∴cos∠𝐵𝑂𝐶=𝑂𝐶=5， ∴cos∠𝐴=cos∠𝐵𝑂𝐶=5． 又∵cos∠𝐴=𝐴𝐵，𝐴𝐵=4， ∴𝐴𝐷=5． 故选：B．
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8
𝐴𝐷
2
首先由切线的性质得出𝑂𝐵⊥𝐵𝐶，根据锐角三角函数的定义求出cos∠𝐵𝑂𝐶的值；连接BD，由直径所对的圆周角是直角，得出∠𝐴𝐷𝐵=90∘，又由平行线的性质知∠𝐴=∠𝐵𝑂𝐶，则cos∠𝐴=cos∠𝐵𝑂𝐶，在直角△𝐴𝐵𝐷中，由余弦的定义求出AD的长．
本题综合考查切线、平行线、圆周角的性质，锐角三角函数的定义等知识点的运用.此题是一个综合题，难度中等．
8. 解：连接OA、OC、OD、OB，如图：
11
由反比例函数的性质可知𝑆△𝐴𝑂𝐸=𝑆△𝐵𝑂𝐹=2|𝑘1|=2𝑘1，𝑆△𝐶𝑂𝐸=𝑆△𝐷𝑂𝐹=
1
|𝑘|=−2𝑘2， 22
∵𝑆△𝐴𝑂𝐶=𝑆△𝐴𝑂𝐸+𝑆△𝐶𝑂𝐸， 111
∴𝐴𝐶⋅𝑂𝐸=×2𝑂𝐸=𝑂𝐸=(𝑘1−𝑘2)…①，
∵𝑆△𝐵𝑂𝐷=𝑆△𝐷𝑂𝐹+𝑆△𝐵𝑂𝐹， 111311
∴2𝐵𝐷⋅𝑂𝐹=2×(𝐸𝐹−𝑂𝐸)=2×(3−𝑂𝐸)=2−2𝑂𝐸=2(𝑘1−𝑘2)…②，
2
2
2
1
由①②两式解得𝑂𝐸=1， 则𝑘1−𝑘2=2． 故选：D．
11
由反比例函数的性质可知𝑆△𝐴𝑂𝐸=𝑆△𝐵𝑂𝐹=2𝑘1，𝑆△𝐶𝑂𝐸=𝑆△𝐷𝑂𝐹=−2𝑘2，结合𝑆△𝐴𝑂𝐶=𝑆△𝐴𝑂𝐸+𝑆△𝐶𝑂𝐸和𝑆△𝐵𝑂𝐷=𝑆△𝐷𝑂𝐹+𝑆△𝐵𝑂𝐹可求得𝑘1−𝑘2的值．
本题考查反比例函数图象上的点的坐标特征，解题的关键是利用参数，构建方程组解决问题，属于中考常考题型．
9. 解：√2×√3=√6； 故答案为：√6．
根据二次根式的乘法法则进行计算即可．
此题考查了二次根式的乘法，掌握二次根式的运算法则：乘法法则√𝑎⋅√𝑏=√𝑎𝑏是本题的关键，是一道基础题．
10. 解：𝑥2𝑦−𝑦， =𝑦(𝑥2−1)，
=𝑦(𝑥+1)(𝑥−1)，
故答案为：𝑦(𝑥+1)(𝑥−1)．
观察原式𝑥2𝑦−𝑦，找到公因式y后，提出公因式后发现𝑥2−1符合平方差公式，利用平方差公式继续分解可得．
本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止． 11. 解：拼成的长方形的面积=(𝑎+3)2−32， =(𝑎+3+3)(𝑎+3−3)， =𝑎(𝑎+6)，
∵拼成的长方形一边长为a， ∴另一边长是𝑎+6． 故答案为：𝑎+6．
根据拼成的长方形的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积列式整理即可得解． 本题考查了平方差公式的几何背景，表示出剩余部分的面积是解题的关键． 12. 解：如图，依题意有△𝐴𝐵𝐹∽△𝐴𝐷𝐸， ∴𝐴𝐵：𝐴𝐷=𝐵𝐹：DE， 即5：𝐴𝐷=0.4：5， 解得𝐴𝐷=62.5，
∴𝐵𝐷=𝐴𝐷−𝐴𝐵=62.5−5=57.5(尺)． 故答案为57.5．
根据题意可知△𝐴𝐵𝐹∽△𝐴𝐷𝐸，根据相似三角形的性质可求AD，进一步得到井深． 本题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是得到△𝐴𝐵𝐹∽△𝐴𝐷𝐸． 13. 解：∵四边形AECD是平行四边形， ∴𝐴𝐸=𝐶𝐷，
∵𝐴𝐵=𝐵𝐸=𝐶𝐷=6，
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∴𝐴𝐵=𝐵𝐸=𝐴𝐸，
∴△𝐴𝐵𝐸是等边三角形， ∴∠𝐵=60∘， ∴𝑆扇形𝐵𝐴𝐸=
60𝜋×52
故答案为：6．
证明△𝐴𝐵𝐸是等边三角形，∠𝐵=60∘，根据扇形的面积公式计算即可．
本题考查了平行四边形的性质、等边三角形的判定和性质、扇形的面积公式，熟练掌握扇形的面积公式是本题的关键，扇形面积计算公式：设圆心角是𝑛，圆的半径为R的扇形面积为S，则𝑆扇形=其中l为扇形的弧长)．
14. 解：当𝑥=0时，𝑦=5，则𝐵(0,5)， 设𝐴(𝑚,𝑛)，
𝑚+02
则{𝑛+5
2
∘
𝑛𝜋𝑅2360
36025𝜋
=
25𝜋6
．
或𝑆扇形=2𝑙𝑅(
1
=−1
， 7
=
2𝑚=−2
解得：{𝑛=2， 所以点𝐴(−2,2)，
将点𝐴(−2,2)代入，得：−4−2𝑏+5=2，
1
解得：𝑏=−，
故答案为：−2．
先根据解析式求得点B的坐标，再由点C是AB中点，利用中点的坐标公式求得点A的坐标，代入解析式即可求出b的值．
本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是掌握中点坐标的计算公式求得点A的坐标及抛物线上点的坐标符合函数解析式．
然后将a的值代入化简后的式子即可解答本15. 根据平方差公式和多项式乘多项式可以化简题目中的式子，
题．
本题考查整式的混合运算−化简求值，解答本题的关键是明确整式化简求值的计算方法．
16. 根据甲、乙两人各有若干钱，如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱48文；如果乙得到甲所有钱2
的3，那么乙也共有钱48文，可以列出方程组，从而可以解答本题．
本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组．
利用概率公式求解即可求出两次摸出小球的标号之积是偶17. 首先列表将所有等可能的结果全部列举出来，
数的概率..
本题考查了列表法与树状图法求概率，解题的关键是通过列表或树形图能够将所有等可能的结果全部列举出来，难度不大．
18. 如图，在𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐶中，根据三角函数可得𝐴𝐵=𝐴𝐶÷sin34∘，可求他沿斜坡滑行了多少米．
本题考查解直角三角形、坡度坡角问题、锐角三角函数等知识，解题的关键是熟练掌握锐角三角函数的定义，属于中考常考题型．
19. 解：(1)本次调查的学生共有20÷40%=50(人)，𝑚=15÷50=30%； 故答案为：50；30%；
(2)绘画的人数50×20%=10(人)，书法的人数50×10%=5(人)， 如图所示：
21
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(3)估计该校选修乐器课程的人数为2000×30%=600人．
(1)由舞蹈的人数除以占的百分比求出调查学生总数，确定出扇形统计图中m的值； (2)求出绘画与书法的学生数，补全条形统计图即可； (3)总人数乘以样本中选修乐器课程人数所占百分比可得．
本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
20. 首先证明四边形ABDE是平行四边形，再证明四边形ADCE是平行四边形，由∠𝐴𝐷𝐶=90∘，即可推出四边形ADCE是矩形．
本题考查等腰三角形的性质、平行四边形的判定和性质、矩形的判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
21. 解：(1)∵甲运输队工作3天后因故停止，2天后重新开始工作
∴𝑎=3+2=5
1
∵甲运输的工作效率降低到原来的2
∴原来3天调运150吨，现在需6天调运150吨．
∴𝑏=5+6=11
(2)设函数关系式为𝑦=𝑘𝑥+𝑏， ∵图象过(5,150)，(11,300)
150=5𝑘+𝑏
∴{300=11𝑘+𝑏 解得：{𝑏=25
∴解析式𝑦=25𝑥+25
𝑘=25
(3)
由题意得：乙运输队调运物资的数量𝑦(吨)与工作时间𝑥(天)的函数关系式：𝑦=37.5𝑥 ①若乙运输队调运物资没有完成． ∵乙运输队比甲运输队多运50吨物资
∴37.5𝑥−(25𝑥+25)=50 ∴𝑥=6
当乙运输队运输完物资后，
∵乙运输队比甲运输队多运50吨物资
∴300−(25𝑥+25)=50 ∴𝑥=9
∴𝑥=6或9
(1)根据题意可以求a，b的值．
(2)设解析式为𝑦=𝑘𝑥+𝑏且过(5,150)，(11,300)，用待定系数法可求解析式． (3)由乙运输队比甲运输队多运50吨物资，可得𝑦乙−𝑦甲=50，代入可得x的值． 本题考查一次函数的图象性质，本题关键是用待定系数法求一次函数解析式．
22. 探究：证明：如图2，延长AD至点M，使𝑀𝐷=𝐹𝐷，连接MC，
𝐵𝐷=𝐶𝐷
在△𝐵𝐷𝐹和△𝐶𝐷𝑀中，{∠𝐵𝐷𝐹=∠𝐶𝐷𝑀，
𝐷𝐹=𝐷𝑀
∴△𝐵𝐷𝐹≌△𝐶𝐷𝑀(𝑆𝐴𝑆)． ∴𝑀𝐶=𝐵𝐹，∠𝑀=∠𝐵𝐹𝑀．
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∵𝐸𝐴=𝐸𝐹，
∴∠𝐸𝐴𝐹=∠𝐸𝐹𝐴， ∵∠𝐴𝐹𝐸=∠𝐵𝐹𝑀， ∴∠𝑀=∠𝑀𝐴𝐶， ∴𝐴𝐶=𝑀𝐶， ∴𝐵𝐹=𝐴𝐶；
应用：解：如图2， ∵𝑀𝑁//𝐵𝐶，𝐹𝑀//𝐺𝑁，
∴四边形MFGN是平行四边形， ∴𝑀𝐹=𝑁𝐺，𝑀𝑁=𝐹𝐺， ∵𝐷𝐸是△𝐴𝐵𝐶的中位线，
1
∴𝐷𝐸=2𝐵𝐶=3，𝐷𝐸//𝐵𝐶，
∴𝑀𝑁=𝐹𝐺=𝐵𝐶=3，
2
∴四边形MFGN周长=2(𝑀𝐹+𝐹𝐺)=2𝑀𝐹+6， ∴𝑀𝐹⊥𝐵𝐶时，MF最短，
即：四边形MFGN的周长最小， 过点A作𝐴𝐻⊥𝐵𝐶于H， ∴𝐹𝑀=𝐴𝐻
在𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐻中，∠𝐵=60∘，𝐴𝐵=4， ∴𝐴𝐻=𝐴𝐵sin𝐵=4×∴𝐶𝐻=4，
√32
1
=2√3，𝐵𝐻=2，
∴𝐴𝐶=2√7>𝐴𝐵
∴四边形MFGN的周长C最小为2𝑀𝐹+6=2𝐴𝐻+6=4√3+6，
四边形MFGN的周长C最大为2𝑀𝐹+6=2𝐴𝐶+6=4√7+6，(如图4) 故答案为：4√3+6≤𝐶≤4√7+6．
探究：先判断出△𝐵𝐷𝐹≌△𝐶𝐷𝑀进而得出𝑀𝐶=𝐵𝐹，∠𝑀=∠𝐵𝐹𝑀.再判断出∠𝑀=∠𝑀𝐴𝐶得出𝐴𝐶=𝑀𝐶即可得出结论；
应用：先判断出四边形MFGN是平行四边形，再判断出𝑀𝑁=𝐹𝐺=𝐷𝐸=4，进而判断出𝑀𝐹⊥𝐵𝐶时，四边形MFGN的周长最小和点G和C重合时最大，最后构造出直角三角形求出AH即可得出结论．
此题是四边形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形的中位线，平行四边形的判定和性质，平行线间的距离，解探究关键是△𝐵𝐷𝐹≌△𝐶𝐷𝑀，解应用的关键是判断出𝑀𝐹⊥𝐵𝐶时，四边形MFGN的周长最小和点G和C重合时最大． 23. 解：(1)如图1中， ∵∠𝐷𝐴𝐵=120∘，AE平分∠𝐷𝐴𝐵， ∴∠𝐷𝐴𝑄=60∘， ∵𝑃𝑄⊥𝐴𝐷， ∴∠𝐴𝑃𝑄=90∘，
𝑃𝑄
∴tan60∘=𝐴𝑃， 故答案为√3𝑡.
∴𝑃𝑄=√3𝑡.
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(2)如图2中， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴𝐴𝐵//𝐶𝐷，
∴∠𝐷=180∘−∠𝐷𝐴𝐵=60∘， ∵𝑃𝑀//𝐴𝐸，𝑀𝑄//𝐴𝐷，
∴∠𝐷𝑃𝑀=∠𝐷𝐴𝑄=60∘，四边形APMQ是平行四边形， ∴△𝐷𝑃𝑀是等边三角形，𝑃𝑀=𝐴𝑄=2𝑃𝐴=2𝑡， ∴𝐷𝑃=𝑃𝑀， ∴6−𝑡=2𝑡， ∴𝑡=2．
(3)①当0<𝑡≤2时，如图1中，重叠部分是平行四边形APMQ，𝑆=𝐴𝑃⋅𝑃𝑄=√3𝑡2． ②如图3中，当2<𝑡≤3时，重叠部分五边形APSTQ，
√√𝑆=√3𝑡2−4(3𝑡−6)2=−4𝑡2+9√3𝑡−9√3．
③如图4中，当3<𝑡≤6时，重叠部分是四边形PSTA．
353 𝑆=𝑆△𝐷𝐴𝑇−𝑆△𝐷𝑆𝑃=
√3√3√32
×62−⋅(6−𝑡)2=−𝑡+3√3𝑡. 444第13页 共16页
2
(0<𝑡≤2) √3𝑡
5√32
综上所述，𝑆=−4𝑡+9√3𝑡−9√3(2<𝑡≤3)．
√3
−𝑡2+3√3𝑡(3<𝑡≤6){4
(4)如图5中，当𝐺𝐻//𝐴𝐵时，∵𝐴𝐺=𝐺𝑀， ∴点M在线段CD上，此时𝑡=2𝑠． 如图6中，当GH与BD重合时，作𝐵𝑇⊥𝐷𝐴交DA的延长线于T．
在𝑅𝑡△𝐴𝐵𝑇中，∵𝐴𝐵=8，∠𝐵𝐴𝑇=60∘， 1
∴𝐴𝑇=2𝐴𝐵=4，𝐵𝑇=4√3， ∵𝑃𝐺//𝐵𝑇， 𝑃𝐺𝐷𝑃
∴𝐵𝑇=𝐷𝑇， ∴4√3𝑡2√=36−𝑡， 10
8
解得𝑡=3𝑠.
如图7中，当𝐺𝐻//𝐴𝐷时，易证B、C、Q共线，
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可得△𝐴𝐵𝑄是等边三角形，𝐴𝐵=𝐴𝑄=𝐵𝑄=8， ∴𝐴𝑄=2𝑡=8， ∴𝑡=4𝑠，
8
综上所述，𝑡=2𝑠或3𝑠或4s时，GH与三角形ABD的一边平行或共线． (1)在𝑅𝑡△𝐴𝑃𝑄中，解直角三角形即可；
(2)只要证明△𝐷𝑃𝑀是等边三角形，构建方程即可解决问题；
(3)分三种情形：①当0<𝑡≤2时，如图1中，重叠部分是平行四边形APMQ，𝑆=𝐴𝑃⋅𝑃𝑄=√3𝑡2.②如图3中，当2<𝑡≤3时，重叠部分五边形APSTQ；③如图4中，当3<𝑡≤6时，重叠部分是四边形𝑃𝑆𝑇𝐴.分别求解即可；
(4)分三种情形讨论求解即可解决问题；
本题考查四边形综合题、等边三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理、勾股定理、平行四边形的判定和性质、多边形的面积等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会用方程的思想思考问题，属于中考压轴题．
24. 解：(1)①当𝑚=1时，抛物线𝐶2与抛物线𝐶1关于直线𝑥=1对称 ∴抛物线𝐶2的顶点时(2,2)
∴抛物线𝐶2的解析式为𝑦=−2(𝑥−2)2+2=−2𝑥2+8𝑥−6 ②∵点𝑃(𝑎,𝑏1)，𝑄(𝑎+1,𝑏2)在二次函数𝐶2的图象上
∴𝑏2−𝑏1=−2(𝑎+1)2+8(𝑎+1)−6−(−2𝑎2+8𝑎−6)=−4𝑎+6
当𝑏1≥𝑏2时
−4𝑎+6≤0
3∴𝑎≥
23
故答案为：𝑎≥2
(2)①∵𝑀𝑁//𝑥轴，MP：𝑃𝑁=1：3
∴𝑀𝑃=1
当𝑚>0时，2𝑚=1
1𝑚=
2当𝑚<0时，−2𝑚=1
1
𝑚=−
211
②分析图象可知：当𝑚=2时，可知C1和G的对称轴关于直线𝑥=2对称，𝐶2的顶点恰在AD上，此时G与正方形恰由2个交点．
当𝑚=1时，直线MN与x轴重合，G与正方形恰由三个顶点．
当𝑚=2时，G过点𝐵(3,0)且G对称轴左侧部分与正方形有两个交点
1
当𝑚=2或2<𝑚≤1时，G与正方形ABCD有三个公共点．
(1)根据对称性可求得𝐶2解析式，将𝑃(𝑎,𝑏1)，𝑄(𝑎+1,𝑏2)代入解析式用求差法得到a的范围； (2)通过分类讨论探究m的变化对于图象G位置的变化．
本题为二次函数综合题，考查了二次函数图象性质和轴对称图形性质.解答关键是研究动点到达临界点时图形的变化，从而得到临界值．
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