1989考研数三真题解析

1989年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析

一、填空题(本题满分15分,每小题3分.) (1)【答案】yx1

【解析】对函数yxsinx两边对x求导,得y12sinxcosx, 令x

22

得yx12sin22cos1.所以该曲线在点,1处的切线的斜率为1,

222所以 切线方程是y1(2)【答案】[1,1)

x,即yx1为所求. 22【解析】因系数an11,an1,从而 n1n2limnan1n1lim1, nann2即幂级数的收敛半径R1,当1x1时幂级数绝对收敛. 当x1时得交错级数

n0(1)n1(条件收敛)；当x1时得正项级数(发散). n1n1n0于是,幂级数的收敛域是[1,1). (3)【答案】1

【解析】n个方程n个未知数的齐次方程组Ax0有非零解的充分必要条件是A0, 因为此时未知数的个数等于方程的个数,即A为方阵时,用A0判定比较方便.

1110010(1)2, 而 A110111111所以当A0时1.所以此题应填:1. (4)【答案】1,

1 2【解析】由于任何随机变量X的分布函数F(x)是右连续函数,因此对任何x,有

F(x)F(x0).

对于x2,有F()Asin2A,F(0)1. 22x0令 F()F(220),得到A1,其中F(x0)limF(x).又 PXPX,

666因Fx在x

6

处连续,连续函数在任何一个点上的概率为0,因此PX0. 6所以 PX(5)【答案】

1PXFFsin. 66666621 9DX【解析】由切比雪夫不等式P{XEX}2,有

21P{X3}.

(3)29

二、选择题(本题满分15分,每小题3分.) (1)【答案】(B)

【解析】由洛必达法则有

fx2x3x22xln23xln3limlimlimln2ln3. x0x0x0xx1所以fx与x是同阶但非等价无穷小量. (2)【答案】(C)

【解析】由不定积分的概念和性质可知,

dfxdxdxfxdxfx.

fxdxdfxfxC,C为常数.

dfxdxfxdx.

故应选(C).

(3)【答案】(C)

【解析】本题考查|A|0的充分必要条件,而选项(A)、(B)、(D)都是充分条件,并不必要.

因为对矩阵A来说,行和列具有等价性,所以单说列或者单说行满足什么条件就构成了

|A|0的必要条件,但是不具有任意性,只需要存在一列向量是其余列向量的线性组合.

112以3阶矩阵为例,若 A123,

134条件(A)必有一列元素全为0,(B)必有两列元素对应成比例均不成立,但有|A|0,所以(A)、 (B)不满足题意,不可选.

123若A124,则|A|0,但第三列并不是其余两列的线性组合,可见(D)不正确.

125这样用排除法可知应选(C). (4)【答案】(C) 【解析】当行列式的一行(列)是两个数的和时,可把行列式对该行(列)拆开成两个行列式之和,拆开时其它各行(列)均保持不变.对于行列式的这一性质应当正确理解.

因此,若要拆开n阶行列式AB,则应当是2个n阶行列式的和,所以(A)错误.矩阵的运算是表格的运算,它不同于数字运算,矩阵乘法没有交换律,故(B)不正确.

若An1010,则 ,B0102112201AB0301011011,AB1010311021020. 32而且AB存在时,不一定A,B都存在,所以选项(D)是错误的. 由行列式乘法公式ABABBABA知(C)正确.

注意,行列式是数,故恒有ABBA.而矩阵则不行,故(B)不正确. (5)【答案】D

【解析】设事件B“甲种产品畅销”,事件C“乙种产品滞销”,则 A事件“甲种产品畅销,乙种产品滞销”可表示为ABC,则

ABCBC“甲种产品滞销或乙种产品畅销”,应选(D).

三、计算题(本题满分15分,每小题5分.) (1)【解析】这是1型未定式求极限.

_____

设u1,则当x时,u0.于是 x111xulim(sincos)lim(sinucosu) xu0xx lim(1sinucosu1)u01sinucosu1sinucosu1u,

令sinucosu1t,则u0时t0, 所以 lim(1sinucosu1)u01sinucosu1lim(1t)e,

t01t所以 lim(1sinucosu1)u01sinucosu1sinucosu1ulimeu0sinucosu1ueu0limsinucosu1u,

由洛必达法则得

sinucosu1cosusinulim1,

u0u0u111x1所以 lim(sincos)ee.

xxxlim2zz(2)【解析】方法一：先求,再求.由复合函数求导法则,

xyxzfufvffy, xuxvxuv2zff(y) 故

xyyuv2fu2fv2fu2fvfy2 

u2yuvyvvuyvy2f2ff2f2fxyxy2 u2uvvuvv2f2f2ff(xy)xy2. 2uuvvv方法二：利用一阶全微分形式不变性,可得

dzf1d(xy)f2d(xy)f1(dxdy)f2(ydxxdy)(f1yf2)dx(f1xf2)dy.

于是有 zxf1yf2. 再对y外求偏导数,即得

zxy(f1)yy(f2)yf2f11xf12y(f21xf22)f2

(xy)f12xyf22f2. f11【相关知识点】复合函数求导法则：若uu(x,y)和vv(x,y)在点(x,y)处偏导数存在,函数zf(u,v)在对应点(u,v)具有连续偏导数,则复合函数zf[u(x,y),v(x,y)]在点

(x,y)处的偏导数存在,且

zfufvzfufv,. xuxvxyuyvy(3)【解析】微分方程y5y6y2e对应的齐次方程y5y6y0的特征方程为

xr25r60,

特征根为r12,r23,故对应齐次微分方程的通解为C1e设所给非齐次方程的特解为y(x)Ae得A1,故所求方程的通解为

*x2xC2e3x.

x,代入方程y5y6y2e,比较系数,

yC1e2xC2e3xex,C1,C2为常数.

x【相关知识点】关于微分方程特解的求法:如果f(x)Pm(x)e,则二阶常系数非齐次线性

微分方程yp(x)yq(x)yf(x)具有形如

*kx yxQm(x)e

的特解,其中Qm(x)与Pm(x)同次(m次)的多项式,而k按不是特征方程的根、是特征方程的单根或是特征方程的重根依次取为0、1或2.

四、(本题满分9分) 【解析】(1)收益函数

R(x)xP10xe,0x6.

边际收益函数

x2x2 20e40e2R(x) MRdR5(2x)e. dx60e3O 2 4 6 x

xdR5(2x)e20,得x2. (2)由 dx

d2R又

dx2x2x5(x4)e22x250.

e因此R(x)在x2取极大值.

又因为极值点惟一,故此极大值必为最大值,最大值为R(2)所以,当生产量为2时,收益取最大值,收益最大值为

20. e2010.而相应的价格为. ee4 - 0 拐点 (3) 由以上分析可列下表,并画出收益函数的图形. x [0,2) + - 2 0 - 极大值 (2,4) - - (4,6] - + R R R ,凸 20 e,凸 (4,40) 2e,凹

五、(本题满分9分)

【解析】(1)f(x)为分段函数,由定积分的性质, S0  020f(x)edxf(x)edxf(x)exdx

0121x1x21xexdx(2x)exdx xdex(x2)dex

1x10120 xe1e01xxdx(x2)e11edx

x22xx 0ee01e1(e2e)

2111 121. e2e(2)用定积分换元法,

令x2t,则xt2,dxdt,所以 S1而 S042f(x2)exdxf(t)e(t2)dte2f(t)etdt,

002220f(x)exdx121, e2e121). e2e故 S1e220f(t)etdtS0e2e2((3) 用定积分换元法,

令x2nt,则xt2n,dxdt,所以

Sn而 S02n22nf(x2n)edxf(t)e0x2(t2n)dte2nf(t)etdt

0220f(x)exdx20121, 2ee121). 2een故 Sne2nf(t)etdtS0e2ne2n((4)利用以上结果,有

SSnS0e2nn0n01S02

n0e2S0e2S0e1e1. 221e1e1e112e

六、(本题满分6分) 【解析】对F(x)1xf(t)dt两边对x求导,得 axaf(t)dtaxF(x)(xa)2f(x)xa(xa)f(x)f(t)dt(xa)a2x.

证法一：由积分中值定理知,在(a,x)内存在一点使得

xaf(t)dtf()(xa),

所以 F(x)(xa)f(x)f(t)dt(xa)a2x(xa)f(x)f()(xa)f(x)f(). 2(xa)xa又因为f(x)0,ax,故有f(x)f()0,所以F(x)0. 证法二：令g(x)(xa)f(x)xaf(t)dt,则

g(x)f(x)(xa)f(x)f(x)(xa)f(x).

因为xa,f(x)0,所以g(x)0, 即g(x)(xa)f(x)所以 F(x)xaf(t)dt在(a,b)上为减函数,所以g(x)g(a)0,

g(x)0.

(xa)2

七、(本题满分5分)

【解析】方法一：本题可采用一般的解法如下： 由XAXB,得EAXB.

11002111, 321因为 EA101310201110211131112020. 321所以 XEAB35311011方法二：本题还可用由EAXB作初等行变换EABEX,此解法优点是少算一次矩阵乘法,可以适当减少计算量.

110EAB1011021120, 53第一行乘以1分别加到第二行和第三行上,再第三行乘以1加到第三行上,得

1100110031111 333120, 111001第三行自乘,再加到第二行上,第二行再加到第一行上,有010300131所以X20. 11

八、(本题满分6分) 【解析】m个n维向量1,2,,m线性相关的充分必要条件是齐次方程组.

12有非零解.

特别地,n个n维向量1,2,由于

x1xm20

xm,n线性相关的充分必要条件是行列式1,2,,n0.

1111,2,3123t5,

13t故当t5时,向量组1,2,3线性无关；t5时向量组1,2,3线性相关. 当t5时,设x11x223将坐标代入有

x1x21,x12x23,解出x11,x22.即3122. x3x5.21

九、(本题满分5分)

【解析】(1) 矩阵A的特征方程为

1EA22222, 1224 112经过行列式一系列的初等行变换和初等列变换,有

12EA110222100232141故矩阵A的特征值为：11,,5.

321150,

1(2)由为A的特征值可知,存在非零向量使A,两端左乘A,得A.

1因为0,故0,于是有A1.按特征值定义知是A1的特征值.

111由A的特征值是11,,5,可知A的特征值为1,1,.又因为

151), EA(11那么EA的特征值是2,2,.

【相关知识点】矩阵特征值与特征向量的定义：设A是n阶矩阵,若存在数及非零的n维

列向量X使得AXX成立,则称是矩阵A的特征值,称非零向量X是矩阵A的特征向量.

十 、(本题满分7分)

【解析】(1) 由二维连续型随机变量的概率求法,概率等于对应区域上的二重积分

145

P{XY}xy0f(x,y)dxdydye(xy)dx

00yeydyexdxey(ex)00yxyx0dy

011ey(1ey)dyeye2y.

220(2) 由二维连续型随机变量的数学期望定义得

E(XY)因为由分部积分法有

xyf(x,y)dxdy000xye(xy)dxdy

0xexdxyeydy.

0yeydy0ydeyyey000,

eydy

0yey由洛必达法则,对

ey1y型极限,有limyelimy0.所以有E(XY)1.

yye

十一、(本题满分8分)

【解析】以A表示事件“对X的观测值大于3”,依题意,X的概率密度函数为

1,2x5, f(x)3其它.0,因此 P(A)P{X3}

5312dx33p.

设随机变量Y表示三次独立观测中观测值大于3的次数(即在三次独立试验中事件A出

现的次数).显然, Y服从参数n3,p2的二项分布,因此,所求概率为 321220. P{Y2}P{Y2}P{Y3}C32()2()()333327【相关知识点】二项分布的概率计算公式：若YB(n,p),则

kkPYkCnp(1p)nk, k0,1,,n.