九年级(上)培优讲义：第10讲 含字母系数的二次函数

第10讲 含字母系数的二次函数

二次函数是初中数学的重要内容之一。含字母系数（参数）的二次函数的研究和讨论，既要灵活运用二次函数图象的基本特征和性质，有时还要综合运用代数式的恒等变形、一元二次方程根的分布、不等式（组）以及几何图形的有关性质等，具有较强的综合性。在解决问题时，要特别注意知识和方法间的密切联系，加强数形结合思想和方法的应用，多角度思考和探索问题解决的途径，进一步优化解题的策略。 一、知识建构

1.二次函数yax2bxc(a0)图象与直线的交点

bb24ac（1）与x轴的交点：①当⊿＞0时，抛物线与x轴有两个交点，两个交点坐标分别为（，

2abbb24ac0）、（，0）；当⊿=0时，抛物线与x轴只有一个交点，交点坐标为（，0）；

2a2ab24ac当⊿＜0，抛物线与x轴没有交点.②有两个交点时，两交点间的距离x1x2=.

a2（2）与直线ykxm(k0)的交点：将yaxbxc(a0)与ykxm(k0)联立方程组，

2消去y得方程：ax(bk)x(cm)0，当⊿＞0时，抛物线与直线有两个交点；当⊿=0时，抛物线与直线只有一个交点；当⊿＜0，抛物线与直线没有交点.当然，也可以通过消去x来讨论. 2.图象变换

（1）平移：图象的平移使用顶点式较为简便，其规律是“左加右减” ，“上加下减”.把抛物线

ya(xh)2k向左（右）平移m（m>0）个单位长度，再向上（下）平移n（n>0）个单位长

度，得到的抛物线为：ya(xhm)kn.

（2）对称：用一般式较简便.①关于x轴对称：作变量替换，规律为横（坐标）同，纵（坐标）反.抛物线yaxbxc(a0)与抛物线yaxbxc(a0)关于x轴对称；②关于y轴对称：作变量替换，规律为横（坐标）反，纵（坐标）同。抛物线yaxbxc(a0)与抛物线

③关于原点对称：作变量替ya(x)2b(x)c(a0)即yax2bxc(a0)关于y轴对称；

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换，规律为横、纵（坐标）均反。抛物线yax2bxc(a0)与抛物线

y[a(x)2b(x)c](a0)即yax2bxc(a0)关于原点对称.

二、例题精讲

例1．如图所示，二次函数yax2bxc （a0）的图象经过点（1，2），且与x轴交点的横坐标分别为x1、x2，其中2＜x1＜1，0＜x2＜1，下列结论：①abc＞0；②4a2bc＜0；③2ab＜0；④b8a4ac （ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

示例小结：二次函数的系数确定图像的位置，图像的位置确定二次函数的系数。利用二次函数的图像确定系数或有关代数式的符号是常见的题型。有些式子可以由图象的基本特征如开口方向、与坐标轴交点的位置、对称轴、顶点等直接判定其正确性，有些式子需要先进行适当的变形再确定其正确性，像本例④式，就是综合运用等式、不等式的性质以及代数式的恒等变形的方式而确定的，解题时要注意观察式子的特征，结合所给条件巧妙变换.

2222例2．已知二次函数y＝x2axb和y＝x2bxc的图象与x轴都有两个不同的交点，问函22数y＝x2cxa的图象与x轴是否相交？为什么？

2

示例小结：判定二次函数的图象与x轴是否有交点，可先依据条件确定判别式的符号，然后再得出结论.这类问题，有时需要进行代数式的变形，才能建立未知和已知之间的联系，解题时要灵活处置。

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2例3．设p是大于2的质数，k为正整数，若函数y＝xpx(k1)p4的图象与x轴的两个交

点的横坐标至少有一个为整数，求k的值．

示例小结：二次函数的图象与x轴的两个交点的横坐标为整数的讨论，主要利用韦达定理的表达式并依据整数的相关特征展开进一步的分析和研讨.有时为了便于分析和讨论常常依据方程的特点研究代数式(x1m)(x2m)的整数分解式，解题时注意分析和探索。

例4．设m，n为正整数，且m2，如果对一切实数t，二次函数yx2(3mt)x3mt的图象与

x轴的两个交点间的距离不小于2tn，求m,n的值.

示例小结：（1）抛物线与x轴的两个交点的距离x1x2，可以先通过解方程求出两根x1、x2后

b24ac代入，也可以直接利用公式x1x2=来表示，然后再依据问题所给的条件列方程或不等式

a2（组）.（2）对于一切实数t，atbtc≥0（a0）恒成立的条件：a0；对于一切实数t，0at2btc≤0（a0）恒成立的条件：a0，

0.第 3 页 共 7 页

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例5．已知二次函数yx2bxc的图象经过两点P（1，a），Q（2，10a）.（1）如果a,b,c都是整数，且cb8a，求a，b，c的值.（2）设二次函数yx2bxc的图象与x轴的交点为A、B，与y轴的交点为C.如果关于x的方程xbxc0的两个根都是整数，求△ABC的面积.

示例小结：（1）利用不等式组先求出未知数的取值范围，再寻求其整数解是常用的方法；（2）一元二次方程整数根的讨论，一般利用韦达定理的表达式，接着消去相关的系数（这一点很重要），再根据．．．．．．．整数的分解式逐一列举求解，这一方法为竞赛题中常见的方法之一，要注意灵活运用。 三、基础演练

1．已知点A、B的坐标分别为（1，0），（2，0）． 若二次函数yx(a3)x3的图象与线段

22AB恰有一个交点，则a的取值范围是 ．

2．已知二次函数yx2(m1)xm1．

（1）随着m的变化，该二次函数图象的顶点P是否都在某条抛物线上？如果是，请求出该抛物线的函数表达式；如果不是，请说明理由．

（2）如果直线yx1经过二次函数yx2(m1)xm1图象的顶点P，求此时m的值．

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223.已知抛物线yx2与动直线y(2t1)xc有公共点(x1，y1)，且x1(x2，y2)，x2t22t3.

（1）求实数t的取值范围；（2）略

四、直击中考

1.抛物线yn(n1)x2(3n1)x3与直线ynx2的两个交点的横坐标分别是x1、x2，记

dnx1x2.则代数式d1＋d2＋d3＋……＋d2013的值是___________ ．

2.设抛物线C:ymx2nxp关于x轴对称的抛物线C1,C1关于y轴对称的抛物线C2为：

yx26x4，求m，n，p的值．

223.函数yx(2k1)xk的图象与x轴的两个交点是否都在直线x1的右侧？若是，请说明理

由；若不一定是，请求出两个交点都在直线x1的右侧时，k的取值范围？

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m334. 已知二次函数yx2xm(32x)．

m12（1）随m(m1)的变化，此二次函数图象的顶点在怎样的图形上运动？

（2）存在几个m值，使其抛物线的顶点位于整数点（横纵坐标均为整数的点）？说明理由．

5.设函数ykx2(2k1)x1(k为实数)．

(1)写出其中的两个特殊函数，使它们的图象不全是抛物线，并在同一直角坐标系中，用描点法画出这两个特殊函数的图象；

(2)根据所画图象，猜想出：对任意实数k，函数的图象都具有的特征，并给予证明； (3)对任意负实数k，当xm时，y随着x的增大而增大，试求出m的一个值． ．

五、挑战竞赛

1.二次函数yxbxc的图象的顶点为D，与x轴正方向从左至右依次交于A，B两点，与y轴正方向交于C点，若△ABD和△OBC均为等腰直角三角形（O为坐标原点），则b2c ．

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六、每周一练

1.已知二次函数yax2bxc的图象如图所示，有以下结论：①abc0；②abc1；③abc0；④4a2bc0；⑤ca1其中所有正确结论的序号是（ ） A．①②

B．①③④

C．①②③⑤

D．①②③④⑤

2．函数ykx27x7的图象和x轴有交点，则k的取值范围是（ ）

7777 B．k C．k且k0 D． k且k0 44443223.在直角坐标系中，抛物线yxmxm(m0)与x轴交于A、B的两点。若A、B两点到原

4112，则m=_____. 点的距离分别为OA、OB，且满足

OBOA3A．k4.设二次函数yax2bxc(a0，c1)，当xc时，y0；当0xc时，y0．（1）请比较ac和1的大小，并说明理由；（2）当x0时，求证：

abc0． x2x1x第 7 页 共 7 页