考研数学（数学三）模拟试卷270 (题后含答案及解析)
题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题
选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1． 设f(x)的导数在x=a处连续，又，则( )． A．x=a是f(x)的极小值点 B．x=a是f(x)极大值点
C．(a，f(a))是曲线y=f(x)的拐点
D．x=a不是f(x)的极值点，(a，f(a))也不是曲线y=f(x)的拐点
正确答案：B
解析：由题设，又因为f(x)在z=a处导数连续，则f’(a)=0，即x=a是f(x)的驻点．又由，知当x＜a时，f’x＞0；当x＞a时，f’(x)＜0，故f(a)是极大值，所以选(B)．
2． 设其中f(x)在x=0处可导，f’(x)≠0，f(0)=0，则x=0是F(x)的( )． A．连续点 B．可去间断点 C．跳跃间断点 D．第二类间断点
正确答案：B
解析：因为，可见f(x)在x=0处的极限存在但不等于在此点的函数值，因此x=0为第一类(可去)间断点，故选(B)．
3． 设，则( )． A．a=1，b=0 B．a=0，b=-2 C．a=0，b=1 D．a=1，b=-2
正确答案：A
解析：用洛必达法则，有于是，必有1-a=0，即a=1．从而 得b=0．故应选(A)．
4． 设某商品的需求函数为Q=160-2P，其中Q，P分别表示需求量和价格，如果该商品需求弹性的绝对值等于1，则商品的价格是( )．
A．10 B．20 C．30 D．40
正确答案：D
解析：因dQ/dP=-2，故需求弹性的绝对值则2P=160-2P，得P=40，故应选(D)．
5． 设A为n阶非零矩阵，E为n阶单位矩阵．若A3=0，则( )． A．E-A不可逆，E+A也不可逆 B．E-A不可逆，E+A可逆 C．E-A可逆，层+A也可逆 D．E-A可逆，E+A不可逆
正确答案：C 解析：由A3=0可得 E-A3=(E-A)(E+A+A2)=E和E+A3=(E+A)(E-A+A2)=E． 显然｜E-A｜≠0，｜E+A｜≠0，所以E-A和E+A均可逆。故应选(C).
6． 设向量β可由向量组a1，a2，…，am线性表示，但不能由向量组(Ⅰ)a1，a2，…，am．线性表示，记向量组(Ⅱ)a1，a2，…，am-1，β，则( )．
A．am不能由(Ⅰ)线性表示，也不能由(Ⅱ)线性表示 B．am不能由(Ⅰ)线性表示，但可能由(Ⅱ)线性表示 C．am可由(Ⅰ)线性表示，也可由(Ⅱ)线性表示
D．am可由(Ⅰ)线性表示，但：不可由(Ⅱ)线性表示
正确答案：B
解析：由题设，β可由向量组a1，a2…，am线性表示，则存在一组数后k1，k2…，km，使β=k1a1+k22+…+kmam，但是β不能由a1，a2…，am-1线性表示，从而km≠0，因此am=1/km(β-k1a1-k2a2…km-1am-1)，即am可由(Ⅱ)a1，a2…，am-1，β，线性表示，所以(A)、(D)不正确．若am能由向量组(Ⅰ)线性表示，则存在另一组数λ1，λ2…，λm-1，使得am=λ1a1+λ2a2+…+λm-1am-1]，从而β=k1a1+…+km-1am-1+km[λ1a1+λ2a2+…+λm-1am-1] =(k1+kmλ1)a1+(k2+kmλ2)a2+…+(km-1+kmλm-1)am-1， 这与前述已知矛盾，所以am不能由向量组(Ⅰ)线性表示，综上，选(B)．
7． 设随机变量X和Y独立同分布，记U=X-Y，V=X+Y，则随机变量U和V必然 ( )
A．不独立 B．独立
C．相关系数不为零 D．相关系数为零
正确答案：D 解析：由X和Y独立同分布，知E(X)=E(Y)，E(X2)=E(Y2)， 因此cov(U，V)=cov(X-Y，X+Y)=E[(X-Y)(X+Y)]-E(X-Y)E(X+Y) =E[x2-Y2]-[E(X)+E(Y)][E(X)+E(Y)]=0，故应选(D)．
8． 某工厂每天分3个班生产，事件Ai表示第i班超额完成生产任务(i=1，2，3)，则至少有两个班超额完成任务的事件可以表示为( )．
A． B． C． D．
正确答案：B
解析：因为“至少有两个班超额完成”的对立事件是“至多有一个班超额完成”， 也就是“至少有两个班没有超额完成任务”．因此事件可等价地表示为A1A2+A1A3满足f(1)=0的特解，则∫01f(x)dx=_________．
正确答案：-π/8 解析：
10． 设f(x)连续，，则f(0)=_________．
正确答案：2 解析：
11． 设生产函数为Q=ALaKβ，其中Q是产出量，L是劳动投入量K是资本投入量，而A，a，β均为大于零的参数，则当Q=1时K关于L的弹性为_________．
正确答案：-(a/β)
解析：由题设，Q=1，则ALaKβ=1，确定了K为L的函数，两边对L求导，得 A[aLa-1Kβ+La*βKβ-1*K’]=0，
12． 设f(u，v)是二元可微函数=_________．
正确答案：0 解析：
13． 二次型f(x1，x2，x3)=(x1+x2)2+(x2-x3)2+(x3+x1)2的秩为_________．
正确答案：2 解析：由题设，f(x1，x2，x3)=x12+x22+2x1x2+x22+x32-2x2x3+x12+x23+2x1x3；=2x12+2x22+232+2x1x2+2x2x3+2x1x3，则该二次型的矩阵为A=，由初等行变换可将A化为 则r(A)=2，所以二次型的秩为2．
14． 设随机变量Xij(i，j=1，2，…，n；n≥2)独立同分布，E(Xij)=2，则行列式的数学期望E(Y)=_________．
正确答案：0
解析：由题设，根据行列式的定义和数学期望的性质，有
解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15． 设f(x)连续，满足f(x)=sinx-∫ax(x-t)dt，求f(x)．
正确答案：
16． 已知某产品的边际成本为5元／单位，生产该产品的固定成本为200元，边际收益是R’(q)=10-0．02q，则生产该产品多少件时可获得最大利润，这个最大利润是多少?
正确答案：这个问题需要分几步来解决．设最大利润函数为L(q)，成本函数为C(q)． 为求最大利润，需要先求出利润函数． 由于C(q)=∫C’(q)dg=∫(5)dq=5q+C，固定成本为200元等价于C(0)=200， 由此推定出上面积分中的常数C=200．成本函数为C(q)=5q+200． 同样，收益函数R(q)=｜R’(q)dq=∫(10-0．02q)dq=10q-0．01q2+
C． 如果产量q=0，必然R(0)=0， 由此推定出积分常数C=0，收益函数为R(q)=10q-0．01q2． 利润函数为L(q)=R(q)-C(q)=(10q-0．001q2)-(5q+200)=-0．001+5q-200． 为了求出利润函数L(q)的最大值，先找临界点，再判断L’(q)=5-0．002q=0q=250，而L’’(q)=-0．02＜0，根据二阶导数条件可以推出q=250是L(g)唯一极值点，并且是极大值点．这样L(250)=5(250)-0．01(250)2-200=425(元)就是所要找的最大利润，这时的产量为250个单位．
17． 计算二重积分，其中D={(x，y)｜0≤x≤1，0≤y≤1}．
正确答案：D是正方形区域，因在D上被积函数分块表示为
18． 设f(x)在区间[0，1]上可微，且满足条件f(1)=2∫01/2xf(x)dx，试证：存在ξ∈(0，1)，使f(ξ)+ξf’(ξ)=0．
正确答案：由结论可知，若令φ(x)=xf(x)，则φ’(x)=f(x)+xf’(x)． 因此，只需证明φ(x)在[0，1]内某一区间上满足罗尔定理的条件．令φ(x)=xf(x)，由积分中值定理可知，存在 于是φ(1)=f(1)=φ(η)，并且φ(x)在[η，1]上连续，在(η，1)上可导， 故由罗尔定理可知，存在ξ∈(η，1)(0，1)使得φ’(ξ)=0，即f(ξ)+ξf’(ξ)=0．
19． 试证：当x＞0时，(x2-1)lnx≥(x-1)2．
正确答案：令f(x)=(x2-1)lnx-(x-1)2易看出f(1)=0，且有 由此得x=1是f’’(x)的最小点，因而f’’(x)＞f’’(x)＞f’’(1)=2＞0(x＞0，x≠1)；由此，f’(x)在x＞0单调增，又由f’(x)=0，f’(x)在x=1由负变正，x=1是f(x)的最小点， 故f(x)≥f(0)=0(x＞0)，所以当x＞0时，(x2-1)lnx≥(x-1)2．
20． 若矩阵A=相似于对角矩阵，试确定常数a的值，并求可逆矩阵P使P-1AP=．
正确答案：由题设，先求矩阵A的特征值，设E为三阶单位矩阵，则由0=｜A-λE｜==(6-λ)[(2-λ)2-16]，可得λ1=6，λ2=6，λ3=-2，欲使A相似于对角阵A，应使λ1=λ2=6对应两个线性无关的特征向量，因此A-6E的秩为1，于是A-6E=可得出a=0，从而A=，下面求特征向量．当λ1=λ2=6时，由(A-6E)x=0可得出两个线性无关的特征向量为ξ1=(0，0，1)T，ξ2=(1，2，0)T．当λ3=-2时，由(A+2E)x=0可得λ3=(1，-2，0)T，于是P=，且P-1存在，并有P-1AP=A，其中P-1=
21． 求一个正交变换，化二次型f=x12+4x22+4x32-4x1x2-8x2x3，为标准形．
正确答案：二次型的矩阵是其特征多项式为所以A的特征值是λ1=λ2=0，λ3=9．对于是λ1=λ2=0，由(0E—A)X=0，即得到基础解系a1=(2，1，0)T，a2=(-2，0，1)T，即为属于特征值λ=0的特征向量．对于λ3=9，由(9E—A)x=0，即得到基础解系a3=(1，-2，2)T．由于不同特征值的特征向量已经正交，只需对a1，a2正交化．把β1，β2，a3，单位化，有γ1=那么经正交变换，二次型f化为标准形f=9y32．
22． 设总体X～N(μ，8)，μ未知，X1，X2，…，X36是取自X的一个简单随机样本，如果以区间作为μ的置信区间，求置信度
正确答案：依题设，置信区间的长度为2 23． 设随机变量X和1，相互独立且都服从正态分布N(0，1)，而X1，X2，…，X9和Y1，Y2，…，Y9分别是来自总体X和Y的简单随机样本，求统计量所服从的分布，并指明参数．
正确答案：由于X1，X2，…，X9是来自正态总体的样本，且都服从N(0，1)，故由于Y1，Y2，…，Y9相互独立，且都服从N，(0，1)，则η=Y11+Y21+…+Y92(9)又因为随机变量ζ，η相互独立，由t分布知即统计量Z服从t分布，参数为9．
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