江苏高三数学第一次联考试卷

一．填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分. 不需写出解答过程．请把答案直接填写在答题卡相应位置上. ．．．．．．．．

50的解集为M,若5M,则实数a的取值范围是 ▲ ． 1．已知关于x的不等式ax2xa2．已知命题p:xR,cosx1, 则p为 ▲ ．

3．如图，给出幂函数yxn在第一象限内的图象，n取2,1四个值，

2 则相应于曲线C1,C2,C3,C4的n依次为 ▲ ． 4．曲线yy C4 C3 134xx在点1，处的切线与坐标轴围成的三角形面积为 ▲ ． 33O C2C1 x

25．对于任意k1,1,函数f(x)x(k4)x2k4的值恒大于零，则x的取值范围是 ▲ . 6．给出下列四个命题:

2 ①若zC,zz,则zR; ②若zC,zz,则z是纯虚数;

22 ③若zC,zzi,则z=0或z=i; ④若z1,z2C,z1z2z1z2则z1z20. 其中真命题的个数为 ▲ ．

7．设,为互不重合的平面，m，n为互不重合的直线，给出下列四个命题：

①若m,n,则mn； ②若m,n,m∥,n∥，则∥； ③若,m,n,nm,则n；④若m,,m//n,则n// 其中所有正确命题的序号是 ▲ ．

8．已知线段AB为圆O的弦，且AB=2，则AOAB ▲ ．

9．定义运算ab为:ab2aab,例如，121,则函数f(x)=sinxcosx的值域为 ▲ ．

bab210．已知函数f(x)xx，若f(m1)f(2)，则实数m的取值范围是 ▲ ．

11．若两个函数的图象经过若干次平依后能够重合，则称这两个函数为“同形”函数．给出下列四个函数：①

f1xsinxcosx,②f2x2sinx2，③f3xsinx，④f4x2(sinxcosx),其中“同形”函数

有 ▲ ．

12．已若不等式t2at1sinx对一切x[,]及a[1,1]都成立，则t的取值范围是 ▲ ． 13．已知函数f(x)1sinx(xR)的最大值为M，最小值为m，则Mm ▲ ． 1x214．已知区间M[m,m31]，N[n,n]且M，N都是区间[0,1]的子集．若ba把叫做区间[a,b]的43“长度”，则MN的“长度”的最小值是 ▲ ．

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二．解答题:本大题共6小题，共90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． ．．．．．．．．

15．(本小题满分14分)

已知复数z1cosisin， z2cosisin， z1z2 （1）求cos()的值；

（2）若0,且sin5,求sin的值．

1322

16．(本小题满分14分)

设函数f(x)sin(2x)(0),yf(x)图象的一条对称轴是直线x （1） 求；

(2) 求函数yf(x)的单调增区间；

(3) 画出函数yf(x)在区间[0，]上的图象．

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25，求： 58，

17．(本小题满分15分)

如图，四边形ABCD是正方形，PB平面ABCD，MA平面ABCD，PB＝AB＝2MA． 求证：（1）平面AMD∥平面BPC；（2）平面PMD平面PBD．

M

18．(本小题满分15分)

某个体户计划经销A、B两种商品，据调查统计，当投资额为xx0万元时，在经销A、B商品中所获得的收益分别为f(x)万元与g(x)万元、 其中f(x)a(x1)2 （a0）； （b0）已知投资额为零时，收益为零． （1）试求出a、b的值；

（2）如果该个体户准备投入5万元经营这两种商品，请你帮他制定一个资金投入方案，使他能获得最大收益，并求出其收入的最大值、（精确到0、1，参考数据：ln31.10）．

D

C

P

A B

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19．(本小题满分16分)

已知函数f(x)ax2ax和g(x)xa．其中aR且a0． （1）若函数f(x)与的图像的一个公共点恰好在x轴上，求a的值； （2）若p和q是方程f(x)g(x)0的两根，且满足0pq

20．(本小题满分16分) 已知函数f(x)loga1，证明：当x0,p时，g(x)fxpa． a1mx(a0,a1)是奇函数. x1(1) 求实数m的值；

(2) 判断函数f(x)在(1,)上的单调性，并给出证明；

(3) 当x(n,a2)时，函数f(x)的值域是(1,)，求实数a与n的值； (4) 设函数gxax8x1a2fx5，a8时，存在最大实数t，使得x1,t时5gx5恒成立，

请写出t与a的关系式。

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参考答案

一．填空题：

1．[1,25] 2．xR,cosx1 3．2,,,2 4．1 5． (,1)(3,) 6．1个 7．①③

9228．2 9．[-1，112] 10．(1,1) 11．①② 12．13．2 14． 1

12225， 5 二．解答题:

15．解：（１）∵z1z2(coscos)i(sinsin)，z1z242553. ，∴cos(αβ)=(coscos)2(sinsin)252523（２）∵0,∴0<α-β<π,由（1）得cos(αβ)=,

522∴sin(αβ)=

4512. 又sinβ=,∴cosβ= . 51313∴sinα=sin［(αβ)+β］=sin(αβ)cosβ+cos(αβ)sinβ

=4×123(5)33．

13655135

16．解：（１）x8是函数yf(x)的图像的对称轴，

sin(2843. 0 4)1,k2,kZ.k4 kZ

（２）由（１）知ysin(2x由题意得2k3). 422x32k,kZ. 4235)的单调增区间为[k,k],kZ. 4883)知 （３）由ysin(2x4所以函数ysin(2x x y

ABCD，MA平面ABCD，所以PB∥MA．因PB平面BPC，MA 17．（1）证明：因为PB平面/平面BPC，所以MA

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0  8－1 3 80 5 81 7 80  2 22 2∥平面BPC．同理DA∥平面BPC，因为MA平面AMD，AD平面AMD，MA∩AD＝A，所以平面AMD∥平面BPC．

（2）连接AC，设AC∩BD＝E，取PD中点F，连接EF，MF．因ABCD为正方形，所以E为BD中点．因为F

1∥1PB，为PD中点，所以EF∥PB．因为AM所以AM∥所以AEFM为平行四边形．所以MF∥AE．因为PB=2=2=EF．平面ABCD，AE平面ABCD，所以PBAE．所以MFPB．因为ABCD为正方形，所以ACBD．所以MFBD．所

以MF平面PBD．又MF平面PMD．所以平面PMD平面PBD．

P

M F

A E D

C B

18.解：（1）根据问题的实际意义，可知：f(0)0，g(0)0；

即a20a2， ∴、

6lnb0b1（2）由（1）的结果可得：f(x)2x，g(x)6ln(x1)，

依题意，可设投入B商品的资金为x万元（0 < x ≤5），则投入A商品的资金为5x万元、 若所获得的收入为S(x)万元，则有

S(x)2(5x)6ln(x1)6ln(x1)2x10 （0 < x ≤5）- ∵S(x)62，令S(x)0，得x2； x1 当x2时，S(x)0；当x2时，S(x)0；

∴x2是S(x)在区间[0，5]上的唯一极大值点，此时S(x)取得最大值： 、 此时，5x3（万元） S(x)maxS(2)6ln3612.6（万元）

答：该个体户可对A商品投入3万元，对B商品投入2万元，这样可以获得12、6万元的最大收益．

19． 解：（1）设函数g(x)图像与x轴的交点坐标为（a，0）， 又∵点（a，0）也在函数f(x)的图像上，∴aa0． 而a0，∴a1．

（2）由题意可知

32f(x)g(x)a(xp)(xq)．

1,∴a(xp)(xq)0,∴当x0,p时，f(x)g(x)0, a0xpq即f(x)g(x)．

又f(x)(pa)a(xp)(xq)xa(pa)(xp)(axaq1),

xp0,且axaq11aq0,∴f(x)(pa)<0, ∴f(x)pa,

综上可知，g(x)fxpa．

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20．【解】(1)函数定义域为(,1)(1,),

12x(x2)], x1x1由f(x)0,得2x1或x0, 由f(x)0,得x2或1x0. 则递增区间是(2,1),(0,),递减区间是(,2),(1,0).

11(2)由11,e11及(Ⅰ)知：f(x)在[1,0]上递减,在[0,e1]上递增.

ee11122又f(1)22,f(e1)e2,且e222.

eee1x[1,e1]时, [f(x)]maxe22,

e2故me2时,不等式f(x)m恒成立.

f(x)2[(x1)(3) 由题设知：方程xa1ln(1x)20在[0，2] 上恰有两个相异实根.

2x1. 1xx1由g(x)0,得x1或x1, 由g(x)0,得1x1. g(x)在[0,1]上递减,在[1,2]上递增.

设g(x)xa1ln(1x)2,则g(x)1g(0)0∴g(1)0 解得22ln2a32ln3. g(2)0(1) 由题设知：f(x)f(x)0对定义域中的x均成立.

mx11mxloga0. x1x1mx11mx1 ∴m2x21x21对定义域中的x均成立. 即

x1x1∴loga∴m1 即m1（舍去）或m1. ∴ m1. (2) 由(1)及题设知：f(x)loga2x1， x1x1x1221设t， x1x1x1∴当x1x21时，t1t22(x2x1)22 ∴t1t2. x11x21(x11)(x21)当a1时，logat1logat2，即f(x1)f(x2). ∴当a1时，f(x)在(1,)上是减函数. 同理当0a1时，f(x)在(1,)上是增函数. (3) 由题设知：函数f(x)的定义域为(1,)(,1)，

∴①当na21时，有0a1. 由(1)及(2)题设知：f(x)在(n,a2)为增函数，由其值域为(1,)知

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1n1loga（无解）； n1a21②当1na2时，有a3.由(1)及(2)题设知：f(x)在(n,a2)为减函数,

n1由其值域为(1,)知a1得a23，n1.

loga1a34216fx22gxax8x1a5ax8x3a(x)3(4) 由(1)及题设知：，

a 则函数yg(x)的对称轴x4a，a8∴x41a0,2. ∴函数yg(x)在x1,t上单调减.

∴g(t)g(x)g(1)

t是最大实数使得x1,t恒有5g(x)5成立，

g(1)11a35,g(1)g(t)11aat28t3(t1)(ata8)0

∴g(t)at28t35,即at28t8．

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a