安徽大学高等数学期末试卷和答案

《高等数学A（三）》考试试卷（A卷）

（闭卷 时间120分钟）

考场登记表序号

题 号 一 二 三 四 五 总分 得 分

阅卷人

一、选择题（每小题2分，共10分）

得分

1.设A为n阶可逆矩阵，则下列各式正确的是（ ）。

（A）(2A)−1=2A−1； （B）(2A−1)T=(2AT)−1； （C）((A−1)−1)T=((AT)−1)−1； （D）((AT)T)−1=((A−1)−1)T。

2.若向量组α1,α2,󰀢,αr可由另一向量组β1,β2,󰀢,βs线性表示，则下列说法正确的是

（ ）。

（A）r≤s； （B）r≥s；

（C）秩(α1,α2,󰀢,αr)≤秩(β1,β2,󰀢,βs)； （D）秩(α1,α2,󰀢,αr)≥秩(β1,β2,󰀢,βs)。

3.设A,B为n阶矩阵，且A与B相似，E为n阶单位矩阵，则下列说法正确的是（ ）。（A）λE−A=λE−B；

（B）A与B有相同的特征值和特征向量； （C）A与B都相似于一个对角矩阵；

（D）对任意常数k，kE−A与kE−B相似。

4.设α31,α2,α3为R的一组基，则下列向量组中，（ ）可作为R3的另一组基。 （A）α1,α1−α2,3α1−α2； （B）α1,α2,2α1+α2； （C）α1+α2,α2+α3,α1−α3； （D）α1+α2,α2+α3,α1+α3。

5.设P(A)=0.8，P(B)=0.7，P(A|B)=0.8，则下列结论正确的是（ ）。

（A）事件A与B互不相容； （B）A⊂B；

（C）事件A与B互相独立； （D）P(A∪B)=P(A)+P(B)。

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二、填空题（每小题2分，共10分） 得分

6.设4阶方阵A的秩为2，则其伴随矩阵A*的秩为 。

⎛1⎞

7.设λ=2是非奇异矩阵A的一个特征值，则矩阵⎜A2⎟必有一个特征值等

⎝3⎠

于 。

⎛2⎞

8.设离散型随机变量X的分布列为P(X=k)=a⋅⎜⎟，k=0,1,2,3，则

⎝3⎠

a= 。

k−1

01⎞⎛−12

9.设离散型随机变量X的分布列为⎜，若Y=X，则⎟

0.250.50.25⎝⎠

P(Y=1)= 。

10.某车间生产的滚珠直径X服从N(μ,σ2),现从产品中随机抽取6件,测得平均直径为

x=14.95,若已知方差σ2=0.06,则平均直径μ的置信度为95%的置信区间为 。 (Φ(1.96)=0.975,Φ(1.645)=0.95)

三、计算题（每小题9分，共9分）

11.计算下列行列式

a111󰀢1

得分

0

Dn=10a30，这里a2a3󰀢an≠0。

󰀢󰀢󰀢󰀢󰀢100󰀢an

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1

a2

0

󰀢󰀢

答 题 勿 超 装 订 线 ------------------------------装---------------------------------------------订----------------------------------------线----------------------------------------

四、分析题（每小题13分，共65分）

12.已知线性方程组AX=β有无穷多解，其中

得分

1⎛a⎜

A=⎜0a−1

⎜11⎝

求：（1）a的值； （2）方程组AX

1⎞⎛−2⎞⎟⎜⎟0⎟，β=⎜1⎟。

⎜1⎟a⎟⎠⎝⎠

=β的通解。

13.设二次型f(X)=2x12+3x22+3x32+4x2x3，

（1）求正交变换X=QY，并写出f(X)的标准形； （2）判定二次型f(X)的正定性。

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14.玻璃杯成箱出售，每箱8只，假设每箱含0只和1只残次品的概率分别为0.8和0.2。一位顾客欲购一箱玻璃杯，在购买时，售货员随意取一箱，而顾客随机地查看2只，若无残次品，则买下该箱玻璃杯，否则退回。试求： （1）顾客买下该箱的概率；

（2）在顾客买下的一箱中，确实没有残次品的概率。

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答 题 勿 超 装 订 线 ------------------------------装---------------------------------------------订----------------------------------------线---------------------------------------- 15.设(X,Y)服从以x轴、直线x=1以及y=x围成的三角区域上均匀分布，试判断X,Y的独立性和相关性。

16.假设总体X的密度函数为

⎧e−(x−θ),x≥θ f(x;θ)=⎨

,x<θ⎩0

其中，θ>0是未知参数，(X1,󰀢,Xn)为取自X的样本，试求θ的矩估计量和最大似然估计量。

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五、证明题（每小题6分，共6分）

17.若A为n阶方阵，且A3=0，证明：A−E为可逆矩阵。

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得分

安徽大学2011—2012学年第一学期

《高等数学A（三）》（A卷）考试试题参考答案及评分标准

一、选择题（每小题2分，共10分）

1、C； 2、C； 3、D； 4、D； 5、C。

二、填空题（每小题2分，共10分）

6、0； 7、3/4； 8、27/65； 9、0.5； 10、(14.754,15.146)。

三、计算题（每小题9分，共9分）

1

11.解：将第j列乘上−均加到第1列上（j=2,3,\",n），得到

aj

a1−Dn=

111−−\"−a2a3an

0

0\"0

1

1

\"

1

a200a3\"\"00

\"0

(7分)

\"0\"\"\"an

n⎛1

=⎜a1−∑⎜j=2aj⎝⎞

aa\"an. （9分） ⎟⎟23⎠

四、分析题（每小题13分，共65分）

12. 解：（1）增广矩阵

1a1⎞11−2⎞⎛1⎛a

󰀄=⎜0a−101⎟→⎜0a−101⎟ A⎟⎜⎟⎜

⎜⎜1⎟11−2⎟1a1⎠⎝a⎝⎠

1a1⎞⎛11a1⎞⎛1⎜⎟⎜⎟→⎜0a−101⎟→⎜0a−101⎟， ⎜01−a1−a2−2−a⎟⎜0⎟01−a2−1−a⎠⎝⎠⎝

因为线性方程组AX=β有无穷多解，故a=−1。 （6分） （2）当a=−1时，

⎛11−11⎞⎛10−13/2⎞⎛10−13/2⎞

⎟⎟⎜󰀄→⎜0−201⎟→⎜0−20→010−1/2A1⎟， ⎟⎜⎜⎟⎜

⎜⎜0000⎟⎜0000⎟0⎟⎠⎠⎝000⎝⎠⎝

故方程组的通解为

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⎛3⎞⎛1⎞1⎜⎟⎜⎟

X=⎜−1⎟+k⎜0⎟ （k为任意常数）。 （13分）

2⎜⎟⎜1⎟⎝0⎠⎝⎠

⎛200⎞⎜⎟

13.解：(1)二次型的矩阵为A=⎜032⎟。由

⎜023⎟⎝⎠

λ−2

λE−A=

00

0λ−3−2

0

−2=(λ−2)(λ−5)(λ−1),

λ−3

得A的特征值为λ1=2, λ2=5, λ3=1。 （4分）

当λ1=2时, 解方程(2E−A)X=0，由

⎛000⎞⎛012⎞⎜⎟⎜⎟

2E−A=⎜0−1−2⎟→⎜001⎟，

⎜0−2−1⎟⎜000⎟⎝⎠⎝⎠得特征向量(1, 0, 0)T. 取α1=(1,0,0)T。

当λ2=5时, 解方程(5E−A)X=0，由

⎛300⎞⎛100⎞

⎟⎜⎟⎜

5E−A=⎜02−2⎟→⎜01−1⎟，

⎜0−22⎟⎜000⎟

⎠⎝⎠⎝得特征向量(0, 1, 1)T. 取α2=(0,1/2,1/2)T。

当λ3=1时, 解方程(E−A)X=0, 由

⎛−100⎞⎛100⎞⎟⎜⎟⎜

A−E=⎜0−2−2⎟→⎜011⎟，

⎜0−2−2⎟⎜000⎟

⎠⎝⎠⎝得特征向量(0, −1, 1)T. 取α3=(0,−1/2,−1/2)T。

于是有正交矩阵Q=(α1,α2,α3)和正交变换X=QY, 使

f=2y12+5y22+y32。 （10分）

(2) 因为该二次型的正惯性指数为3，故该二次型为正定二次型。 （13分）

，Bi=“该箱中恰有i个残次品”，i=0,1。 14. 解：设A=“顾客买下该箱玻璃杯”（1）由全概率公式有

P(A)=P(B0)P(A|B0)+P(B1)P(A|B1)

C82C72

=0.8×2+0.2×2=0.95。 （7分）

C8C8

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（2）由贝叶斯公式有

P(B0|A)=

P(B0)P(A|B0)

P(B0)P(A|B0)+P(B1)P(A|B1)

C82

0.8×2

C8

=0.842。 （13分）=22

0.8×C8CC2+0.2×72

8C8

15. 解：设(X,Y)的联合概率密度函数为

f(x,y)=⎧⎨2(x,y)∈G

⎩

0(x,y)∉G

fX(x)=∫

+∞

⎧⎪∫x

0−∞

f(x,y)dy=⎨

2dy,0≤x≤1=⎧⎪⎨2x,0≤x≤1

⎩0,

其他⎩0,其他1同理ff(x,y)dx=⎪

⎨∫y2dx,0≤y≤1=⎧2(1−y),0≤yY(y)=∫

+∞

⎧−∞

⎪⎨≤1

⎩0,

其他⎩0,其他

因为f(x,y)≠fX(x)fY(y)，所以X,Y不独立。 EX=∫10x⋅2xdx=2⋅12

3x3|10=3

， EY=∫1

2y⋅(1−y)dy=(y223120

−

3y)|10=1−3=3

， EXY=∫∫2xydxdy=∫1x1

x1

10

[∫0

2xydy]dx=∫0

2x[∫0

ydy]dx=∫0

2x⋅

2

y2|x

0dx G

=∫12x⋅1x2dx=1x4|11

0240=4

， Cov(X,Y)=EXY−EXEY=

124−3⋅13=136

≠0， 故X,Y相关。

16.解：先求θ的矩估计量

μ+∞)1=EX=∫xe−(x−θdx=eθ∫+∞

xe−xθθdx

=−eθ∫

+∞

θxd(e−x)=−eθ[xe−x|+∞

+∞

θ−∫θe−xdx]

=−eθ[0−θe−θ+e−x|+∞

θ]=−eθ[−θe−θ−e−θ]

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7分）

13分）

（ （=eθ[θe−θ+e−θ]=θ+1。

A1=X。

令μ1=A1，则有

ˆ=X−1, θ即为θ的矩估计量。 （7分） 再求θ的最大似然估计量。似然函数为

L(x1,\",xn;θ)=∏f(xi;θ)=∏e

i=1

i=1

n

n

θ−xi

nθ−

=e

∑xi

i=1

n

,

lnL=nθ−∑xi,

i=1

n

dlnL

=n>0, dθ即lnL为θ的递增函数，又因为对任意的i，有xi≥θ，故θ的最大似然估计值为

θˆ=minxi。

i

最大似然估计量为

θˆ=minXi。 （13分）

i

五、证明题（每小题6分，共6分） 17. 证明：由A3=0得到

A3−E=−E，

即

(A−E)(A2+A+E)=−E， （3分） 故

(A−E)(−(A2+A+E))=E，

因而A−E可逆。 （6分）

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