高一数学人教新课标B版上学期期中复习B

课程解读

一、学习目标：

1. 复习集合的概念及其相关运算。 2. 复习函数及其图象与性质。 3. 能够运用函数解决相关问题。

二、重点、难点：

重点：集合、函数的概念与性质 难点：集合、函数的应用

三、考点分析：

集合是现代数学的基础，是传统的知识内容，是高中数学的基本内容之一。函数及其应用部分在高考中占有重要地位，属于每年必考内容，对这一部分内容应引起重视。

知识梳理

第一章 集合及其运算 一、集合的特征：

1. 确定性 2. 无序性 3. 互异性

二、表示方法：

1. 列举法 2. 描述法 3. 图示法 4. 区间法

三、三种运算：

交集：AB{x|xA且xB}

并集：AB{x|xA或xB}

UAA{x|xU且xA} 补集：Cð

四、运算性质：

1. AA，A。

2. 空集是任意集合的子集，是任意非空集合的真子集。 3. 若AB，则ABA，ABB。

4. A(CUA)，A(CUA)U，CU(CUA)A。

5. (CUA)(CUB)CU(AB)，(CUA)(CUB)CU(AB)。

6. 集合{a1,a2,a3,,an}的所有子集的个数为2n，所有真子集的个数为2n1，所有非空真子集的个数为2n2。

第二章 函数

指数与对数运算

一、指数及其运算：

1. 负数没有偶次方根；

2. 两个关系式：(na)na；a3. 正数的正分数指数幂的意义：

mnnnan为奇数

|a|n为偶数anam； m1正数的负分数指数幂的意义：an。

nmamnmnmnmn⑴ aaa； ⑵ aaa；

4. 分数指数幂的运算性质：

mnmnmmm(a)a(ab)ab⑶ ； ⑷ ； 0⑸ a1，其中m、n均为有理数，a，b均为正实数

二、对数及其运算 1. 两个对数：

⑴ 常用对数：a10，blog10NlgN；

⑵ 自然对数：ae2.71828，blogeNlnN。 2. 三条性质：

⑴ 1的对数是0，即loga10； ⑵ 底数的对数是1，即logaa1； ⑶ 负数和零没有对数。 3. 四条运算法则：

MlogaMlogaN； N1nn⑶ logaMnlogaM； ⑷ logaMlogaM。

n⑴ loga(MN)logaMlogaN； ⑵ loga4. 其他运算性质：

⑴ 对数恒等式：alogabb；

logca； logcb⑶ logablogbclogac；logablogba1；

nn⑷ logamblogab。

m⑵ 换底公式：logab

三、函数的解析式

1. 根据对应法则的意义求函数的解析式；

例如：已知f(x1)x2x，求函数f(x)的解析式。

2. 已知函数解析式的一般形式，求函数的解析式；

例如：已知f(x)是一次函数，且f[f(x)]4x3，求函数f(x)的解析式。 3. 由函数f(x)的图象受制约的条件，进而求f(x)的解析式。

四、函数的定义域

1. 根据给出的函数解析式求其定义域：

⑴ 整式：xR

⑵ 分式：分母不等于0

⑶ 偶次根式：被开方数大于或等于0 ⑷ 含0次幂、负指数幂：底数不等于0

⑸ 对数：底数大于0，且不等于1，真数大于0 2. 根据对应法则的意义求函数的定义域：

例如：已知yf(x)的定义域为[2,5]，求yf(3x2)的定义域； 已知yf(3x2)的定义域为[2,5]，求yf(x)的定义域。 3. 实际问题中，根据自变量的实际意义确定函数的定义域。

五、函数的值域

求函数值域（最值）的常用方法：函数的值域决定于函数的解析式和定义域，因此求函数值域的方法往往取决于函数解析式的结构特征，常用解法有：观察法、配方法、换元法、常数分离法、单调性法、不等式法等。

六、函数的奇偶性：

1. 判断函数f(x)奇偶性的步骤：

（1）判断函数f(x)的定义域是否关于原点对称，如果对称可进一步验证；

（2）验证f(x)与f(x)的关系，若满足f(x)f(x)，则为奇函数，若满足f(x)f(x)，则为偶函数，否则函数f(x)既不是奇函数，也不是偶函数。

2. 奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称。

3. 已知f(x)、g(x)分别是定义在区间M、N(MN)上的奇（偶）函数，根据条件判断下列函数的奇偶性。 f(x) g(x) 奇 奇 偶 偶 奇 f(x) 奇 1f(x) f(x)g(x) 奇 f(x)g(x) 奇 偶 f(x)g(x) 偶 奇 奇 偶 偶 奇 偶 偶 偶 4. 若奇函数f(x)的定义域包含0，则f(0)0。 5. 一次函数ykxb(k0)是奇函数的条件是b0； 二次函数yax2bxc(a0)是偶函数的条件是b0。

七、函数的单调性：

判断函数单调性的常用方法： 1. 定义法：

⑴ 取值； ⑵ 作差、变形； ⑶ 判断； ⑷ 定论。

2. 奇函数在对称区间上的单调性相反；偶函数在对称区间上的单调性相同。

典型例题

知识点一：集合及其运算

例1：下列命题正确的有哪几个？ ⑴很小的实数可以构成集合；⑵集合｛1，5｝与集合｛5，1｝是不同的集合；⑶集合｛（1，

3615）｝与集合｛（5，1）｝是同一个集合；⑷由1，2，4，∣－2∣，0.5 这些数组成的集合

有5个元素。

【思路分析】 题意分析：这类题主要考查对集合概念的理解，解决这类题的关键是以集合中元素的确定性、互异性、无序性为标准作出判断。

解题过程：⑴“很小”是一个模糊概念，没有明确的标准，故我们很难确定某一个对象是否在其中，不符合集合元素的确定性，因此，“很小的实数”不能构成集合，故⑴错。

⑵｛1，5｝是由1，5两个数组成的集合，根据集合元素的无序性，它与｛5，1｝是同一个集合，故⑵错。

⑶｛（1，5）｝是由一个点（1，5）组成的单元素集合，由于（1，5）与（5，1）表示两个不同的点，所以｛（1，5）｝和｛（5，1）｝是不同的两个集合，故⑶错。

361361⑷2＝4，∣－2∣＝0.5，因此，由1，2，4，∣－2∣，0.5 这些数组成的集合

3为｛1，2，0.5｝，共有3个元素。因此，⑷也错。

【题后思考】掌握集合的特征是学好集合的基础，是解集合题的关键，它主要指集合元素的确定性、互异性和无序性，这些性质为我们提供了解题的依据，特别是元素的互异性，稍有不慎，就易出错。

例2：已知集合A＝｛a，a＋b，a＋2b｝，B＝｛a，aq，aq｝，其中a0，A＝B，求q的值。 【思路分析】

题意分析：本题最常见的错误是认为这两个集合的对应项相同，列出相应的关系式，然后求出q的值，这显然违背了集合的无序性。

解题过程：∵A＝B，及集合元素的无序性，∴有以下两种情形：

2abaq2①a2baq

2消去b，解得q＝1，此时a＝aq＝aq，与集合中元素的互异性矛盾，∴q1。

abaq211②a2baq消去b，解得q＝－2，或q＝1（舍去），故q的值为－2。

【题后思考】本题中，利用集合元素的无序性和两集合相等时的元素特征，得出两个方程组，打开了解题的大门，求出q值后，又利用了集合元素的互异性进行检验，保证了所求得结果的准确性。

知识点二：函数及其性质的应用 例1：求函数

ylog22x13x的定义域。

【思路分析】

题意分析：根据对数函数的定义——真数大于0求解即可。

2x103x解题过程：⑴由即(2x1)(3x)0

1x3解得：2

1xx3。 ∴函数的定义域为22x12x103x3x【题后思考】对数式的真数为，本来需要考虑分母3－x0，但由于

已包含3－x0的情况，因此不再列出。

1xf()x例2：已知函数1x。求：（1）f(2)的值；（2）f(x)的表达式 【思路分析】

1x题意分析：（1）由给定的值代替1x，解得x的值即可；

（2）求f(x)的解析式就是得出y＝f(x)的形式。

1x112xf(2)3，所以3。 解题过程：（1）由1x，解得

1x1t1t1xtxf(t)f(x)1t，所以1t，即1x。 （2）设1x，解得

【题后思考】此题的解法中突出了换元法的思想。这类题的函数式没有直接给出，称为抽象函数的研究，常常需要结合换元、特值代入、方程思想等方法。

例3：如图，有一块边长为a的正方形铁皮，将其四个角各截去一个边长为x的小正方形，然后折成一个无盖的盒子，写出体积V以x为自变量的函数式是_____，这个函数的定义域为_______。

【思路分析】

题意分析：求盒子的体积就是要表示出盒子的长、宽、高，再代入体积公式即可。 解题过程：盒子的高为x，长、宽均为a－2x，所以体积为V＝x(a－2x)。

ax2。 又由a－2x0，解得

a{x|0x}22。 所以，体积V以x为自变量的函数式是Vx(a－2x)，定义域为

【题后思考】函数问题与实际生活联系起来，在求函数的解析式后要注意变量的实际意

义。

2

例4：求下列函数的单调区间：

（1）y|x1||2x4|；（2）yx2|x|3。 【思路分析】

题意分析：先画出函数的图象，再由图象说出单调性。 画图时要依据相应的解析式来画，所以要先去绝对值符号。

3x3,x1y|x1||2x4|x5,2x13x3,x2解题过程：（1），其图象如a。

2

a

由图a可知，函数在[2,)上是增函数，在(,2]上是减函数。

2x2x3,x0yx2|x|32x2x3,x0，其图象如b。 （2）

2

b

由图b可知，函数在(,1]、[0,1]上是增函数，在[1,0]、[1,)上是减函数。

【题后思考】函数式中含有绝对值，可以采用分零点讨论去绝对值的方法，将函数式化为分段函数。第（2）小题也可以由偶函数的对称性，先作y轴右侧的图象，并把y轴右侧的图象对折到左侧，得到f(|x|)的图象。由图象研究单调性，关键在于正确作出函数图象。

例5：求下列函数的最大值和最小值：

53y32xx2,x[,]22； （2）y|x1||x2|。 （1）

【思路分析】 题意分析：（1）二次函数的最值可画出图象再由定义域确定；（2）分段函数的最值要根

据各段的取值画出准确的图象再判断。

解题过程：（1）二次函数y32xx的对称轴为即x1。画出函数的图象，由图a可知，

2xb2a，

a

当x1时，ymax4； 当

x39ymin4。 2时，

539y32xx2,x[,]22的最大值为4，最小值为4。 所以函数

3 (x2)y|x1||x2|2x1 (1x2)3 (x1)（2）。

b

作出函数的图象，由图b可知，y[3,3]。

所以函数y|x1||x2|的最大值为3，最小值为－3。 【题后思考】求二次函数在闭区间上的最大值或最小值，常根据闭区间与对称轴的关系，结合图象进行分析。含绝对值的函数，常采用分零点讨论去绝对值的方法，转化为分段函数进行研究，分段函数的图象应注意分段作出。

提分技巧

集合部分要牢记集合中元素的三大特征：确定性、无序性、互异性，解题时要注意验证。

函数部分在解题时要注意熟记函数的性质与图象，注意数形结合及方程思想的应用。

同步练习

（答题时间：45分钟）

1. 若集合a,b,c当中的元素是△ABC的三边长，则该三角形是 （ ） A. 正三角形 B. 等腰三角形 C. 不等边三角形 D. 等腰直角三角形 2. 集合{1，2，3}的真子集共有 （ ） A. 5个 B. 6个 C. 7个 D. 8个 3. 设A、B是全集U的两个子集，且AB，则下列式子成立的是 （ ） A. CUACUB B. CUACUB＝U C. ACUB＝ 4. 函数f（x）＝A. （1，＋∞）

2

D. CUAB＝

log1(x－1)

的定义域是（ ） B. （2，＋∞）

，2] C. （－∞，2） D. (15. 下列四组函数中，f（x）与g（x）表示同一函数的是（ ）

A. f（x）＝x，g（x）＝(x)

2x＋1,x－1－1－x,x＜－1B. f（x）＝｜x＋1｜，g（x）＝

C. f（x）＝x＋1，g（t）＝t－1 D. f（x）6. 已知x3x1x1,g(t)x21

1C. 2 D. 2

8，那么x等于（ ）

B. 2

A. 2

x1(x0)f(x)0(x0)f[f(1)]x1(x0)2的值是（ ） 7. 已知，则

1313A. 2 B. 2 C. 2 D.2

8. 设M＝｛x｜－2≤x≤2｝，N＝｛y｜0≤y≤2｝，函数f（x）的定义域为M，值域为N，则f（x）的图象可以是（ ）

2229. 设A＝{x|x4x0},B{x|x2(a1)xa10}，其中xR，如果AB＝B，求实数a的取值范围。

xx1y21x12xx110. 请在所给坐标系中画出函数的图象，并求其值域。

ax＋111. 已知函数f（x）＝bx＋c（a，b，c∈Z）是奇函数，又f（1）＝2，f（2）＜3。

（1）求a，b，c的值；

（2）判断f（x）在（－∞，0）上的单调性。

12. 设f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，并且f(x)g(x)xx，求f(x)。

22试题答案

1. C 解析：考查集合中元素的互异性。

32. C 解析：有3个元素的集合的真子集为217个。

3. C

4. D 解析：要保证真数大于0，还要保证偶次根式下的式子大于等于0，

x－1＞0log1(x－1)02所以解得1＜x≤2。

5. B 解析：检验每组函数的定义域、值域、对应关系。 6. D 解析：由x38解得

x

1

2

7. A

8. B 解析：考查函数与自变量的一一对应关系。 9. 解：∵A＝{0，－4}，又AB＝B，∴BA。

（i）B＝时，4（a＋1）2－4（a2－1）＜0，得a＜－1； （ii）B＝{0}或B＝{－4}时，由0，得a＝－1；

2(a1)42（iii）B＝{0，－4}时，a10 解得a＝1。

综上所述，实数a＝1 或a≤－1。 10. 1,，

ax＋111. 解：（1）∵函数f（x）＝bx＋c（a，b，c∈Z）是奇函数，

ax2＋1ax2＋1∴f（－x）＝－f（x）. 故：－bx＋c＝bx＋c，即－bx＋c＝－bx－c。 ax2＋1a＋1∴c＝0. ∴f（x）＝bx. 又f（1）＝2，故b＝2。

4a＋14a＋1而f（2）＜3，即2b＜3，即a＋1＜3，∴－1＜a＜2。

又由于a∈Z，∴a＝0或a＝1。

21当a＝0时，b＝2（舍）；

当a＝1时，b＝1。

综上可知，a＝b＝1，c＝0。

1x2＋1（2）f（x）＝x＝x＋x。

设x1、x2是（－∞，0）上的任意两个实数，且x1＜x2，则

1111f（x1）－f（x2）＝x1＋x1－（x2＋x2）＝x1－x2＋（x1－x2）

x1－x2x1x2－1＝x1－x2－x1x2＝（x1－x2）x1x2。

当x1－x2≤－1时，x1x2＞1，x1x2－1＞0，从而f（x1）－f（x2）＜0，

x2＋11]上为增函数。 即f（x1）＜f（x2）. 所以函数f（x）＝x在(－，－当－1≤x1＜x2＜0时，0＜x1x2＜1，x1x2－1＜0，从而f（x1）－f（x2）＞0，

即f（x1）＞f（x2）。

x2＋1所以函数f（x）＝x在[1,0)上为减函数。

12. 解：∵f(x)为奇函数 f(x)f(x) 又g(x)为偶函数 g(x)g(x)

f(x)g(x)x2x f(x)g(x)x2x

22从而 f(x)g(x)xx,f(x)g(x)xx 2f(x)xf(x)g(x)xx22f(x)g(x)xxg(x)x 