构造辅助函数在Lagrange和Cauchy中值定理中的应用

２０１３年第ｌｌ期　第２９卷　（总３２３期）　吉林省教育学院学报　ＪＯＵＲＮＡＬＯＦＥＤＵＣＡＴＩＯＮＡＬＩＮＳＴＩＴＵＴＥＯＦ　ＪｌＬ　ＰＲＯＶＩＮＣＥ　Ｎｏ．１１，２０１３　ＶＯＬ２９　Ｔｏｔａｌ　Ｎｏ．３２３　构造辅助函数在Ｌａｇｒａｎｇｅ和Ｃａｕｃｈｙ中值定理中的应用　侯首萍　（北京农学院基础教学部，北京１０２２０６）　摘要：笔者首先给出ＲｏＵｅ定理的证明，在此基础上利用构造辅助函数法给出Ｌａｇｒａｎｇｅ中值定理和Ｃａｕｅｈｙ中值定理一种　新的证明方法。所用的方法简洁、规范，在教学中有很强的实用性。　关键词：ＲｏＵｅ定理；Ｌａｇｒ彻ｇｅ中值定理；Ｃａｕｃｈｙ中值定理　中图分类号：Ｏ１７２　文献标识码：Ａ　文章编号：１６７１－－１５８０（２０１３）１１—０１４７—０２　国内许多教材和文献给出了微分中值定理的许　多证明方法，其价值不言而喻。Ｒｏｌｌｅ定理是最基本　的定理，笔者从该基本定理出发，利用构造辅助函数　ｌｉｍ州＋　ｌｉｒａ州一　巩　法给出Ｌａｇｒａｎｇｅ中值定理和Ｃａｕｃｈｙ中值定理一种　新的证明方法。所用的方法简洁、规范，在教学中有　很强的实用性。　ＲｏＨｅ定理　因此，厂（　）＝厂（　）＝厂（　一）＝０．定理　证毕。　接下来，利用构造辅助函数法给出Ｌａｇｒａｎｇｅ中　值定理和Ｃａｕｃｈｙ中值定理一种新的证明方法。　Ｌ￣ｒａｎｇｅ中值定理如果函数，（　）满足（１）在　闭区间［口，ｂ］上连续；（２）在开区间（ｎ，ｂ）内可导，　那么在（。，６）内至少有一点　（口＜　＜６），使等式　６）一　口）＝厂（　）（６一口）成立。　分析：将结论变形为厂（　）一　＝ｏ，　如果函数　）满足（１）在闭区间［口，ｂ］上连　续；（２）在开区间（口，６）内可导；（３）在区间端点处　的函数值相等，即　ａ）＝　ｂ），那么在（ａ，６）内至　少有一点　（ａ＜　＜ｂ），使得厂（　）＝０．　证明：由于　）在闭区间［口，ｂ］上连续，根据　闭区间上连续函数的最大值和最小值定理，可知　戈）在闭区间［口，６］上必取得它的最大值肼，最小　值ｍ．这样，只有两种可能情形：　（１）若Ｍ＝ｍ，则　）＝Ｍ＝ｍ（常数），所以　即Ｇ　（　）＝０，自然想到构造辅助函数　Ｇ（　）＝　）一　查　．　厂（　）＝０．由此，Ｖ　∈（口，６），有厂（　）＝０．　（２）若　≠／／／，，即Ｍ＞ｍ，注意到厂（口）＝　ｂ），　所以　和ｍ至少有一个在（口，６）内部取得．不妨设　证明：构造辅助函数　ｃ（　）＝　）一　鱼　，　’・　显然Ｇ（　）在闭区间［ａ，ｂ］上连续，在开区间　（口，６）内可导，且　Ｇ（口）＝　口）一　口，ｃ（６）＝　６）一　∈（ａ，ｂ），使得　）＝Ｍ（如果设厂（　）：／Ｔｔ．，证法　完全类似）．由于　戈）在　可导，所以　厂（　）＝　（　一）　收稿日期：２０ｌ３—０８—　作者简介：侯首萍（１９７９一），女，北京人，北京农学院基础教学部，讲师，硕士。研究方向：应用数学。　１４７　ｂ。　Ｇ（６）一Ｃ（ａ）＝　６）一　６一ｆ（ａ）＋　二　２口　：　６）一　。）一　０一ａ　（６一位）：０。　即Ｇ（口）＝Ｇ（ｂ）．　由Ｒｏｌｌｅ定理知，在（ａ，ｂ）内至少有一点　，使　Ｇ　（　）＝　（　）一　＝０，ｏ１］ｆ（ｂ）一ｆ（ａ）　＝厂（　）（ｂ—ｎ）．定理证毕。　Ｃａｕｃｈｙ中值定理如果函数　）及Ｆ（　）满足　（１）在闭区间［口，ｂ］上连续；（２）在开区间（ａ，ｂ）内　可导；（３）对任一　Ｅ（口，ｂ），Ｆ　（　）≠０，那么在　（Ⅱ，ｂ）内至少有一点　（口＜　＜ｂ），使等式　Ｆ　ｂ　（）Ｆ　（口）一Ｆ　（：　一　）肌且’成立．　分析：将结论变形为厂（　）［Ｆ（ｂ）一Ｆ（口）］一　Ｆ’（　）　ｂ）一　ａ）］ｍ－－０，即Ｇ’（　）＝０，自然想到　构造辅助函数Ｇ（　）＝＿厂（　）［Ｆ（ｂ）一Ｆ（ａ）］一　Ｆ（ｘ）　ｂ）一八口）］．　证明：构造辅助函数Ｃ（ｘ）：　）［，（ｂ）一　Ｆ（口）］一Ｆ（ｘ）［．厂（ｂ）一　Ｃ／，）］，　显然Ｃ（ｘ）在闭区间［ａ，ｂ］上连续，在开区间　（ａ，６）内可导，且　Ｇ（ａ）＝　ａ）［Ｆ（ｂ）一Ｆ（口）］一Ｆ（ａ）［　ｂ）一　＿厂（口）］　＝　口）Ｆ（ｂ）一　口）Ｆ（０）一Ｆ（０）－厂（ｂ）＋　Ｆ（ｏ）厂（ａ）＝　０）Ｆ（ｂ）一Ｆ（０）厂（ｂ），　Ｇ（ｂ）＝　ｂ）［Ｆ（ｂ）一Ｆ（口）］一Ｆ（ｂ）［　ｂ）一　ａ）］　＝－厂（ｂ）Ｆ（ｂ）一，（ｂ）Ｆ（口）一　（６）厂（ｂ）＋　Ｆ（６）　口）＝Ｆ（６）厂（ａ）一厂（ｂ）Ｆ（ｎ），　即Ｇ（０）＝Ｇ（ｂ）．　由ＲｏＵｅ定理知，在（口，ｂ）内至少有一点　，使　Ｇ　（　）＝厂（　）［Ｆ（ｂ）一Ｆ（０）］一Ｆ　（　）已　ｂ）一　ｆ（ａ　０御揣＝　．　定理证毕。　我们再看两例Ｒｏｌｌｅ定理和构造辅助函数法的　１４８　应用：　例１已知函数　）在［０，口］上连续，在（０，ａ）　内可导，且　口）＝０．证明在（０，口）内存在一点　，　使得　（　）＋　）＝０．　分析：结论　（　）＋　）Ｂ－－０，即Ｇ　（　）＝０，　自然想到构造辅助函数Ｇ（　）＝ｘ３ｆ（　）．　证明：构造辅助函数Ｃ（ｘ）＝ｘ３ｆ（　），　显然Ｃ（ｘ）在闭区间［０，ａ］上连续，在开区间　（０，口）内可导，且　ｃ（ｏ）＝ｏ３ｆ（０）＝０，Ｇ（０）＝ａ３ｆ（口）＝０，且ｐ　Ｇ（Ｏ）＝Ｇ（１）．　由Ｒｏｌｌｅ定理知，在（０，ａ）内至少有一点　，　使Ｇ　（　）＝０，又Ｇ　（　）＝３ｘ　）＋戈　（　），　得　Ｇ　（　）＝３￣２ｆ（　）＋亭　（　）：０，即考　（亭）＋　３，（　）＝０，证毕。　例２已知函数　）在［０，１］上连续，在（Ｏ，１）　内可导，且　１）＝０．证明在（０，１）内存在一点　，　使得厂（　）：一　．　５　分析：将结论变形为　（　）十　）＝０，即　Ｇ　（　）：０，自然想到构造辅助函数Ｇ（　）＝　）．　证明：构造辅助函数Ｃ（ｘ）＝　），　显然Ｇ（　）在闭区间［０，１］上连续，在开区间　（０，１）内可导，且　Ｃ（０）＝ｏｆ（ｏ）＝０，Ｇ（１）＝　１）＝０，即　Ｇ（Ｏ）＝Ｇ（１）．　由Ｒｏｌｌｅ定理知，在（０，１）内至少有一点　，　使Ｇ　（　）＝０，又Ｇ　（　）＝，（　）＋矿（　），得　Ｇ，（　）：　）＋　（　）：０，即　（　）：一　，　５　证毕。　［参考文献］　［１］李辉赖，孙毅．张旭利．微积分［Ｍ］．ｊＥ京：清华大学出版　社。２００６．　［２］张国楚，徐本顺．高等数学教程［Ｍ］．北京：教育科学出版　社。２０００　［３］陈传璋等。数学分析［Ｍ］．北京：高等教育出版社，１９８ｌ。　［４］强文久等．数学分析的基本概念与方法［Ｍ］．北京：高等教　育出版社，１９８５．　［５］同济大学应用数学系统．微积分［Ｍ］．北京：高等教育出版　社。２００２．