专题13+两招破解平面向量难题(文)

一．【学习目标】

1．会用向量方法解决某些简单的平面几何问题．

2．会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题方法总结 二．【平面向量解题方法规律】 1用向量解决平面几何问题的步骤

1建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；

2通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题； 3把运算结果“翻译”成几何关系

2应用向量解决问题的关键是要构造合适的向量，观察条件和结构，选择使用向量的某些性质解决相应的问题，如用数量积解决垂直、夹角问题，用三角形法则、模长公式解决平面几何线段长度问题，用向量共线解决三点共线问题等，总之，要应用向量，如果题设条件中有向量，则可以联想性质直接使用，如果没有向量，则更需要有向量工具的应用意识，强化知识的联系，善于构造向量解决问题

3几点注意事项

1在处理三点共线问题时，转化为两个向量共线解决，需说明两个向量有公共点，两直线不能平行，只能重合

2在解决夹角问题时，应注意向量的方向，向量的夹角与所求角可能相等，也可能互补

1

3证明垂直问题一般要经过向量的运算得到数量积a·b＝0，尽量用坐标运算

三．【平面向量题型分析】 （一）平面向量基本定理的应用 例1．设为A．-2B．【答案】A 【解析】由结合

【详解】

，

，故选A

【详解】依题所以

，所以当

，由图易知向量

所成角为钝角，

，根据向量运算的“三角形法则”可得

，

所在平面内一点，若

，

，则

（）

C．D．2

，求得的值，从而可得结果

，

最小时，即为向量在向量方向上的投影最

最小（如图所示），

小，数形结合易知点P在点D时,

在三角形ADE中，由等面积可知

，所以

，

【点睛】本题考查了平面向量数量积的定义及运算，向量的线性运算，

2

考查了数形结合的思想，考查了计算能力，属于中档题

（二）向量中的最值问题 例2．设值范围是（）

A．

B．

C．

D．

是半径为2的圆上的两个动点，点为中点，则的取

【答案】A 【分析】将

两个向量，都转化为

两个方向上，然后利用数量积

的公式和三角函数的值域，求得题目所求数量积的取值范围

练习1．已知e1,e2是平面内两个相互垂直的单位向量，若向量b满足

，则对于任意

【答案】2 【解析】

当且仅当x1，y1时，

取得最小值2

3

的最小值为________

此时，取得最小值2 练习2．在边长为1的正△ABC中，=，=y，＞0，y＞0且y=1，则•

的最大值为（ ）

B．

C．

D．

A．

【答案】C 【解析】能求出当

时，

，

的最大值为

．

，由此

练习1．在ABC中，过中线AD的中点E任作一直线分别交边AB、AC于

M、N两点,设

,则4xy的最小值是．

【答案】 【解析】

111． 4x4y，∵M,E,N共线，∴

，当且仅当

成立，故最小值为．

xy时等号y4x【名师点睛】本题首先考查向量的线性运算，实质就是求出x,y满足的等量关系，题中唯一的关系就是M,N,E三点共线，由此联想平面向量的一个定理：OA,OB是平面的一个基底，

，则A,B,C三点共线

xy1．这样只要由平面向量的线性运算把AE用AM,AN表示出来就可得

x,y的等量关系．然后只要应用“1”的代换结合基本不等式可求得最值．

练习2．如图，在ABC中，D是线段BC上的一点，且BC4BD，过点D4

的直线分别交直线AB,AC于点M,N，若AMAB，

3的最小值是

，则

【答案】3

考点：1、向量的概念及几何表示；2、向量数乘运算及几何意义；3、向量数量积的含义及几何意义

方法点睛：由向量减法法则可知件BC4BD得到入得到

，再把已知条件AMAB，，根据B,D,C三点共线得

，代入已知条

代

131，利用均值不等4u4式得到u3，而

4，从而求得3的最小值是3

中，点，分别为，的中点，若

练习3．在四面体且，，三点共线，则

A．

B．C．D．

，

5

【答案】B

（七）坐标法解决向量问题

例7．如图，在矩形ABCD中，AB3，AD32，点E为BC的中点，如果DF2FC，那么AFBE的值是__________．

【答案】9

【解析】建立如图所示的直角坐标系，

则

∴

∴AFBE9

练习2．如图，O为△ABC的外心，

6

,

,

为钝角，M是边BC的中点，AMAO的值（）

A．4B．6C．7D．5

【答案】D

练

习3．是平面上的一定点，

，

是平面上不共线的三点，动点满足，则动点的轨迹一定经过

的（）

A．重心B．垂心C．外心D．内心 【答案】B

【解析】解出，计算【详解】∴∴

λ（

并化简可得出结论．

）， ，

，即点P在BC边的高上，即点P的轨迹经过△ABC的垂心．

故选：B．

练习4．已知点O是锐角△ABC的外心，a，b，c分别为内角A、B、C的对边，A=，且

A．B．﹣C．D．﹣

7

，则λ的值为（ ）

【答案】D

【解析】由题意画出图形，设的性质可得：

和

，

的外接圆半径为，根据三角形外心

，由向量的线性运算和向量数量积的运算，求出

，在已知的等式两边同时与进行数量积运算，代入后由正弦

定理化简，由两角和的正弦公式和三角形内角和定理求出λ的值．

【点睛】本题主要考查了利用线性规划求解最优解及目标函数的最大值，解题的关键是正确作出不等式组所表示的平面区域，并能判断出取得最大值时的最优解的位置．利用线性规划求最值的步骤：1在平面直角坐标系内作出可行域．2考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形．常见的类型有截距型（

型）、斜率型（

型）和距离型（

型）．3

确定最优解：根据目标函数的类型，并结合可行域确定最优解．4求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值。

练习1．若曲线,使得

和

上分别存在点

则

是以原点为直角顶点的直角三角形，AB交y轴于C,且

实数的取值范围是（）

A．【答案】B

B．

C．

D．

8

【详解】设A（1，y1），y1＝f（1）（＜0），又

则

，

，2＝﹣21，∴，

由题意，∴

2

，B（2，y2），y2＝g（2）＝﹣22

32

．

，

，即

0，

，

，

∵e﹣1＜1＜e﹣1，∴则

．

设h（）令

，则h′（）

,则u′（）=

=

，

>0在e﹣1＜＜

e2﹣1恒成立，

所以

单增，所以

>

=>0，∴h′（）＞0，

2

即函数h（）则即4e-2＜a．

在（e﹣1＜＜e﹣1）上为增函数，

，

∴实数a的取值范围是．

9

故选：B．

【点睛】本题主要考查了向量加减法的运算、数量积的运算，综合运用了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式，考查了转化思想和计算能力，属于中档题．

（十）向量的几何意义

例10．已知，是单位向量，•的最大值为（ ）

A．

B．C．

D．

0．若向量满足||＝1，则||

【答案】C

【解析】通过建立直角坐标系，利用向量的坐标运算和圆的方程及数形结合即可得出．

【详解】

练习1．的斜边等于4，点在以为圆心，1为半径的圆上，则

的取值范围是（）

10

A．B．C．D．

【答案】C

练习2．已知在平面四边形点为边上的动点，则

A．B．【答案】C

C．D．

中，的最小值为

，，,，，

【解析】以为原点，以所在的直线为轴，以所在的直线为轴，求出，，的坐标，根据向量的数量积和二次函数的性质即可求出．

【详解】如图所示，以为原点，以所在的直线为轴，以所在的直线为轴，

过点作∵∴∴∴

，

轴，过点作，，，∴

，∴

，∴

，

，

11

轴， ，

，

， ，

，

，

设∴当

，∴，

，

，，

时，取得最小值为，故选C

【点睛】本题主要考查了向量在几何中的应

用，考查了运算能力和数形结合的能力，向量的坐标表示，二次函数最值的求法，向量数量积的坐标表示，建立适当的坐标系将几何知识代数化是解题的关键，也是常用手段，属于中档题．

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