用一元二次方程解决动态几何问题

用一元二次方程解决动态几何问题

例1 在矩形ABCD中,AB=6cm,BC=12cm,点P从点A开始以1cm/s的速度沿AB边向点B移动,点Q从点B开始以2cm/s的速度沿BC边向点C移动,如果P、Q分别从A、B同时出发，几秒后△PBQ的面积等于8cm2？

DC Q ABP

变式训练一：几秒钟后，若△PQD的面积等于8cm2呢？

变式训练二：当点Q运动到点D时，P、Q两点同时停止运动，试求△面积S与P、Q两个点运动的时间t之间的函数关系式。

动态几何找等量关系的基本思路：

1

PQD的 -

1、 若动态图形比较特殊，思考用基本几何图形的面积公式找等量关系列方程或函数关系式；

2、 如动态图形不特殊，则思考用组合图形的面积和差找等量关系列方程或函数关系式。

例1 在矩形ABCD中,AB=6cm,BC=12cm,点P从点A开始以1cm/s的速度沿AB边向点B移动,点Q从点B开始以2cm/s的速度沿BC边向点C移动,如果P、Q分别从A、B同时出发，几秒后⊿ PBQ的面积等于8cm2？

DC Q

AB

P

例2：等腰直角⊿ ABC中,AB=BC=8cm,动点P从A点出发,沿AB向B移动,通过点P引平行于BC,AC的直线与AC,BC分别交于R、Q.当AP等于多少厘米时,平行四边形PQCR的面积等于16cm2?

A RP

CQB

例3：⊿ABC中,AB=3, ∠ BAC=45°,CD⊥ AB,垂足为D,CD=2,P是AB上的一动点(不与A,B重合),

且AP=x,过点P作直线l与AB垂直.

i)设⊿ ABC位于直线l左侧部分的面积为S,写出S与x之间的函数关系式; ii)当x为何值时,直线l平分⊿ ABC的面积?

C l

2 APDB -

1已知线段AB的长为a，以AB为边在AB的下方作正方形ACDB．取AB边上一点E，以AE为边在AB的上方作正方形AENM．过E作EF丄CD，垂足为F点．若正方形AENM与四边形EFDB的面积相等，則AE的长为?

2如图，矩形ABCD的周长是20cm，以AB，CD为边向外作正方形ABEF和正方形ADGH，若正方形ABEF和ADGH的面

2

积之和68cm，那么矩形ABCD的面积是？

3如图，将边长为2cm的正方形ABCD沿其对角线AC剪开，再把△ABC沿着AD方向平移，得到△A′B′C′，若两

2

个三角形重叠部分的面积为1cm，则它移动的距离AA′等于？

4如图，正方形ABCD的边长为1，E、F分别是BC、CD上的点，且△AEF是等边三角形，则BE的长为？

3

-

5一个正方体物体沿斜坡向下滑动，其截面如图所示．正方形DEFH的边长为2米，坡角∠A=30°，∠B=90°，BC=6

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米．当正方形DEFH运动到什么位置，即当AE为多少米时，有DC=AE+BC．

例2 如图，在矩形ABCD中，BC=20cm，P，Q，M，N分别从A，B，C，D出发沿AD，BC，CB，DA方向在矩形的边上同时运动，当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时，运动即停止．已知在相同时间内，若BQ=xcm（x≠0），

2

则AP=2xcm，CM=3xcm，DN=xcm．

（1）当x为何值时，以PQ，MN为两边，以矩形的边（AD或BC）的一部分为第三边构成一个三角形； （2）当x为何值时，以P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形；

（3）以P，Q，M，N为顶点的四边形能否为等腰梯形？如果能，求x的值；如果不能，请说明理由．

1如图，有一块塑料矩形模板ABCD，长为10cm，宽为4cm，将你手中足够大的直角三角板PHF的直角顶点P落在AD边上（不与A、D重合），在AD上适当移动三角板顶点P．

（1）能否使你的三角板两直角边分别通过点B与点C？若能，请你求出这时AP的长；若不能，请说明理由； （2）再次移动三角板位置，使三角板顶点P在AD上移动，直角边PH始终通过点B，另一直角边PF与DC延长线交于点Q，与BC交于点E，能否使CE=2 cm？若能，请你求出这时AP的长；若不能，请你说明理由．

2如图，Rt△ABC中，∠B=90°，AC=10cm，BC=6cm，现有两个动点P、Q分别从点A和点B同时出发，其中点P以2cm/s的速度，沿AB向终点B移动；点Q以1cm/s的速度沿BC向终点C移动，其中一点到终点，另一点也随之停止．连接PQ．设动点运动时间为x秒． （1）用含x的代数式表示BQ、PB的长度； （2）当x为何值时，△PBQ为等腰三角形；

2

（3）是否存在x的值，使得四边形APQC的面积等于20cm？若存在，请求出此时x的值；若不存在，请说明理由． 4

-

3如图所示，甲、乙两人开车分别从正方形广场ABCD的顶点B、C两点同时出发，甲由C向D运动，乙由B向C运动，甲的速度为1km/min，乙的速度为2km/min；若正方形广场的周长为40km，问几分钟后，两人相距210km？

4如图，矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm，点P从A开始沿AB边向点B以1厘米/秒的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2厘米/秒的速度移动，当点P到达B点或点Q到达C点时，两点停止移动，如果P、Q分别是从A、B同时出发，t秒钟后， （1）求出△PBQ的面积；

（2）当△PBQ的面积等于8平方厘米时，求t的值．

（3）是否存在△PBQ的面积等于10平方厘米，若存在，求出t的值，若不存在，说明理由．

5、如图，在△ABC中，∠B＝90°，BC＝12cm，AB＝6cm，点P从点A开始沿AB边向点B以2cm/s的速度移动（不与B点重合），动直线QD从AB开始以2cm/s速度向上平行移动，并且分别与BC、AC交于Q、D点，连结DP，设动点P与动直线QD同时出发，运动时间为t秒，

（1）试判断四边形BPDQ是什么特殊的四边形？如果P点的速度是以1cm/s， 则四边形BPDQ还会是梯形吗？那又是什么特殊的四边形呢？ 5

-

（2）求t为何值时，四边形BPDQ的面积最大，最大面积是多少？ C Q D ↑ A B ← P

6、如图，A、B、C、D为矩形的4个顶点，AB＝16cm，BC＝6cm，动点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以3cm/s的速度向点B移动，一直到达点B为止；点Q以2cm/s的速度向点B移动，经过多长时间P、Q两点之间的距离是10cm?

D C Q

A B P

7、如图，在平面直角坐标系内，已知点A(0，6)、点B(8，0)，动点P从点A开始在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向点O移动，同时动点Q从点B开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A移动，设点P、Q移动的时间为t秒，

y （1）当t为何值时，△APQ与△AOB相似？

A 24（2）当t为何值时，△APQ的面积为个平方单位？ P 5Q

O B x

例3、有一边为5cm的正方形ABCD和等腰三角形PQR，PQ＝PR＝5cm，QR＝8cm，点B、C、Q、R在同一直线l上，当C、Q两点重合时，等腰三角形PQR以1cm/s的速度沿直线l按箭头方向匀速运动， （1）t秒后正方形ABCD与等腰三角形PQR重合部分的面积为5，求时间t； （2）当正方形ABCD与等腰三角形PQR重合部分的面积为7，求时间t；

A D

P 6 B

Q C

R

l

-

例4、如图所示，在平面直角坐标中，四边形OABC是等腰梯形，CB∥OA，OA=7，AB=4，∠COA=60°，点P为x轴上的—个动点，点P不与点0、点A重合．连结CP，过点P作PD交AB于点D，(1)求点B的坐标；(2)当点P运动什么位置时，△OCP为等腰三角形，求这时点P的坐标；(3)当点P运动什么位置时，使得∠CPD=∠OAB， 且

BD5，求这时点P的坐标； BA8 y C O P B D A x

1、在等腰梯形ABCD中，AB=DC=5，AD=4，BC=10. 点E在下底边BC上，点F在腰AB上. （1）若EF平分等腰梯形ABCD的周长，设BE长为x，试用含x的代数式表示△BEF的面积；

（2）是否存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时平分？若存在，求出此时BE的长；若不存在，请说明理由；（3）是否存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时分成1∶2的两部分？若存在，求出此时BE的长；若不存在，请说明理由；

2、如图，直角坐标系中，已知点A（2，4），B（5，0），动点P从B点出发沿BO向终点O运动，动点Q从A点出发沿AB向终点B运动．两点同时出发，速度均为每秒1个单位，设从出发起运动了xs， （1）Q点的坐标为（ ， ）；（用含x的代数式表示） y A （2）当x为何值时，△APQ是一个以AP为腰的等腰三角形? (3)记PQ的中点为G．请你探求点G随点P，Q运动所形成的图形， 7

O P Q B x ← -

并说明理由；

3、如图，机器人在点A处发现一个小球自点B处沿x轴向原点方向匀速滚来，机器人立即从A处匀速直线前进去截小球．点A的坐标为（2，5），点B的坐标为（10，0），

（1）若小球滚动速度与机器人的行驶速度相等，问机器人最快可在何处截到小球？ （2）若小球滚动速度是机器人行走速度的两倍，那么机器人最快在哪里截住小球？

4如图，在矩形ABCD中，AB＝6米，BC＝8米，动点P以2米/秒的速度从点A出发，沿AC向点C移动，同时动点

yA O B xQ以1米/秒的速度从点C出发，沿CB向点B移动，设P、Q两点移动t秒（0A D

P

C B Q

5、如图①，有两个形状完全相同的直角三角形ABC和EFG叠放在一起（点A与点E重合），已知AC=8cm，BC=6cm，

∠C=90°，EG=4cm，∠EGF=90°，O是ΔEFG斜边上的中点，如图②，若整个ΔEFG从图①的位置出发，以1cm/s的速度沿射线AB方向平移，在ΔEFG平移的同时，点P从ΔEFG的顶点G出发，以1cm/s的速度在直角边GF上向点F运动，当点P到达点F时，点P停止运动，ΔEFG也随之停止平移，设运动时间为x(s)，FG的延长线交AC于H，四边形OAHP的面积为y（cm2）（不考虑点P与G、F重合的情况）， （1）当x为何值时，OP//AC？

（2）求y与x之间的函数关系式，并确定自变量x的取值范围； （3）是否存在某一时刻，使四边形OAHP面积与ΔABC面积的比为 13：24？若存在，求出x的值；若不存在，说明理由； 8

-

（参考数据：114212996， 115213225，116213456或4.4219.36，4.5220.25，4.6221.16）

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