二阶线性微分方程y''-y=e的-x次方+e的x次方的特解形式为(详情看图)

发布网友 发布时间:2022-04-22 21:55

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热心网友 时间:2023-06-23 01:55

微分方程y''-y=e^(-x)+e^x的通解。

解:齐次方程y''-y=0的特征方程 r²-1=0的根:r₁=-1;r₂=1;

因此齐次方程的通解为:y=c₁e^(-x)+c₂e^x;

设其特解为:y*=ax[e^(-x)+e^x]

则y*'=a[e^(-x)+e^x]+ax[-e^(-x)+e^x]=a(1-x)e^(-x)+a(1+x)e^x;

y*''=-ae^(-x)-a(1-x)e^(-x)+ae^x+a(1+x)e^x=(-2a+ax)e^(-x)+(2a+ax)e^x;

代入原式得:

(-2a+ax)e^(-x)+(2a+ax)e^x-ax[e^(-x)+e^x]=-2a[e^(-x)+e^x)=e^(-x)+e^x;

∴-2a=1,即a=-1/2;故特解为:y*=-(1/2)x([e^(-x)+e^x]

通解为:y=c₁e^(-x)+c₂e^x-(1/2)x([e^(-x)+e^x]

简介

二阶线性微分方程是指未知函数及其一阶、二阶导数都是一次方的二阶方程,简单称为二阶线性方程。二阶线性微分方程的求解方式分为两类,一是二阶线性齐次微分方程,二是线性非齐次微分方程。

如果一个二阶方程中,未知函数及其一阶、二阶导数都是一次方的,就称它为二阶线性微分方程,简单称为二阶线性方程。

二阶线性微分方程的求解方式分为两类,一是二阶线性齐次微分方程,二是线性非齐次微分方程。前者主要是采用特征方程求解,后者在对应的齐次方程的通解上加上特解即为非齐次方程的通解。齐次和非齐次的微分方程的通解都包含一切的解。

热心网友 时间:2023-06-23 01:56

求为分方程 y''-y=e^(-x)+e^x的通解
解:齐次方程y''-y=0的特征方程 r²-1=0的根:r₁=-1;r₂=1;
因此齐次方程的通解为:y=c₁e^(-x)+c₂e^x;
设其特解为:y*=ax[e^(-x)+e^x]
则y*'=a[e^(-x)+e^x]+ax[-e^(-x)+e^x]=a(1-x)e^(-x)+a(1+x)e^x;
y*''=-ae^(-x)-a(1-x)e^(-x)+ae^x+a(1+x)e^x=(-2a+ax)e^(-x)+(2a+ax)e^x;
代入原式得:
(-2a+ax)e^(-x)+(2a+ax)e^x-ax[e^(-x)+e^x]=-2a[e^(-x)+e^x)=e^(-x)+e^x;
∴-2a=1,即a=-1/2;故特解为:y*=-(1/2)x([e^(-x)+e^x]
通解为:y=c₁e^(-x)+c₂e^x-(1/2)x([e^(-x)+e^x].
【特解与齐次方程的特征方程的根有关,故先要求齐次方程的通解。】

热心网友 时间:2023-06-23 01:56

k^2-1=0,得出k=1和-1
设特解为(Ax+B)e^(-x)+(Cx+D)e^x

热心网友 时间:2023-06-23 01:57

Axe^(x)+Bxe^(-x)+Ce^x+De^(-x);
这是所谓的共振的情形!

热心网友 时间:2023-06-23 01:57

简单计算一下即可,答案如图所示

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