函数值域怎么求?
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发布时间：2022-04-23 02:00
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时间：2023-08-30 14:57
函数的值域问题及解法
值域的概念：
函数y=f(x)的值域是函数值的取值范围,用集合表示为{y│y=f(x),x∈A}.这里集合A是函数的定义域,由此可见,它与定义域密切相关.
值域的几何意义是函数图象上点的纵坐标的集合,也可以说成是函数图象纵向的分布范围.
一般来说,求值域比求定义域困难得多.求值域要根据解析式的结构特征选择适当的方法,具有较强的灵活性和一定的技巧性.
1．观察法
用于简单的解析式.
y=1-√x≤1,值域(-∞, 1]
y=(1+x)/(1-x)=2/(1-x)-1≠-1,值域(-∞,-1)∪(-1,+∞).
2．配方法
多用于二次(型)函数.
y=x^2-4x+3=(x-2)^2-1≥-1,值域[-1,+∞）
y=e^2x-4e^x-3=(e^x-2)^2-7≥-7,值域[-7,+∞）
3．换元法
多用于复合型函数.
通过换元,使高次函数低次化,分式函数整式化,无理函数有理化,超越函数代数以方便求值域.
特别注意中间变量（新量）的变化范围.
y=-x+2√( x-1)+2
令t=√(x-1),则t≥0,x=t^2+1.
y=-t^2+2t+1=-(t-1)^2+2≤2,值域(-∞, 2].
4．不等式法
用不等式的基本性质,也是求值域的常用方法.
y=(e^x+1)/(e^x-1), (0<x<1).
由0<x<1得1<e^x<e,0<e^x-1 1/(e-1).
y=1+2/(e^x-1)>1+2/(e-1),值域(1+2/(e-1),+∞).
5．最值法
如果函数f(x)存在最大值M和最小值m,那么值域为[m,M].
因此,求值域的方法与求最值的方法是相通的.
6．反函数法（有的又叫反解法）
函数和它的反函数的定义域与值域互换.
如果一个函数的值域不易求,而它的反函数的定义域易求,那么我们可以通过求后者得出前者.
7．单调性法
若f(x)在定义域[a, b]上是增函数,则值域为[f(a), f(b)]；若是减函数,则值域为[f(b), f(a)].
y=x^2-4x+3, (-1≤x≤1).
y=(x-2)^2-1在[-1, 1]上是减函数（单调递减）,
F(-1)=8,f(1)=0,值域[0, 8].
8．斜率法
数形结合.
求函数y=(sinx+3)/(cosx-4)的值域.
把函数y=(sinx+3)/(cosx-4)看成
单位圆上的动点M(cosx,sinx)与定点P(4,-3)连线的斜率,
则直线MP的方程为y+3=k(x-4)等价于y=kx-4k-3.
圆心(0,0)到直线的距离在相切时最大为1=|-4k-3|/√(1+k^2),
解得k=(-12±√6)/15.
y max=(-12+√6)/15,y min=(-12-√6)/15
值域[(-12-√6)/15,(-12+√6)/15].
一般的,对函数y=(sinx+a)/(cosx+b),都可以用斜率法求最值和值域.
对函数y=( cosx +a)/(sinx +b),也都可以转化后用斜率法求最值和值域.
9．导数法
导数为零的点称为驻点,设f'(x0)=0,
若当x<x0时f'(x) x0时f'(x)>0,则f(x0)为极小值；
若当x 0,当x>x0时f'(x)<0,则f(x0)为极大值；
再根据定义域求得边界值,与之比较得出最大、最小值（与最值法相通）,得出值域.
http://zhidao.baidu.com/question/20092842090195108.html </x0时f'(x) </x<1得1<e^x<e,0<e^x-1 </x<1).
