求二次函数的单调区间
发布网友
发布时间：2022-04-22 19:31
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热心网友
时间：2023-08-19 10:54
这里我只对a>0的情况加以证明，
a<0时，留给你练习
a>0时
设x1<x2
f(x1)-f(x2)=ax²1+bx1+c-(ax²2+bx2+c)
=a(x²1-x²2)+b(x1-x2)
=a(x1+x2)(x1-x2)+b(x1-x2)
=(x1-x2)[a(x1+x2)+b]
∵x1<x2 ∴x1-x2<0
若确定函数递增区间，需
f(x1)-f(x2)<0
那么a(x1+x2)+b>0恒成立
即x1+x2>-b/a 恒成立
变量x1,x2和最小时也满足
∴需2x1≥-b/a ∴x1≥-b/(2a)
∴-b/(2a)≤x1<x2
那么f(x)在[-b/(2a),+∞)上∞是增函数
若确定函数递减区间，需
f(x1)-f(x2)>0恒成立
那么 a(x1+x2)+b<0恒成立
即x1+x2<-b/a 恒成立
变量x1,x2和最大时也满足
∴需2x2≤-b/a ∴x2≤-b/(2a)
那么f(x)在（-∞，-b/(2a)]上是减函数
这里的过程是按探求与证明结合的
希望能帮到你啊，不懂可以追问，如果你认可我的回答请点击下方选为满意回答按钮，谢谢！
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热心网友
时间：2023-08-19 10:54
y=ax^2+bx+c=a(x+b/2a)^2+(4ac-b^2)/4a;
设x1<x2,
y1=a(x1+b/2a)^2+(4ac-b^2)/4a
y2=a(x2+b/2a)^2+(4ac-b^2)/4a
两式相减得
y1-y2=a((x1+b/2a)^2-(x2+b/2a)^2)
=a(x1-x2)(x1+x2+b/a)
x1<x2,则x1-x2<0
1.若x1<x2<-b/2a,即x1+b/2a<0且x2+b/2a<0;
所以x1+x2+b/a<0
所以当a<0时,y1<y2,a>0时,y1>y2;即当a<0时二次函数对称轴的左边为单调递增,右边为单调递减
a>0时,就一样的道理了
