已知函数f(x)=ex-bx(1)当b=1时,求函数f(x)的单调区间;(2)若函数f(x...
发布网友
发布时间：2024-10-24 04:50
共1个回答
热心网友
时间：2024-10-24 23:32
解答：解：（I）当b=1时f（x）=ex-x，
∴f'（x）=ex-1，
令f'（x）=0，得x=0，
f'（x），f（x）随x的变化情况如下表：
x （-∞，0） 0 （0，+∞） f'（x） - 0 + f（x） ↘ 极小值 ↗f（x）的单调递减区间为（-∞，0），单调递增区间为（0，+∞）；…（5分）
（2）转化为y=ex与y=bx的图象只有一个交点
当b＜0时，作出图象，发现满足要求；
当b≥0时，作出图象，
发现当且仅当y=ex与y=bx相切时有一个交点
设切点为（x，y），则y＝exy＝bxex＝b，解得x＝1b＝ey＝e
所以，b＜0或b=e…（10分）
（3）f（x）=ex-bx，f'（x）=ex-b，令f'（x）=ex-b=0，则x=lnb
当x∈（-∞，lnb）时，f'（x）=ex-b＜0，所以f（x）递减；
当x∈（lnb，+∞）时，f'（x）=ex-b＞0，所以f（x）递增；
所以，f（x）的最小值为f（lnb）=b-blnb=b（1-lnb）
当0＜b≤e时，f（lnb）=b（1-lnb）≥0，所以f（x）=ex-bx≥0
∴|f（x）|=f（x）=ex-bx，
此时，|f（x）|在（-∞，+∞）上无极大值，所以在（0，2）上无极大值
当b＞e时，f（lnb）=b（1-lnb）＜0，
∴|f(x)|＝f(x)，f(x)≥0?f(x)，f(x)＜0，
可得：
若b≥e2，则lnb≥2，此时|f（x）|在（0，2）上无极大值；
若b＜e2，则lnb＜2，此时|f（x）|在（0，2）上有极大值|f（lnb）|=b（lnb-1）
综上得：
当0＜b≤e或b≥e2时，|f（x）|在（0，2）上无极大值；
当e＜b＜e2时，|f（x）|在（0，2）上有极大值|f（lnb）|=b（lnb-1）…（16分）
