...函数.(Ⅰ)求实数a的值;(Ⅱ)记集合E={y|y=f(x

发布网友 发布时间：2024-10-24 05:22

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热心网友 时间：2024-11-09 17:00

（I）∵函数 f(x)= (x+1)(x+a) x 2 为偶函数．
∴f（-x）=f（x）
即 (x+1)(x+a) x 2 = (-x+1)(-x+a) x 2
∴2（a+1）x=0，
∵x为非零实数，
∴a+1=0，即a=-1
（II）由（I）得 f(x)= x 2 -1 x 2
∴E={y|y=f（x），x∈{-1，1，2}}={0， 3 4 }
而 λ=l g 2 2+lg2lg5+lg5- 1 4 = lg2?(lg2+lg5)+lg5- 1 4 = lg2+lg5- 1 4 = 1- 1 4 = 3 4
∴λ∈E
（III）∵ f′(x)= 2 x 3 ＞0恒成立
∴ f(x)= x 2 -1 x 2 在 [ 1 m ， 1 n ] 上为增函数
又∵函数f（x）的值域为[2-3m，2-3n]，
∴ f( 1 m )= m 2 -1 m 2 =2-3m f( 1 n )= n 2 -1 n 2 =2-3n ，
又∵ 1 m ＜ 1 n ，m＞0，n＞0
∴m＞n＞0
解得m= 3+ 5 2 ，n= 3- 5 2 1- 1 4