已知函数f(x)= [3^x-2^(-x)]/[3^x+2^(-x)]

发布网友 发布时间：2024-10-24 05:22

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热心网友 时间：2024-10-24 06:22

1、f(x)= [3^x-2^(-x)]/[3^x+2^(-x)]= 2^x*[3^x-2^(-x)]/2^x*[3^x+2^(-x)]=（6^x-1）/（6^x+1）
定义域x属于R，关于原点对称
f(-x)= （6^-x-1）/（6^-x+1）=（1-6^x）/（1+6^x）=-f(x)
所以f(x)是奇函数
2、单调递增
f(x)=（6^x+1-2）/（6^x+1）=1-2/(6^x+1)
任取x1<x2,f(x1)-f(x2)=2[1/(6^x2+1)-1/(6^x1+1)]=2*(6^x1-6^x2)/[(6^x1+1)(6^x2+1)]
由于x1<x2，所以6^x1<6^x2，又(6^x1+1)(6^x2+1)>0,所以f(x1)<f(x2)
所以函数在R上单调递增
3、f(x)=1-2/(6^x+1)，x→+∞,f(x)→1;x→-∞,f(x)→-1;
所以值域（-1，1）

热心网友 时间：2024-10-24 06:23

解： (I ) ∵f(x)= [3^x-2^(-x)]/[3^x+2^(-x)]
∴f(x) =(1-6^-x)/(1+6^-x)
∴f(-x) =(1-6^x)/(1+6^x)= (6^-x -1)/( 6^-x +1)=- f(x)
∴f(x)是奇函数
(ii)f(x)为增函数。
证明如下：f（x)=(1-6^-x)/(1+6^-x)=(2-1-6^-x)/(1+6^-x)=[2/(1+6^-x)]-1
x定义域为R，设有x1>x2
则f(x1)-f(x2)=[2/(1+6^-x1)]-1-[2/(1+6^-x2)]+1
=2/(1+6^-x1)-2/(1+6^-x2)
=2(1+6^-x2-1-6^-x1)/[(1+6^-x1)(1+6^-x2)]
=2(6^-x2-6^-x1)/[(1+6^-x1)(1+6^-x2)]
x1>x2,则6^-x2-6^-x1>0, 又[(1+6^-x1)(1+6^-x2)]>0
f(x1)-f(x2）>0,即f(x1)> f(x2）
所以f(x)为增函数
（iii） f（x)=[2/(1+6^-x)]-1
6^-x>0 1+6^-x>1 f(x)<2/1-1
即f（x）值域为（-∞，1）