求f(x)=x∧2-e∧(-x∧2)的极值
发布网友
发布时间：2024-10-24 05:27
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热心网友
时间：2024-11-14 12:20
解：
f(x)=x^2-e^(-x^2)
f'(x)=2x+2xe^(-x^2)
f'(x)=2x[1+e^(-x^2)]
1、令：f'(x)＞0，即：2x[1+e^(-x^2)]＞0
有：2x＞0、1+e^(-x^2)＞0……………………(1)
或：2x＜0、1+e^(-x^2)＜0……………………(2)
由(1)得：x＞0
(2)是不可能存在的。
2、令：f'(x)＜0，即：2x[1+e^(-x^2)]＜0
有：2x＞0、1+e^(-x^2)＜0……………………(3)
或：2x＜0、1+e^(-x^2)＞0……………………(4)
(3)是不可能的，
由(4)得：x＜0
综上所述，有：
当x∈(-∞，0)时，f(x)为单调减函数；
当x∈(0，∞)时，f(x)为单调增函数。
因此，当x=0时，f(x)取得极小值f(0)。
极小值为：fmin(x)=f(0)=0^2-e^(-0^2)=-1
补充答案：
1、从上面的解，可以看出：x＞0时，f(x)是单调增函数，在没有其它条件的话，是不存在极大值的！
如果一定要说极大值，那就是：当x→+∞时，f(x)→+∞。
f(2)不可能是极大值！
除非……给定定义域x∈(-∞，2]
2、从上面的解，可以看出：f(0)=-1。
楼主给出的f(0)=0是错误的！
热心网友
时间：2024-11-14 12:21
f(x)=x^2-e^(-x^2)
f'(x)=2x+2xe^(-x^2)=2x(e^-x^2+1)=0
x=0
f''(x)=2+2xe^(-x^2)-4x^2e^(-x^2)
f''(0)=2>0
x=0时是极小值．即：f(0)=-1
只有极小值，
很明显x>0是单调递增的．x>0时，不可能有极值．
