设过椭圆x^2/4+y^2=1右焦点的直线l交此椭圆于A,B两点,且S三角形OAB=1...
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发布时间：2024-10-24 05:27
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时间：2024-11-09 17:38
椭圆(x^2/4)+y^2=1中，a^2=4，b^2=1
所以，c^2=a^2-b^2=3
则，c=√3
所以，右焦点为F(√3,0)
设过F的直线L为：y=k(x-√3)，即：kx-y-√3k=0
联立直线与椭圆的方程得到：x^2+4[k(x-√3)]^2=4
===> x^2+4k^2(x-√3)^2-4=0
===> (4k^2+1)x^2-8√3k^2*x+(12k^2-4)=0
所以，x1+x2=8√3k^2/(4k^2+1)；x1x2=(12k^2-4)/(4k^2+1)
所以，(x1-x2)^2=(x1+x2)^2-4x1x2=16(k^2+1)/(4k^2+1)^2
而，y1=kx1-√3k；y2=kx2-√3k
所以，y1-y2=k(x1-x2)
则，(y1-y2)^2=k^2*(x1-x2)^2
所以，|AB|=√[(x1-x2)^2+(y1-y2)^2]=√[(x1-x2)^2+k^2*(x1-x2)^2]
=√[(1+k^2)*(x1-x2)^2]
=√[(1+k^2)*16*(k^2+1)/(4k^2+1)^2]
=4(k^2+1)/(4k^2+1)
又原点O(0,0)到直线的距离【即AB边上的高】d=|0-0-√3k|/√(k^2+1)=|√3k|/√(k^2+1)
所以，S△OAB=(1/2)*|AB|*d=1
===> (1/2)*4(k^2+1)/(4k^2+1)*|√3k|/√(k^2+1)=1
===> 2√3|k|*√(k^2+1)=4k^2+1
===> 12k^2*(k^2+1)=(4k^2+1)^2=16k^4+8k^2+1
===> 12k^4+12k^2=16k^4+8k^2+1
===> 4k^4-4k^2+1=0
===> (2k^2-1)^2=0
===> 2k^2-1=0
===> k=±√2/2
所以，直线L的方程为：y=±(√2/2)*(x-√3)
