商群例子
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发布时间：2024-10-24 04:43
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时间：2024-10-24 20:27
在群论中，我们可以找到许多有趣的例子来展示子群和商群的概念。首先，考虑整数集 Z 在加法下的群，它的子群 2Z 包含所有偶数，这是一个正规子群，因为 Z 是阿贝尔群。Z 的陪集是偶数集合和奇数集合，因此商群 Z/2Z 是一个由两个元素构成的循环群，通常与模 2 的加法运算下的 {0, 1} 群等同。
稍作扩展，当 n 是正整数时，子群 nZ 由 n 的倍数组成，依然是正规子群。陪集由 nZ, 1+nZ, ..., (n-1)+nZ 构成，这使得商群 Z/nZ 变为 n 阶的循环群，代表着模 n 的“余数”群。
复数十二次单位根的乘法阿贝尔群中，红色球代表的子群 N 由单位一的四次根组成，它将群 G 分解为三个陪集，形成一个三个元素的循环群 G/N，颜色对应不同的元素运算关系。
实数集 R 的子群 Z 的陪集以 a + Z 形式存在，其中 0 ≤ a < 1。商群 R/Z 与圆群 S1 同构，即绝对值为 1 的复数在乘法下的群。对于 3 × 3 可逆实数矩阵的群 G 和行列式为 1 的子群 N，N 是正规子群，G/N 等同于非零实数的乘法群。
阿贝尔群 Z4 = Z/4Z 的子群 {0, 2} 的商群 Z4 / {0, 2} 是 { {0, 2}, {1, 3} }，形成一个简单的群结构。同样，乘法群中第 n 个余数集合 N 的阶数为 ϕ(n)，N 在 G 中是正规子群，G/N 的陪集根据 n 的因子分解有特定规律。
扩展资料
在数学中，给定一个群 G 和 G 的正规子群 N，G 在 N 上的商群或因子群，在直觉上是把正规子群 N“萎缩”为单位元的群。商群写为 G/N 并念作 G mod N (mod 是模的简写)。如果 N 不是正规子群，商仍可得到，但结果将不是群，而是齐次空间。
