法图引理推广
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发布时间：2024-10-24 07:08
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时间：2024-11-04 07:22
法图引理的推广不仅限于非负实值函数，实际上，它可以在特定条件下扩展到任意实值函数。设我们有一个测度空间(S, Σ, μ)，其中包含一列可测函数 {f_n}，并且考虑函数在扩展实数范围（包括无穷大）。如果存在一个在 S 上可积的正函数 g，满足对于所有 n，有
对 {f_n} 应用法图引理，关键在于函数列的逐点收敛性。具体来说，如果函数列在 μ-几乎处处（几乎处处除零测集外）逐点收敛到一个函数 f，那么可以得出结论，f 是函数列的极限，同时也是其下极限，因为在零测集上，积分值不受影响。[1]
进一步推广到依测度收敛的情况，如果 {f_n} 依测度收敛到函数 f，那么上述命题依然成立。这意味着存在一个子列 {f_{n_k}}，它不仅依测度收敛，而且这个子列中还有子序列在 S 上 μ-几乎处处逐点收敛。因此，法图引理的推广适用于这种依测度收敛的场景，积分值同样不受零测集差异影响。[1]
