已知无穷数列{an]满足:a1=1,2a2=a1+a3,且对于任意n∈N*,都有an>0,a...
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发布时间：2024-10-24 07:23
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时间：2024-10-25 14:33
（1）由条件，?n∈N*，an+12=anan+2+4，
令n=1，得a22=a1a3+4．…（2分）
又∵2a2=a1+a3，且a1=1，解得a2=3，a3=5．…（4分）
再令n=2，得a32=a2a4+4，解得a4=7． …（6分）
（2）∵an+12=anan+2+4，①
∴an+22=an+1an+3+4，②
由①-②得，an+12-an+22=（anan+2+4）-（an+1an+3+4）
=anan+2-an+1an+3 …（8分）
∴an+12+an+1an+3=an+22+anan+2，
∴an+1（an+1+an+3）=an+2（an+an+2），
∴an+an+2an+1=an+1+an+3an+2，∴数列{an+an+2an+1}为常数数列．…（12分）
∴an+an+2an+1=a1+a3a2=2，
∴an+an+2=2an+1，
∴数列{an}为等差数列． …（14分）
又公差d=a2-a1=2，∴an=2n-1．…（16分）
