设a1,a1,...,an为互不相等的自然数,求证对任意自然数n,都有以下不等式...
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发布时间：2024-10-24 17:07
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时间：2天前
证明：
首先证明一个通用不等式，设 a>b c>d 其中a,b,c,d都大于零。必定有
a/c+b/d < a/d +b/c
原因在于 a/c+b/d -a/d -b/c =(a-b)(1/c-1/d) 因为a-b>0, 1/c-1/d <0
所以 a/c+b/d -a/d -b/c < 0
a/c+b/d <a/d -b/c
根据上面通用不等式的结论，进行一下证明
假设b1，b2，。。。。bn是a1，a2，。。。。an按照从小到大的顺序从新排列的一个数组。
利用上面的通用不等式，有
a1/1^2+a2/2^2+......+an/n^2≥b1/1^2+b2/2^2+......+bn/n^2 （1）
因为他们相互不等，且为自然数，
所以有b1≥1
b2 ≥2
b3 ≥3
。。。。。。
bn≥n
、所以 b1/1^2+b2/2^2+......+bn/n^2 ≥1/1^2+2/2^2+......+n/n^2=1/1+1/2+......+1/n （2）
由（1）和（2）得到
a1/1^2+a2/2^2+......+an/n^2≥1/1+1/2+......+1/n
所以命题得证
