...Pn是1,2,···,n的任意排列求证:1/(P1+P2)+1/(P2+P3)+...
发布网友
发布时间：2024-10-24 13:37
共1个回答
热心网友
时间：2024-10-28 02:22
用Cauchy不等式.
((P1+P2)+(P2+P3)+...+(P(n-1)+Pn))(1/(P1+P2)+1/(P2+P3)+...+1/(P(n-1)+Pn))
≥ (1+1+...+1)² = (n-1)².
而(P1+P2)+(P2+P3)+...+(P(n-1)+Pn) = 2(P1+P2+...+Pn)-P1-Pn.
P1, P2,..., Pn是1, 2,..., n的一个排列, 故P1+P2+...+Pn = 1+2+...+n = n(n+1)/2.
又P1+Pn ≥ 1+2 > 2, 故(P1+P2)+(P2+P3)+...+(P(n-1)+Pn) < 2n(n+1)/2-2 = n²+n-2 = (n-1)(n+2).
于是1/(P1+P2)+1/(P2+P3)+...+1/(P(n-1)+Pn)
≥ (n-1)²/((P1+P2)+(P2+P3)+...+(P(n-1)+Pn)) > (n-1)/(n+2).
