高数 拉格朗日定理
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发布时间：2024-10-24 09:33
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时间：2024-11-09 05:31
设函数f(x)=ln(1+x)，区间为[a,b]，则有ln(1+x)=f(b)-f(a)=f'(ξ)(b-a)=x/(1+ξ)，其中0＜ξ＜x。由此得到x/(1+x)＜ln(1+x)＜x。
【结论错，反例b=1，a=-1】，【题意应补充条件b＞a＞0】。设函数f(x)=arctanx，区间为[b,a]，且b＞a＞0时，arctanb-arctana=f(b)-f(a)=f'(ξ)(b-a)=(b-a)/(1+ξ^2)，其中0＜a＜ξ＜b。由此得到(b-a)/(1+b^2)＜arctanb-arctana＜(b-a)/(1+a^2)。
设函数f(x)=arctanx-arcsin[x/√(1+x^2)]，定义域为R。计算f'(x)得到f'(x)=1/(1+x^2)-1/(1+x^2)=0，因此在R上恒有f(x)=C，而f(0)=0。所以，在R上恒有f(x)=0，即arctanx=arcsin[x/√(1+x^2)]。
