如图甲,已知抛物线经过坐标原点O和x轴上另一点E,顶点M的坐标为(2,4...
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发布时间：2024-10-24 18:43
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时间：2024-10-30 13:39
解：（1）因所求抛物线的顶点M的坐标为（2，4），
故可设其关系式为y=a（x-2）2+4（1分）
又∵抛物线经过O（0，0），
∴得a（x-2）2+4=0，（2分）
解得a=-1（3分）
∴所求函数关系式为y=-（x-2）2+4，
即y=-x2+4x．（4分）
（2）①点P不在直线ME上．（5分）
根据抛物线的对称性可知E点的坐标为（4，0），
又M的坐标为（2，4），
设直线ME的关系式为y=kx+b．
于是得 ，
解得
所以直线ME的关系式为y=-2x+8．（6分）
由已知条件易得，当t= 时，OA=AP= ，
∴P（ ， ）（7分）
∵P点的坐标不满足直线ME的关系式y=-2x+8．
∴当t= 时，点P不在直线ME上．（8分）
②S存在最大值．理由如下：（9分）
∵点A在x轴的非负半轴上，且N在抛物线上，
∴OA=AP=t．
∴点P，N的坐标分别为（t，t）、（t，-t2+4t）
∴AN=-t2+4t（0≤t≤3），
∴AN-AP=（-t2+4t）-t=-t2+3t=t（3-t）≥0，
∴PN=-t2+3t（10分）
（ⅰ）当PN=0，即t=0或t=3时，以点P，N，C，D为顶点的多边形是三角形，此三角形的高为AD，
∴S= DC•AD= ×3×2=3．（11分）
（ⅱ）当PN≠0时，以点P，N，C，D为顶点的多边形是四边形
∵PN‖CD，AD⊥CD，
∴S= （CD+PN）•AD= [3+（-t2+3t）]×2=-t2+3t+3=-（t- ）2+
其中（0＜t＜3），由a=-1，0＜ ＜3，此时S最大= ．（12分）
综上所述，当t= 时，以点P，N，C，D为顶点的多边形面积有最大值，这个最大值为 ．（13分）
说明：（ⅱ）中的关系式，当t=0和t=3时也适合．
