向量分解

学思堂教育数学学科辅导讲义

学生姓名 上课日期 教学内容 教学目标 教学重点 教学难点 教学准备 尹余慧 2016.8.12 教师姓名 时间段 余洋 班主任 余洋 10:00-12：00 年级 高二 课时 3K 平面向量的分解定理 1．理解和掌握平面向量的分解定理； 2．掌握平面内任一向量都可以用两个不平行向量来表示；掌握基的概念，并能够用基表示平面内的向量； 平面向量分解定理的发现和形成过程；分解唯一性的说明 平面向量分解定理的发现和形成过程；分解唯一性的说明 教材，真题，模拟题 教学过程 知识回顾 向量的线性运算 1.向量的加法法则 （2）不共线向量的加法 学思堂教育·数学教研组

第 1 页 共 1 页

新教育 心服务

a b a+b A 3.向量加法的运算律 C C b B a 三角形法则 B D a+b b a A 平行四边形法则 （1）向量加法的交换律：a+b=b+a （2）向量加法的结合律：(a+b) +c=a+(b+c) 2.向量的减法法则 （1）三角形法则：3．实数与向量的积 （2）平行四边形法： 实数与向量的积的运算律： （1）(a)()a（结合律）； ① （2）()aaa（第一分配律）； ② （a+b）=ab（第二分配律）（3）． ③ 向量共线定理：向量a (a0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数，使b=a． 1、填空： (1)ADCA------ (2)ABCB DC ----- (3)ABACBDCD-------- 2、判断题： （1）相反向量就是方向相反的向量 （2） ABBA0（3）ABOAOB （4） 在△ABC中，必有ABBCCA0 （5）若ABBCCA0，则A、B、C三点必是一个三角形的三个顶点。 学思堂教育·数学教研组

第 2 页 共 2 页

新教育 心服务

3、若OA3OB2OC,则A,B,C三点是否共线 4、根据条件判断下列四边形的形状 1(1)ADBC(2)ADBC(3)ADBC,且ABAD 3(4)OAOCOBOD;(O是四边形所在平面内一点）(5)ACABAD (6)四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，并且AOOC,DOOB 新知建构 如果e1、e2是同一平面内两个不平行的非零向量，a是该平面内的任意一个向量，我们研究向量a与e1、。 e2的关系。 在平面上任取一点O，做OAe1,OBe2,OCa，过点C作平行与直线OB的直线，与直线OA交于M，过点C作平行于直线OA的直线，与直线OB交于N，由向量平行的充要条件可知，存在实数1、2使得OM1e1,ON2e2，由于OCOMON,所以a1e12e2，那么如果给定平面上两个不平行的向量，那么平面上任意一个向量是否都可以唯一地表示为这两个向量的线性组合呢？  假设有两种方法：a1e12e21e12e2  ()e()e0由于向量e1，e2非零且不平行111222 110，22011，22 平面向量分解定理 如果e1、e2是同一平面内的两个不平行向量 那么对于这一平面内的任意向量 a，有且只有一对实数 e1、e2 ，使 a1e12e2我们把不平行的向量e1、e2叫做这一平面内所有向量的一组基。 思考：（1）一组平面向量的基有多少对？ (2)若基选取不同，则表示同一向量的实数1、2是否相同？ 特别的，若 a = 0 ，则有且只有：120 可使00e10e2特别的，若a与e1(e2）共线，则有1=0（2=0），使得: a1e12e2 学思堂教育·数学教研组

第 3 页 共 3 页

新教育 心服务

说明: （1） 向量e1、e2是非零向量 （2） 向量e1、e2是不平行的向量 （3） e1、e2不一定垂直，也不一定是单位向量 例题讲解： 例1.如图已知向量e1、e2，求做向量3e12e2 e2e1 变式：作3e12e212e1e2 2 例2.如图，平行四边形ABCD的两条对角线相较于点M且 ABa,ABb,用a,b分别表示MA,MB,MC和MD 变式：已知平行四边形ABCD的对角线相交于点O，且OAa,OBb，用向量a,b分别表示向量OC,OD,DC,BC 例3:如图，已知OA,OB是不平行的两个向量，k是实数，且APkAB(kR),用OA，OB表示OP O P B A 学思堂教育·数学教研组

第 4 页 共 4 页

新教育 心服务

变式：在△ ABC中，已知ABa，BCb,G是△ABC的重心，用向量a,b表示向量AG 变式：如图，四边形ABCD是一个等腰梯形，AB∥DC，M,N分别是DC,AB的中点，已知ABa,ADb,DCc 试用a,b,c表示BC,MN,DNCN. 真题在线 随堂检测 学思堂教育·数学教研组

第 5 页 共 5 页

新教育 心服务

→→1.如图，四边形ABCD中，AB＝DC，则相等的向量是（） →→A. AD与CB →→C. AC与BD →→B. OB与OD →→D. AO与OC 2.若O，E，F是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是（） A．EFOFOE B．EFOFOE C．EFOFOE D．EFOFOE →→→→→→→→→→→3.如图，设O是正六边形ABCDEF的中心，在向量OB，OC，OD，OE，OF，AB，BC，CD，EF，DE，FA中与→OA共线的向量有 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个（） 4.在△ABC中，AD、BE、CF为三条中线，G是它们的交点，则下列等式错误的是（ ） 1AG 2121C．CG2FG D．DAFCBC 3325.ABa,ACb,BD3DC，用a,b表示AD，则AD ( ) A．BG B．DG2BE 33131131 A．ab B．ab C．ab D．ab 4444444→6.若M是△ABC的重心，则下列向量中与AB共线的是（） →→→→→→→→→→→A. AB＋BC＋AC B. AM＋MB＋BCC. AM＋BM＋CM D.3AM＋AC 7.如图，M、N是△ABC的一边BC上的两个三等分点， →→→若AB＝a，AC＝b，则MN＝_______. 8.已知向量a、b不共线，实数x、y满足向量等式 3xa＋(10－y)b＝2xb＋(4y＋4)a，则x＝_____，y＝_____. 9.设a表示“向东走4 km”，b表示“向北走3 km”， 则a＋b表示_____________. 10.在梯形ABCD中，AB//DC，E是BC的中点，连接AE并延长交DC的延长线与点F，已知ABa，DC2a，ADb，求向量AF、AE、DE关于a、b的分解式。 学思堂教育·数学教研组

第 6 页 共 6 页

新教育 心服务

11.在梯形ABCD中，AB∥CD，且AB=2CD，M、N分别是DC和AB的中点，联结MN、DN.已知AB=a，AD=b，求出向量BC、MN关于a、b的分解式 D M C A N B 拓展练习 教学反思 学思堂教育·数学教研组

第 7 页 共 7 页

新教育 心服务

学思堂教育·数学教研组

第 8 页 共 8 页