材料力学讲义
第7讲 教学方案
――剪切与挤压的实用计算
基 本 内 容 剪切与挤压的实用计算 1、 掌握工程中各种常用连接件和连接方式的受力和变形分析。 了解连接件应力分布的复杂性、实用计算方法及其近似性和工程 可行教 学 目 2、 的 性。 3、 掌握对各种常用连接件和连接方式的强度校核。 重 占 八、、 本节重点：掌握对各种常用连接件和连接方式的强度校核。 本节难点：、 难 占 八、、 通过连接件的受力和变形，找到剪切面和挤压面。 i
第七讲
第三章剪切与挤压的实用计算
§ 3-1剪切及其实用计算
1.工程上的剪切件
陵下刀刃
囲3*1 ■杆费W圈 通过如图3-1所示的钢杆受剪和图 3-2所示的联接轴与轮的键的受剪情况，可以看出，工程 上的剪切件有以下特点：
1） 受力特点 杆件两侧作用大小相等，方向相反，
作用线相距很近的外力。
2） 变形特点
两外力作用线间截面发生错动，由矩 形变为平行四边形。（见动画：受剪切作用 的轴栓）。
因此剪切定义为相距很近的两个平 行平面内，分别作用着大小相等、方向相
对（相反）的两个力，当这两个力相互平行错动并保持间距不变地作用在构件上时，构件在这两 个平行面间的任一（平行）横截面将只有剪力作用，并产生剪切变形。
Hi 3 5啟的炭并啊 直 2 .剪应力及剪切实用计算
剪切实用计算中，假定受剪面上各点处与剪力
应力为
Q相平行的剪应力相等，于是受剪面上的剪
A
式中：Q —剪力；A —剪切面积
—名义剪切力 剪切强度条件可表示为:
(3-1)
(3-2)
式中：'■—构件许用剪切应力。
-b *— 用J 3 ，•的片切由 2
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剪切面为圆形时，其剪切面积为:
对于如图3-3所示的平键，键的尺寸为
b h l，其剪切面积为：
3-4a。插销材料为
A = b」。
20#钢，！. l-30MPa，直径
例3-1电瓶车挂钩由插销联接，如图
d =20mm。挂钩及被联接的板件的厚度分别为
试校核插销的剪切强度。
t=8mm和1.5t=12mm。牵引力P=15kN。
解：插销受力如图3-4b所示。根据受力情况，插销中段相对于上、下两段，沿
—n两个面向左错动。所以有两个剪切面，称为双剪切。由平衡方程容易求出
Q -
插销横截面上的剪应力为
T =—= ------------------------------------
A
P 2
Q
15 103
= 23.9 MPa < 1
2 汉二（20=<10,2
4
故插销满足剪切强度要求。
例3-2如图3-8所示冲床，Pmax =400kN，冲头
卜1-400 MPa，冲剪钢板・b =360 MPa，设计冲头 的最小直径值及钢板厚度最大值。
解:（ 1）按冲头压缩强度计算 d
所以
3
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=3.4 cm
(2)按钢板剪切强度计算t
A 二 dt
所以
9上…
t — =1.04 cm
■d b
§ 3-2挤压及其实用计算
挤压：联接和被联接件接触面相互压紧的现象，如图
3-5就是铆钉孔被压成长圆孔的情况。
有效挤压面：挤压面面积在垂直于总挤压力作用线平面上的投影。 挤压时，以P表示挤压面上传递的力， 挤压面积，则挤压应力为
(3-3) 表示
式中：！「bs丨一材料的许用挤压应力，一般
'■-bJ = 1.7 ~ 2 匕 1
对于圆截面：Abs = dt，如图3-6c所示。
图3-5 4卩h■菲莎压图 用阳藪两的松斥面
图3 7饋的挤ZE曲 4
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例3-3 截面为正方形的两木杆的榫接头如图所示。已知木材的顺纹许用挤压应力
t bJ - 8MPa，顺纹许用剪切应力！. 1 - 1MPa，顺纹许用拉应力 t J - 10MPa。若P=40kN， 作用于正方形形心，试设计
b、a及I。
解: 1.顺纹挤压强度条件为
二 bs_
bs
ba
（a）
P 40 103 2
=50 10*m ba - 6
-bs「8 10
2.顺纹剪切强度条件为
A bl
P • _厂广
b|
40 10
106
3
= 400 10m
_
_4 2
（b）
3.顺纹拉伸强度条件为
---------- <
b_>-a）-
2 40 103 2
=80 10*m 6
10 10
（c）
联立（a）> （ b ）、（ c）式，解得
b - 11.4 10= 114mm I -35.1
10‘m=351mm
2
a —4.4 10 m =44mm
例3-4
2..5m3挖掘机减速器的一轴上装一齿轮,
齿轮与轴通过平键连接,
已知键所受的力为 P
10）。键
=12.1kN。平键的尺寸为：
b=28mm , h=16mm, | 2 =70mm，圆头半径 R— 14mm （图 3
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的许用切应力！.丨-87MPa，轮毂的许用挤压应力取
t bs 1 = lOOMPa，试校核键连接的强度。
3- 10d）
解： （1）校核剪切强度
为
键的受力情况如图3- 10c所示，此时剪切面上的剪力（图
Q =P =12.1kN \"2100N
对于圆头平键，其圆头部分略去不计（图
3 - 10e）,故剪切面面积为
A=blP = bl2-2R = 2.87-2 1.4 =11.76cm
所以，平键的工作切应力为
2
11.76 10 m
.4 2
Q _ 12100 一 A 一 11.76 10*
=10.3 106Pa = 10.3MPa ：：：「- 87MPa
满足剪切强度条件。 （2）校核挤压强度
与轴和键比较，通常轮毂抵抗挤压的能力较弱。轮毂挤压面上的挤压力为
P= 12100N
挤压面的面积与键的挤压面相同，设键与轮毂的接触高度为 3 - 10f）为
一，则挤压面面积（图
2
宿) (b) 出 3-1 & abed Abs』\"-16 7.0-2 1.4
2 2
=3.36cm =3.36
2
10 m
-4 2
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故轮毂的工作挤压应力为
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bs
P Abs
6
12100 3.36 10*
b
=36 10Pa = 36MPa ：：：卜 J - 100MPa
也满足挤压强度条件。所以，此键安全。
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第七章 剪切与扭转
第一节剪切与挤压的概念
一、剪切的概念
剪切变 形是杆 件的基本变 形之一。它 是指 杆件受 到一对垂直 于杆 轴方向 的大小相 等、方向相反、作用线相距很近的外力作用所引起的变形，如图
7-1 a所示。此时，截
面cd相对于ab将发生相对错动，即剪切变形。若变形过大，杆件将在两个外力作用 面之间的某一截面 m-m处被剪断，被剪断的截面称为剪切面，如图
7-1 b所示。
图7-1剪切变形
工程中有一些连接件， 等都是以剪切变形主的构件。
如铆钉连接中的铆钉（图7-2 a）及销轴连接中的销（7-2 b）
图7-2连接件的剪切变形
二、挤压的概念
构件在受剪切的同时，在两构件的接触面上，因互相压紧会产生局部受压，称为 挤压。如图 7-3所示的铆钉连接中，作用在钢板上的拉力
F，通过钢板与铆钉的接触面
传递给铆 钉，接 触面 上就 产生了挤压。两构 件的接触面 称为挤 压面，作用于接 触面的
压力称挤压力，挤压面上的压应力称挤压应力，当挤压力过大时，孔壁边缘将受压起
“皱”（图7-3 a），铆钉局部压“扁”
，使圆孔变成椭圆，连接松动
（图7-3 b），这就是挤
压破坏。因此，连接件除剪切强度需计算外，还要进行挤压 强度计算。
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第七讲
第二节 剪切和挤压的实用计算
一、剪切的实用计算
剪切面上的内力可 用截面法求得。假想将 铆钉沿 剪切面截开分为 上下两 部分，任 取其中一部分为研究对象
方向相反，大小由
刀 X=0, F-Q = 0,得 Q=F 这种平行于截面的内力
Q称为剪力。
（图7-4 c），由平衡条件可知，剪切面上的内力
Q必然与外力
(a) (b) (c)
图7-4 剪切实用计算
(d)
与剪力 Q相应，在剪切面上有切应力 均匀分布的。因此，
T存在（图7-4d）。切应力在剪切面上的分布
T是
情况十分复杂，工程上通常采用一种以试验及经验为基础的实用计算方法来计算，假 定剪切面上的切应力
(7-1 )
式中：A为剪切面面积，
Q为剪切面上的剪力。
为保证构件不发生剪切破坏，就要求剪切面上的平均切应力不超过材料的许用切 应力，即剪切时的强度条件为
=Q -[] A
二、挤压的实用计算
挤压应力在挤压面上的分布也很复杂，如图
(7-2 )
式中：［T为许用切应力。许用切应力由剪切实验测定。 各种材料的许用切应力可在有关手册中查得。
7-5 a所示。因此也采用实用计算法,
假定挤压应力均匀地分布在计算挤压面上，这样，平均挤压应力为
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(7-3)
图7-5挤压的实用计算
式中Ac为挤压面的计算面积。当接触面为平面时，接触面的面积就是计算挤压面 积，当接触面为半圆柱面时，取圆柱体的直径平面作为计算挤压面面积
计算所得的挤压应力和实际最大挤压应力值十分接近。由此可建立挤压强度条件：
（图7-5 b）。这样
Fc Ac
tc]
(7-4 )
％］比许用压应
式中［无］为材料的许用挤压应力，由试验测得。许用挤压应力】
力】\"高，约为（1.7~2.0 ）倍，因为挤压时只在局部范围内引起塑性变形，周围没有 发生塑性变形的材料将会阻止变形的扩展，从而提高了抗挤压的能力。
例7-1图7-6a所示一铆钉连接件，受轴向拉力
F作用。已知： F=100kN，钢板厚
N8mm ,宽b=100mm ,铆钉直径 d=16mm ,许用切应力 ［］=140MPa ,许用挤压应力 ［氐］ =340MPa，钢板许用拉应力
［（r］=170MPa。试校核该连接件的强度。
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第七讲
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图7-6
解：连接件存在三种破坏的可能：（1 ）铆钉被剪断；（2）铆钉或钢板发生挤压破 坏；（3）钢板由于钻孔，断面受到削弱，在削弱截面处被拉断。要使连接件安全可靠， 必须同时满足以上三方面的强度条件。
图7-6 铆钉连接件的强度计算
（1）铆钉的剪切强度条件
连接件有 n个直径相同的铆钉时，且对称于外力作用线布置，则可设各铆钉所受 的力相等：
Fi
现取一个铆钉作为计算对象，画出其受力图（图
7-6 b），每个铆钉所受的作用力:
剪切面上的剪力:
根据式（7-2 ），得
Q Fi
-
F 4
2
100 103
厂=124MPa ：：[.] =140 MPa
A A 二d2 4 二 162
所以铆钉满足剪切强度条件。 （2）挤压强度校核 每个铆钉所受的挤压力
根据式（7-4），得
Ac d
100 10
= 195MPa 十c] =340 MPa
~4 16 8
3
3
所以连接件满足挤压强度条件。 （3）板的抗拉强度校核
两块钢板的受力情况及开孔情况相同，只要校核其中一块即可。现取下面一块钢 板为研究对象，画出其受力图（图
截面1-1和3-3的净面积相同（图 是危险截面。截面
截面1-1 :
2-2的轴力虽比截面
面1-1和2-2进行强度校核。
7-6c）和轴力图（7-6 d ）。
7-6e），而截面 3-3的轴力较小，故截面 3-3不 1-1小，但净面积也小（图 7-6 f ），故需对截
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第七讲
3
F 2-2100 10 -1 149 MPa :::［匚］=170 MPa 截面 :
(b -d)：. (100 -16)8
3
3F 4 二3 100 10 138MPa :订;-］=170MPa所 以钢板满足抗拉强度 4(100-2 16)8 N2
；「2 =
(b - A
2d)、.
条件。
经以上三方面的校核, 该连接件满足强度要求。
圆轴扭转时的强度计算 第八节
、最大切应力
'max
由式7-8可知最大切应力
Tmax
发生在最外圆周处，即在
D
飞处。于是:
M n 'max m ax —
I P
IP D 2
令:
max
Mn WP
m3 或 mm3
(7-9)
式中Wp称为抗扭截面系数，其单位为
对于实心圆截面
WP
-：3D 16 3
对于空心圆截面 -a 4) (式中 WP -(1
16
二、圆轴扭转时的强度条件 为了
保证轴的正常工作，轴内 轴扭转时的最大切应力不应超过材 料的许用切应力
强度条件为：
iax
[T，所以圆
Wn
(7-10 )
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式中[.]为材料的许用切应力，各种材料的许用切应力可查阅有关手册。 三、圆轴扭转时的强度计算
根据强度条件，可以对轴 进行三方面计算，即强度校核、设计截 面和确 定许用荷 截。 例7-2图7-15所示一钢制圆轴，受一对外力偶的作用，其力偶矩 已知轴的直径
d=60mm，许用切应力 []=60MPa。试对该轴进行强度校核。
Me=2.5kN • m ,
解：（1）计算扭矩 Mn
Mn e
（2 ）校核强度
圆轴受扭时最大切应力发生在横截面的边缘上，按
2.5 106
max
式（7-10 ）计算，得:
16
3~ =59 MPa
Wp
:::[J =60 MPa
16
3.14 60
故轴满足强度要求。
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