等差数列前n项和公式教案
学习内容分教学目标
学习内容分
教学目标
《等差数列前n项和》教案模板
教学设计表
学科数学授课年级中职一年级学校高台县职业中专教师姓名张秀娟
计划学
章节名称 《等差数列前n项和》教案 1课时
时
《等差数列前n项和》现行高中教材第三章第三节“等差数列前n项和”的第一课时主要内容是等差数列前n项和的推导过程和简单应用。
知识技能：
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(1） 掌握等差数列前n项和公式；
(2） 掌握等差数列前n项和公式的推导过程；
(3） 会简单运用等差数列的前n项和公式。
数学思考:
(1）通过对等差数列前n项和公式的推导过程渗透倒序相加求和的数学方法;
(2） 通过公式的运用体会方程的思想；
(3） 通过运用公式的过程提高学生类比化归、数形结合的能力。
情感态度：
结合具体模型将教材知识和实际生活联系起来使学生感受数学的实用性有效激发学习兴趣并通过对等差数列求和历史的了解渗透数学史和数学文化。
教学重点及
解决措施
等差数列前n项和公式的推导和应用
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教学难点及
等差数列前n项和公式的推导过程中渗透倒序相加的思想方法。
本课在设计上采用了由特殊到一般、从具体到抽象的教学策略?禾U用数形结合、类比归纳的思想层层深入通过学生自主
探究分析、整理出推导公式的不同思路同时借助多媒体的直观演示帮助学生理解并通过范例后的变式训练和教师的点拨引导师生互动、讲练结合从而突出重点、突破教学难点。
结合教材知识内容和教学目标本课的教学环节及时间分配如下:
教学设计思
路
A
前后呼应 公式应用
探究等差数列前n项和公式
(18分钟）
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数形结合
类比化归
公式应用与议练活动（1）
(5分钟）
(2分钟）
公式应用与
议练活动（2）
(9分钟）
与理解
(4分钟）
前后呼应
前后呼应
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知识回顾
学节
教环
教师活动
新课引入
创设情境：首先让学生欣赏一幅美丽的图片
——泰姬陵。泰姬陵是印度著名的旅游景点传说中陵寝中有一个三角形的图案嵌有大小相同的宝石共有100层同时提出第一个问题：你能计算出这个图案一共花了多少颗宝石吗？也即计算1+2+3+…..+100=?
学生活动
现实模型:
问题2:何老师按揭买房,向银行贷款25万
模型直观用实际生活引入新课。
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元采取等额本金的还款方式即每月还款①图片欣赏②生活实例
额比上月减少一定的数额。20__年1月我第一次向银行还款2348元以后每月比上月的还款额减少5元若以20__年1
月银行贷款利率为基准利率,那么到2026年12月最后一次还款为止何老师连本带利一共还款多少万元?
探
索
公
式
首先认识一位伟大的数学家一一高斯然后提出冋题：咼斯是如何快速计算1+2+3+4+…..+100?
设等差数列｛an｝前n项和为Sn则
Sn=a! -a心-an
问题1
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老师：利用高斯算法如何求等差数列的前n项和公式？
老师：但是否刚好配对成功呢？
(1)n为偶数时：
S^a^'■an■an -%
“1
22
学生：1+100= ,
2+99=,…..50+5仁,所以原式=50 (1+)=5050
学生：将首末两项配对第二项与倒数第二项配对以此类推每一对的和都相等并且都等于。a1■an
学生：不一定需要对n取值的奇偶进行讨论。
当n为偶数时刚好配对成功。
'Sn二号⑻+an)
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(2)n为奇数时：
Sn=a^ an14■an1■an14「an
11
222
当n为奇数时中间的一项a^落单了。
“”2~
高斯求和众所周知学生能快速解答。
这里用到了等差数列脚标和性质从咼斯算法出发对n进行讨论寻找求和公式思路自然学生容易想到。
老师：那么该如何解决落单的an1呢？
nT ~
Sn： (a1an)■an-1
\\o“CurrentDocument”2 T
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an__an出
n-1 、 2 一2
(a「a.)“一
22n
=2(a1an)
同过对n取值的讨论得到了前
项和求和公式：Sn=n(a1an)
2
但是对n讨论麻烦了能否有更好的方法求前n项和公式呢？接下来给出实际问题：伐木工人是如何快速计算堆放在木场的木头根数呢？
问题2：如何用倒置的思想求等差数列前n
(可能部分学生在此会遇到困难老师做适当的引导。)学生：观察a匚的脚标与
“”2“
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a1an脚标的关系即：
an1 'an1
22
a「an
2
学生观察动画演示不难发现用倒置的思想来解决此问题。
(由上一问题的解决学生容易想到倒序相加求和法。)
学生：利用倒序相加求和法。
对中间
an卅项~
的解决办法的过程中进一步让学生体会研究数列就是对脚标数学的研究。
2
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2
项和呢?方法一:
Sn
Sn
两式相加得:
a1■a2■■■-
an a^i-■-
an_1
1
a2
an
_
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ai
2Sn二n(a「an)cn/ 、
Sn=2(aian)
方法
同样利用倒序相加求和法教材做了如下处理：
Sn=a1-(a1d)-...-[a1(n-1)d]
Sn二an (an
两式相加得:
将Sn中的每一项用等差数
列的通项公式进行巧妙的改写在倒序相加求和时每一组中的d都被正负抵消了。
学生类比方法一与方法二的联系与区别
-d)++&;—(n—1)d]
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2Sn二n(a「an)
公式1Sn=2(ai+an)
引导学生带入等差数列的通项公式换
掉an整理得到公式2。
公式2:S”詈d
学生自己阅读教材体会教材的解法是如何运用求和公式。
观察多媒体课件演示。
例1：计算
(1)
(2)
(3)
(4)
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1+2+3+…+n
1+3+5+…+(2n-1)
2+4+6+…+2n
1-2+3-4+5-6 (2n-1)-2n
教师通过动画演示给(1),(2)问一个直观的解释
变式练习：课前提出的房贷问题。
解：由已知每月还款数成等差数列设为
a厂2348,d 5,n二240c 丄n(n+1),
Sn二na1 d
2
240汉239
二2402348 (-5)
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学生：要求总还款额实际就是对一个等差数列求和。
法是重要的数学思想为以后数列求和的学习做好了铺垫。
在等差数列前n项和公式的推导过程中通过问题获得知识让学生经历“发现问题——提出问题 解决问题”的过程
通过对实际问题的解决让学生认识到数学来源于生活同时又服务于生活
a'?:
问题3：能否给求和公式一个几何解释呢?
教师提示将求和公式与梯形建立联系。
公式1：S询和
2
学生：将求和公式与梯形面积公式建立联系而梯形面积公式的推导也正是利用了倒置的思想。
学生：同样将公式2与梯形面积公式建立联系。用“割”的思想将梯形分做一个平行四边形和一个三角形而梯形面积就是这两部分面积之和。
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利用数形结合的思想使学生对两个公式有直观的认识体会数学的图形语言。
公式2：Sn=nn(n1)d
2
根据三个公式之间的联系,
由方程的思想知三可求二。
学生讨论：公式中一共含有五个
剖析公式:
学生讨论分析题目所含的已知
Sn
议
练
活
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动
公式25+呼0
通项公式：an=a1(n-1)d
教师提示从方程中量的关系入手。
例2 等差数列-10-6-22…前多
少项的和为54?
解：设题中的等差数列是；aj前n项和为
◎I:
则ai=—10d=—6—(—10)=4
令&;Sn丄54,由等差数列前n项和公式得:
解得咕二9,2匕=—3(舍4去)
因此等差数列的前9项和是54
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量选取了公式2进行运算利用了方程的思想。需要注意的是学生可能会把公差认为是-4,以及解得n的值后未把n=-3舍去。
学生进行了分组讨论然后每组派学生代表进行分析。不少小组首先对已知条件作转化希望能通过解方程求出首项和公差但发现条件不够不能解出这些基本量教师做适当的引导。
解决了例1的基础上由浅入深,深化了对公式的理解,体现了方程的思想。
课
堂
总
结
例3：在等差数列｛an｝中
已知:a2a5a12a^二36,求弘
已知：a6二20,求S11
解：(1)；a2印5=a5a^=a「印6
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a〔'a〔6=a?'a〔5=18
紧扣教材让学生体会整体应用公式类比化归的思想方法同时为以后综合问题的解答设下伏笔。
S16
(2)
16(a1a16)
2
=144
S11
(a1an)11
2
2a§
11
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=220
本小题主要考察了对公式一的整体应
用。根据课堂剩余时间本题作为机动练习,
(2)小问留给学生课后完成。
本环节由学生自主归纳、总结本节课所学习的主要内容教师加以补充说明.
回顾从特殊到一般一般到特殊的研究方法?
体会等差数列的基本元表示方法倒序相加的算法及数形结合的数学思想?
掌握等差数列的两个求和公式及简单应用。
了解我国古代研究等差数列求和的情况。
通过对等差数列求和历史的了解渗透数学史和数
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