因式分解例题讲解与练习

一、因式分解的定义

1、计算

x(x2)

(x3)(x3) (xy)2 2、根据上面的式子填空

x22xx29 

2

x22xyy23、上面的两个过程是互逆的，第1题的变形是我们前面所学的整式乘法，第2题从左往右的变形我们叫做因式分解。

把一个多项式化成了几个整式的积的形式，这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。

因式分解与整式乘法是相反方向的变形。

例题：下列各式从左到右的变形中，是因式分解的为（ ） A、x(ab)axbx

B、x21y2(x1)(x1)y2

D、axbxcx(ab)c

C、x21(x1)(x1)

练习1、下列变形是分解因式的是（ ）。

A x2－4x＋4=x(x－4)＋4 ， B (x＋3)2=x2＋6x＋9 C x2＋6x＋9 = (x＋3)2 D (x＋3)(x－3)=x2-9 2、一个多项式分解因式的结果是(b2)(2b)，那么这个多项式是（ A、b4 二、提公因式法 1、公因式

定义：在多项式的各项中都含有的因式叫做这个多项式各项的公因式。

633）

B、4b

6

C、b4

6D、b4

6例题：找出下列多项式的公因式：

（1）3x+6 （2）7x－21x; （3）8ab－12abc+abc （4）－24x－12x+28x. 练习：1、写出下列多项式各项的公因式.

（1）ma+mb （2）4kx－8ky （3）5y+20y （4）ab－2ab+ab

2、下列各式公因式是a的是（ ）

2

2

3

2

232332A. ax＋ay＋5 B．3ma－6ma2 C．4a2＋10ab D．a2－2a＋ma 3、 －6xyz＋3xy－9xy的公因式是（ ）

2

2

A.－3x B．3xz C．3yz D．－3xy 2、运用提公因式法分解因式 例题1：将下列各式分解因式：

（1）3x+6 （2）7x－21x （3）8ab－12abc+abc （4）－24x－12x+28x

练习:1、（1）8x－72= （2）ab－5ab=

（3）4m－6m= （4）ab－5ab+9b= （5）－a+ab－ac= （6）－2x+4x－2x= 2、把多项式－4a+4a－16a分解因式（ ） A.－a(4a－4a+16) C.－4(a－a+4a)

3

22

3

2

2

3

2

3

2

2

2

3

2

2

32

3

B.a(－4a+4a－16)

2

2

D.－4a(a－a+4)

3、用提取公因式法分解因式正确的是（ ）

A.12abc－9ab=3abc(4－3ab) B.3xy－3xy+6y=3y(x－x+2y) C.－a+ab－ac=－a(a－b+c) D.xy+5xy－y=y(x+5x) 4.如果b－a=－6，ab=7，那么ab－ab的值是( ) A.42

B.－42 C.13

D.－13

2

2

2

2

2

22

2

2

例题2、将下列各式分解因式

（1）a（x－3）+2b（x－3） （2）a（x－y）+b（y－x） （3）6（m－n）－12（n－m）

练习：1、请在下列各式等号右边的括号前填入“+”或“－”号，使等式成立:

（1）2－a=__________（a－2） （2）y－x=__________（x－y） （3）b+a=__________（a+b） （4）（b－a）=__________（a－b）（5）－m－n=__________（m+n） （6）－s+t=__________（s－t） 2、将下列各式分解因式

（1）5x（a+b）+10y（a+b） （2）x(x－y)－y(y－x)

（3）6p2q23mp2q2 （4）mn（m－n）－m（n－m） 2

2

2

2

2

2

2

3

2

（5）（b－a）+a（a－b）+b（b－a）

3、把多项式（3a－4b）（7a－8b）＋（11a－12b）（8b－7a）分解因式的结果是（ ）

2

A．8（7a－8b）（a－b） B．2（7a－8b）2 C．8（7a－8b）（b－a） D．－2（7a－8b） 4、把（x－y）－（y－x）分解因式为（ ） A．（x－y）（x－y－1） B．（y－x）（x－y－1） C．（y－x）（y－x－1） D．（y－x）（y－x＋1）

2

三、用公式法因式分解；

1、代数中常用的乘法公式有：

22

平方差公式：(a+b)(a－b)＝a－b

222

完全平方公式：(a±b)＝a±2ab+b 2、因式分解的公式：

将上述乘法公式反过来得到的关于因式公解的公式来分解因式的方法，主要有以下三个公式：

22

平方差公式：a－b＝(a+b)(a－b)

222

完全平方公式：a±2ab+b＝(a±b)

222416

例1：分解因式：（1）4a－9b (2)－25ay+16b

8222

注：要先将原式写成公式左边的形式，写成(4b)－(5ay)

练习1:分解因式：（1）36bx－9cy （2）(x+2y)－(x－2y)

88 22

（3）81x－y （4）(3a+2b)－(2a+3b)

4861022

22 22

2、分解因式： (2m－n)－121(m+n) －4(m+n)+25(m－2n)

例2、分解因式：（1）x+6ax+9a （2）－x－4y+4xy

2

（3）9（a－b）+6（a－b）+1

2222

速效基础演练：

1、下列各式从左到右的变形错误的是（ ）。

(A)(y－x)＝(x－y) (B)－a－b＝－(a+b) (C)(a－b)＝－(b－a) (D)－m+n＝－(m+n) 2、下列各式是完全平方式的是（ ）。

（A）x+2xy+4y（B）25a+10ab+b（C）p+pq+q（D）m－2mn+3、(x+y)+6(x+y)+9的分解结果为

（A）、(x+y－3) （B）、(x+y+3) （C）、(x－y+3) （D）、(x－y－3)4、－1+0.09x分解因式的结果是（ ）。

（A）（－1+0.3x） （B）(0.3x+1)(0.3x－1) (C)不能进行 （D）(0.09x+1)(0.09x－1). 5、49a－112ab+64b因式分解为（ ）

（A）(7a－8b) （B）(7a－8b)(7a+8b) （C）(7a－8b) （D）(7a+8b) 6、下列分解因式结果正确的是( )

A.ab+7ab－b=b(a+7a) B.3xy－3xy+6y=3y(x－x+2) C.8xyz－6xy=2xyz(4－3xy) D.－2a+4ab－6ac=－2a(a－2b－3c) 7、下列分解因式结果正确的是( )

A.6(x－2)+x(2－x)=(x－2)(6+x) B.x+2x+x=x(x+2x) C.a(a－b)+ab(a－b)=a(a－b) D.3x+6x=3x(x+2)

8、变形⑴(a＋b)(a－b)=a－b，⑵a－b=(a－b)(a＋b)中，属于因式分解过程的是________． 9、多项式14abx－8abx+2ax各项的公因式是________. 10、－xy(x+y)+x(x+y)的公因式是________. 11、把4ab－2ab+8a分解因式得__ ___.

12、5(m－n)－(n－m)可以写成____ ____与_____ ___的乘积.

4

5

22

3

22

2

2

2

2

2

n+1

n

n

3

2

2

22

2

2

2

2

2

2

2

2

2 2

2

2

2

4

2

2

2

2

2

2

22

2

2

2

2

2

2

3

3

2

2

12

n 413、将下列各式分解因式

①21ab－35ab ②3xyz＋15xz－9xyz ③－3xy＋6xy－9xy ④a(x－y)－b(y－x) ⑤9(ab)6(ab)1 ⑥x2xyyz

222222

33

3

23

2

2

2