主成分分析的matlab实现完整程序

主成分分析

1.概述

Matlab语言是当今国际上科学界 (尤其是自动控制领域) 最具影响力、也是

最有活力的软件。它起源于矩阵运算，并已经发展成一种高度集成的计算机语言。它提供了强大的科学运算、灵活的程序设计流程、高质量的图形可视化与界面设计、与其他程序和语言的便捷接口的功能。Matlab 语言在各国高校与研究单位起着重大的作用。主成分分析是把原来多个变量划为少数几个综合指标的一种统计分析方法，从数学角度来看，这是一种降维处理技术。

1.1主成分分析计算步骤

① 计算相关系数矩阵

r11r21Rrp1r12r22rp2r1pr2prpp （1）

在（3.5.3）式中，rij（i，j=1，2，…，p）为原变量的xi与xj之间的相关系数，其计算公式为

rij(xk1nkixi)(xkjxj)2

(xk1nkixi)(xk1nkjxj)2 （2）

因为R是实对称矩阵（即rij=rji），所以只需计算上三角元素或下三角元素即可。

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② 计算特征值与特征向量

首先解特征方程IR0，通常用雅可比法（Jacobi）求出特征值

i(i1,2,,p)，并使其按大小顺序排列，即,0；然后分别求

12p2出对应于特征值i的特征向量ei(i1,2,,p)。这里要求ei=1，即eij1，其

j1p中eij表示向量ei的第j个分量。

③ 计算主成分贡献率及累计贡献率 主成分zi的贡献率为

ik1p(i1,2,,p)

k累计贡献率为

ik1k1pk(i1,2,,p)k

一般取累计贡献率达85—95%的特征值1,2,,m所对应的第一、第二，…，第m（m≤p）个主成分。

④ 计算主成分载荷 其计算公式为

lijp(zi,xj)ieij(i,j1,2,,p) （3）

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得到各主成分的载荷以后，还可以按照（3.5.2）式进一步计算，得到各主成分的得分

z11zZ21zn1

z12z22zn2z1mz2mznm （4）

2.程序结构及函数作用

在软件Matlab中实现主成分分析可以采取两种方式实现：一是通过编程来实现；二是直接调用Matlab种自带程序实现。下面主要主要介绍利用Matlab的矩阵计算功能编程实现主成分分析。

2.1程序结构

Cwprint.m 主函数

子函数

Cwstd.m Cwfac.m Cwscore.m

2.2函数作用

Cwstd.m——用总和标准化法标准化矩阵

Cwfac.m——计算相关系数矩阵；计算特征值和特征向量；对主成分进行排序；计算各特征值贡献率；挑选主成分（累计贡献率大于85%），输出主成分个数；计算主成分载荷

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Cwscore.m——计算各主成分得分、综合得分并排序 Cwprint.m——读入数据文件；调用以上三个函数并输出结果

3.源程序

3.1 cwstd.m

%cwstd.m,用总和标准化法标准化矩阵 function std=cwstd(vector)

cwsum=sum(vector,1); %对列求和

[a,b]=size(vector); %矩阵大小,a为行数,b为列数 for i=1:a

for j=1:b

std(i,j)= vector(i,j)/cwsum(j); end end

3.2 cwfac.m

%cwfac.m

function result=cwfac(vector); fprintf('相关系数矩阵:\\n')

std=CORRCOEF(vector) %计算相关系数矩阵 fprintf('特征向量(vec)及特征值(val)：\\n')

[vec,val]=eig(std) %求特征值(val)及特征向量(vec) newval=diag(val) ;

[y,i]=sort(newval) ; %对特征根进行排序，y为排序结果，i为索引 fprintf('特征根排序：\\n') for z=1:length(y)

newy(z)=y(length(y)+1-z); end

fprintf('%g\\n',newy) rate=y/sum(y);

fprintf('\\n贡献率：\\n') newrate=newy/sum(newy)

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sumrate=0;

newi=[];

for k=length(y):-1:1

sumrate=sumrate+rate(k); newi(length(y)+1-k)=i(k); if sumrate>0.85 break; end

end %记下累积贡献率大85%的特征值的序号放入newi中 fprintf('主成分数：%g\\n\\n',length(newi)); fprintf('主成分载荷：\\n') for p=1:length(newi) for q=1:length(y)

result(q,p)=sqrt(newval(newi(p)))*vec(q,newi(p)); end

end %计算载荷 disp(result)

3.3 cwscore.m

%cwscore.m,计算得分

function score=cwscore(vector1,vector2); sco=vector1*vector2; csum=sum(sco,2);

[newcsum,i]=sort(-1*csum); [newi,j]=sort(i);

fprintf('计算得分：\\n')

score=[sco,csum,j]

%得分矩阵：sco为各主成分得分；csum为综合得分；j为排序结果

3.4 cwprint.m

%cwprint.m

function print=cwprint(filename,a,b);

%filename为文本文件文件名，a为矩阵行数(样本数)，b为矩阵列数(变量指标数) fid=fopen(filename,'r')

vector=fscanf(fid,'%g',[a b]); fprintf('标准化结果如下：\\n') v1=cwstd(vector) result=cwfac(v1); cwscore(v1,result);

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4.程序测试

4.1原始数据

中国大陆35个大城市某年的10项社会经济统计指标数据见下表。

年底 城 市 总人口 名 称 (万人) 人口比(%) (万元) (万元) 非农业 农 业 总产值 工业 总产值 客运货运地方财政 城乡居民年底储蓄余额 (万元) 在岗职工人数(万人) 在岗职工工资总额 (万元) 总量 总量 预算内收(万人) (万吨) 入(万元) 北 京 1 249.90 0.597 8 1 843 427 19 999 706 20 323 45 562 2 790 863 26 806 646 410.80 5 773 301 天 津 石 家 庄 太 原 呼和浩特 沈 阳 大 连 长 春 哈 尔 滨 910.17 0.580 9 1 501 136 22 645 502 3 259 26 317 1 128 073 11 301 931 202.68 2 254 343 875.40 0.233 2 2 918 680 6 885 768 2 929 1 911 299.92 0.656 3 236 038 207.78 0.441 2 365 343 352 348 7 095 875 3 943 100 1 396 588 95.60 88.65 42.11 758 877 654 023 309 337 2 737 750 1 937 11 895 203 277 816 452 2 351 2 623 105 783 677.08 0.629 9 1 295 418 5 826 733 7 782 15 412 567 919 545.31 0.494 6 1 879 739 8 426 385 10 780 19 187 709 227 691.23 0.406 8 1 853 210 5 966 343 4 810 9 532 357 096 927.09 0.462 7 2 663 855 4 186 123 6 720 7 520 481 443 9 016 998 135.45 1 152 811 7 556 796 94.15 965 922 884 447 4 803 744 102.63 6 450 020 172.79 1 309 151 上 海 1 313.12 0.738 4 2 069 019 54 529 098 6 406 44 485 4 318 500 25 971 200 336.84 5 605 445 南 京 杭 州 宁 波 合 肥 福 州 厦 门 南 昌 济 南 青 岛 郑 州 武 汉 长 沙 广 州 深 圳 537.44 0.534 1 989 199 13 072 737 14 269 11 193 664 299 616.05 0.355 6 1 414 737 12 000 796 17 883 11 684 449 593 538.41 0.254 7 1 428 235 10 622 866 22 215 10 298 501 723 429.95 0.318 4 628 764 2 514 125 4 893 1 517 233 628 5 680 472 113.81 1 357 861 7 425 967 5 246 350 1 622 931 5 030 220 2 108 331 2 640 460 4 126 970 96.90 62.15 47.27 69.59 46.93 62.08 83.31 1 180 947 824 034 369 577 680 607 657 484 479 ,555 756 696 961 704 696 848 583.13 0.273 3 2 152 288 6 555 351 8 851 7 190 467 524 128.99 0.486 5 333 374 424.20 0.398 8 688 289 5 751 124 3 728 2 570 418 758 2 305 881 3 674 3 189 167 714 557.63 0.408 5 1 486 302 6 285 882 5 915 11 775 460 690 702.97 0.369 3 2 382 320 11 492 036 13 408 17 038 658 435 615.36 0.342 4 677 425 5 287 601 10 433 6 768 387 252 4 978 045 103.52 5 135 338 84.66 740.20 0.586 9 1 211 291 7 506 085 9 793 15 442 604 658 582.47 0.310 7 1 146 367 3 098 179 8 706 5 718 323 660 5 748 055 149.20 1 314 766 3 461 244 69.57 596 986 685.00 0.621 4 1 600 738 23 348 139 22 007 23 854 1 761 499 20 401 811 182.81 3 047 594 119.85 0.793 1 299 662 20 368 295 8 754 4 274 1 847 908 9 519 900 91.26 1 890 338 63

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南 宁 海 口 285.87 0.406 4 720 486 54.38 0.835 4 44 815 1 149 691 5 130 3 293 149 700 717 461 5 345 2 356 115 174 2 190 918 1 626 800 45.09 19.01 371 809 198 138 重 庆 3 072.34 0.206 7 4 168 780 8 585 525 52 441 25 124 898,912 成 都 1 003.56 0.335 1 935 590 5 894 289 40 140 19 632 561 189 贵 阳 昆 明 西 安 兰 州 西 宁 银 川 乌鲁木齐 321.50 0.455 7 362 061 473.39 0.386 5 793 356 674.50 0.409 4 739 905 287.59 0.544 5 259 444 133.95 0.522 7 95.38 65 848 2 247 934 15 703 4 143 197 908 3 605 729 5 604 12 042 524 216 3 665 942 10 311 9 766 408 896 2 940 884 1 832 4 749 169 540 711 310 661 226 1 746 1 469 2 106 1 193 49 134 74 758 9 090 969 223.73 1 606 804 7 479 684 132.89 1 200 671 1 787 748 4 127 900 55.28 88.11 419 681 842 321 885 169 550 890 219 251 178 621 517 622 5 863 980 114.01 2 641 568 855 051 814 103 2 365 508 65.83 27.21 23.72 55.27 0.570 9 171 603 78 513 158.92 0.824 4 1 847 241 2 668 9 041 254 870

4.2运行结果

>> cwprint('cwbook.txt',35,10)

fid =

6

数据标准化结果如下：

v1 =

0.0581 0.0356 0.0435 0.0680 0.0557 0.1112 0.1194 0.1184 0.1083 0.1392 0.0423 0.0346 0.0354 0.0770 0.0089 0.0642 0.0483 0.0499 0.0534 0.0544 0.0407 0.0139 0.0688 0.0234 0.0080 0.0047 0.0151 0.0314 0.0252 0.0183 0.0139 0.0391 0.0056 0.0093 0.0053 0.0290 0.0087 0.0174 0.0234 0.0158 0.0097 0.0263 0.0086 0.0028 0.0064 0.0064 0.0045 0.0062 0.0111 0.0075 0.0315 0.0375 0.0305 0.0198 0.0213 0.0376 0.0243 0.0398 0.0357 0.0278 0.0253 0.0295 0.0443 0.0286 0.0295 0.0468 0.0304 0.0334 0.0248 0.0233 0.0321 0.0242 0.0437 0.0203 0.0132 0.0233 0.0153 0.0212 0.0270 0.0213 0.0431 0.0276 0.0628 0.0142 0.0184 0.0184 0.0206 0.0285 0.0455 0.0316 0.0610 0.0440 0.0488 0.1853 0.0176 0.1086 0.1848 0.1148 0.0888 0.1352 0.0250 0.0318 0.0233 0.0444 0.0391 0.0273 0.0284 0.0251 0.0300 0.0327 0.0286 0.0212 0.0334 0.0408 0.0490 0.0285 0.0192 0.0328 0.0255 0.0285 0.0250 0.0152 0.0337 0.0361 0.0609 0.0251 0.0215 0.0232 0.0164 0.0199 0.0200 0.0190 0.0148 0.0085 0.0134 0.0037 0.0100 0.0072 0.0125 0.0089

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0.0271 0.0163 0.0508 0.0223 0.0243 0.0175 0.0200 0.0222 0.0183 0.0164

0.0060 0.0290 0.0079 0.0195 0.0102 0.0063 0.0179 0.0093 0.0124 0.0159 0.0197 0.0237 0.0162 0.0078 0.0101 0.0078 0.0072 0.0117 0.0164 0.0116 0.0259 0.0243 0.0350 0.0214 0.0162 0.0287 0.0197 0.0182 0.0220 0.0182 0.0327 0.0220 0.0562 0.0391 0.0367 0.0416 0.0282 0.0220 0.0273 0.0232 0.0286 0.0204 0.0160 0.0180 0.0286 0.0165 0.0166 0.0227 0.0223 0.0168 0.0344 0.0349 0.0286 0.0255 0.0268 0.0377 0.0259 0.0254 0.0393 0.0317 0.0271 0.0185 0.0270 0.0105 0.0239 0.0140 0.0139 0.0153 0.0183 0.0144 0.0318 0.0370 0.0377 0.0793 0.0603 0.0582 0.0754 0.0901 0.0482 0.0735 0.0056 0.0472 0.0071 0.0692 0.0240 0.0104 0.0791 0.0421 0.0240 0.0456 0.0133 0.0242 0.0170 0.0039 0.0141 0.0080 0.0064 0.0097 0.0119 0.0090 0.0025 0.0497 0.0011 0.0024 0.0146 0.0057 0.0049 0.0072 0.0050 0.0048 0.1428 0.0123 0.0983 0.0292 0.1437 0.0613 0.0385 0.0402 0.0590 0.0387 0.0466 0.0199 0.0456 0.0200 0.1100 0.0479 0.0240 0.0331 0.0350 0.0290 0.0149 0.0271 0.0085 0.0076 0.0430 0.0101 0.0085 0.0079 0.0146 0.0101 0.0220 0.0230 0.0187 0.0123 0.0154 0.0294 0.0224 0.0182 0.0232 0.0203 0.0313 0.0244 0.0174 0.0125 0.0283 0.0238 0.0175 0.0259 0.0300 0.0213 0.0134 0.0324 0.0061 0.0100 0.0050 0.0116 0.0073 0.0117 0.0173 0.0133 0.0062 0.0311 0.0016 0.0024 0.0048 0.0036 0.0021 0.0038 0.0072 0.0053 0.0044 0.0340 0.0040 0.0022 0.0058 0.0029 0.0032 0.0036 0.0063 0.0043 0.0074 0.0491 0.0019 0.0063 0.0073 0.0221 0.0109 0.0105 0.0146 0.0125

相关系数矩阵:

std =

1.0000 -0.3444 0.8425 0.3603 0.7390 0.6215 0.4039 0.4967 0.6761 0.4689 -0.3444 1.0000 -0.4750 0.3096 -0.3539 0.1971 0.3571 0.2600 0.1570 0.3090 0.8425 -0.4750 1.0000 0.3358 0.5891 0.5056 0.3236 0.4456 0.5575 0.3742 0.3603 0.3096 0.3358 1.0000 0.1507 0.7664 0.9412 0.8480 0.7320 0.8614 0.7390 -0.3539 0.5891 0.1507 1.0000 0.4294 0.1971 0.3182 0.3893 0.2595 0.6215 0.1971 0.5056 0.7664 0.4294 1.0000 0.8316 0.8966 0.9302 0.9027 0.4039 0.3571 0.3236 0.9412 0.1971 0.8316 1.0000 0.9233 0.8376 0.9527 0.4967 0.2600 0.4456 0.8480 0.3182 0.8966 0.9233 1.0000 0.9201 0.9731 0.6761 0.1570 0.5575 0.7320 0.3893 0.9302 0.8376 0.9201 1.0000 0.9396 0.4689 0.3090 0.3742 0.8614 0.2595 0.9027 0.9527 0.9731 0.9396 1.0000

特征向量(vec)：

vec =

-0.1367 0.2282 -0.2628 0.1939 0.6371 -0.2163 0.3176 -0.1312 -0.4191 0.2758 -0.0329 -0.0217 0.0009 0.0446 -0.1447 -0.4437 0.4058 -0.5562 0.5487 0.0593

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-0.0522 -0.0280 0.2040 -0.0492 -0.5472 -0.4225 0.3440 0.3188 -0.4438 0.2401

0.0067 -0.4176 -0.2856 -0.2389 0.1926 -0.4915 -0.4189 0.2726 0.2065 0.3403 0.0404 0.1408 0.0896 0.0380 -0.1969 -0.0437 -0.4888 -0.6789 -0.4405 0.1861 -0.0343 0.2360 0.0640 -0.8294 0.0377 0.2662 0.1356 -0.1290 0.0278 0.3782 0.2981 0.4739 0.5685 0.2358 0.1465 -0.1502 -0.2631 0.1245 0.2152 0.3644 0.1567 0.3464 -0.6485 0.2489 -0.4043 0.2058 -0.0704 0.0462 0.1214 0.3812 0.4879 -0.5707 0.1217 0.1761 0.0987 0.3550 0.3280 -0.0139 0.0071 0.3832 -0.7894 -0.1628 0.1925 0.2510 -0.0422 0.2694 0.0396 0.0456 0.1668 0.3799

特征值(val)

val =

0.0039 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.0240 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.0307 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.0991 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.1232 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.2566 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.3207 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.5300 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2.3514 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 6.2602

特征根排序： 6.26022 2.35138 0.530047 0.320699 0.256639 0.123241 0.0990915 0.0307088 0.0240355 0.00393387

各主成分贡献率：

newrate =

0.6260 0.2351 0.0530 0.0321 0.0257 0.0123 0.0099 0.0031 0.0024 0.0004

第一、二主成分的载荷：

0.690 1 -0.6427

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0.148 3 0.8414

0.600 7 -0.6805 0.851 5 0.3167 0.465 6 -0.6754 0.946 3 0.0426 0.911 7 0.3299 0.953 7 0.1862 0.958 9 0.0109 0.950 6 0.2558

第一、二、三、四主成分的得分：

score =

0.718 5 0.049 9 0.768 4 2.0000 0.380 6 0.038 6 0.419 2 4.0000 0.184 8 -0.043 3 0.141 4 21.0000 0.118 6 0.031 1 0.149 7 20.0000 0.054 9 0.011 5 0.066 4 33.0000 0.228 8 0.007 0 0.235 8 7.000 0 0.2364 -0.0081 0.2283 10.0000 0.1778 -0.0167 0.1611 16.0000 0.2292 -0.0337 0.1955 14.0000 0.8382 0.1339 0.9721 1.0000 0.2276 0.0064 0.2340 8.0000 0.2279 -0.0222 0.2056 12.0000 0.1989 -0.0382 0.1607 18.0000 0.0789 -0.0061 0.0728 32.0000 0.1711 -0.0317 0.1394 23.0000 0.0926 0.0266 0.1192 25.0000 0.0900 -0.0000 0.0899 28.0000 0.1692 -0.0082 0.1610 17.0000 0.2441 -0.0318 0.2124 11.0000 0.1507 -0.0108 0.1399 22.0000 0.2316 0.0012 0.2328 9.0000 0.1294 -0.0211 0.1083 27.0000 0.4716 0.0328 0.5045 3.0000 0.2737 0.0834 0.3570 5.0000 0.0754 -0.0013 0.0741 31.0000 0.0448 0.0349 0.0797 30.0000 0.4759 -0.2028 0.2731 6.0000 0.2907 -0.0883 0.2024 13.0000 0.0944 -0.0118 0.0826 29.0000

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0.1546 0.0035 0.1581 19.0000

0.1718 -0.0092 0.1626 15.0000 0.0865 0.0230 0.1095 26.0000 0.0349 0.0216 0.0566 35.0000 0.0343 0.0228 0.0572 34.0000 0.0889 0.0422 0.1310 24.0000 祝大家haoyun

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