相似三角形应用题专项练习30题(有答案)

相似三角形应用题专项练习30题（有答案）

1．如图，某一时刻一根2米长的竹竿EF影长GE为1.2米，此时，小红测得一颗被风吹斜的柏树与地面成30°角，树顶端B在地面上的影子点D与B到垂直地面的落点C的距离是3.6米，则树长AB是多少米．

2．铁血红安》在中央一台热播后，吸引了众多游客前往影视基地游玩．某天小明站在地面上给站在城楼上的小亮照相时发现：他的眼睛、凉亭顶端、小亮头顶三点恰好在一条直线上（如图）．已知小明的眼睛离地面1.65米，凉亭顶端离地面2米，小明到凉亭的距离为2米，凉亭离城楼底部的距离为40米，小亮身高1.7米．请根据以上数据求出城楼的高度．

3．如图，△ABC是一张锐角三角形的硬纸片，AD是边BC上的高，BC=40cm，AD=30cm．从这张硬纸片上剪下一个长HG是宽HE的2倍的矩形EFGH，使它的一边EF在BC上，顶点G，H分别在AC，AB上，AD与HG的交点为M．

（1）试说明：；

（2）求这个矩形EFGH的宽HE的长．

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4．如图所示，某测量工作人员的眼睛A与标杆顶端F，电视塔顶端E在同一直线上，已知此人眼睛距地面1.6米，标杆为3.2米，且BC=1米，CD=19米，求电视塔的高ED．

5．如图，要测量某建筑物的高度AB，立两根高为2m的标杆BC和DE，两竿相距BD=38m，D、B、H三点共线，从BC退行3m，到达点F，从点F看点A，A、C、F三点共线，从DE退行5m到达点G，从点G看点A，A、E、G三点也共线，试算出建筑物的高度AB及HB的长度．

6．如图，路灯A离地8米，身高1.6米的小王（C D）的影长DB与身高一样，现在他沿OD方向走10米，到达E处．

（1）请画出小王在E处的影子EH；

（2）求EH的长．

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7．已知：如图，一人在距离树21米的点A处测量树高，将一长为2米的标杆BE在与人相距3米处垂直立于地面，此时，观察视线恰好经过标杆顶点E及树的顶点C，求此树的高．

8．如图，一电线杆AB的影子分别落在了地上和墙上．同一时刻，小明竖起1米高的直杆MN，量得其影长MF为0.5米，量得电线杆AB落在地上的影子BD长3米，落在墙上的影子CD的高为2米．你能利用小明测量的数据算出电线杆AB的高吗？

9．如图，大刚在晚上由灯柱A走向灯柱B，当他走到M点时，发觉他身后影子的顶部刚好接触到灯柱A的底部，当他向前再走12米到N点时，发觉他身前的影子刚好接触到灯柱B的底部，已知大刚的身高是1.6米，两根灯柱的高度都是9.6米，设AM=NB=x米．求：两根灯柱之间的距离．

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10．如图，小李晚上由路灯A下的B处走到C时，测得影子CD的长为2米，继续往前走3米到达E处时，测得影子EF的长为2米，已知小李的身高CM为1.5米，求路灯A的高度AB．

11．如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上．已知纸板的两条直角边DE=40cm，EF=20cm，测得边DF离地面的高度AC=1.5m，CD=10m，求树高AB．

12．为了测量被池塘隔开的A，B两点之间的距离．根据实际情况，作出如下图形，其中AB⊥BE，EF⊥BE，AF交BE于D，C在BD上，实际可测量①BC；②CD；③DE；④EF；⑤DB；⑥∠ACB；⑦∠ADB等数据．你会选择测量哪些数据？请说出你的方案，并列出求AB长的表达式．

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13．如图，要测量河宽，可在两岸找到相对的两点A、B，先从B出发与AB成90°方向向前走50米，到C处立一标杆，然后方向不变继续朝前走10米到D处，在D处转90°，沿DE方向走到E处，若A、C、E三点恰好在同一直线上，且DE=17米，你能根据题目提供的数据和图形求出河宽吗？

14．在一次测量旗杆高度的活动中，某小组使用的方案如下：AB表示某同学从眼睛到脚底的距离，CD表示一根标杆，EF表示旗杆，AB、CD、EF都垂直于地面，若AB=1.6m，CD=2m，人与标杆之间的距离BD=1m，标杆与旗杆之间的距离DF=30m，求旗杆EF的高度．

15．我们知道当人的视线与物体表面互相垂直时的视觉效果最佳．如图是小明站在距离墙壁1.60米处观察装饰画时的示意图，此时小明的眼睛与装饰画底部A处于同一水平线上，视线恰好落在装饰画中心位置E处，且与AD垂直．已知装饰画的高度AD为0.66米，

求：（1）装饰画与墙壁的夹角∠CAD的度数（精确到1°）；

（2）装饰画顶部到墙壁的距离DC（精确到0.01米）．

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16．如图，学校的围墙外有一旗杆AB，甲在操场上C处直立3m高的竹竿CD，乙从C处退到E处恰好看到竹竿顶端D，与旗杆顶端B重合，量得CE=3m，乙的眼睛到地面的距离FE=1.5m；丙在C1处也直立3m高的竹竿C1Dl，乙从E处退后6m到El处，恰好看到两根竹竿和旗杆重合，且竹竿顶端Dl与旅杆顶端B也重合，测得ClEl=4m．求旗杆AB的高．

17．如图，一个三角形钢筋框架三边长分别为20cm、50cm、60cm，要做一个与其相似的钢筋框架．现有长为30cm和50cm的两根钢筋，要求以其中一根为一边，从另一根上截下两段（允许有余料）作为另外两边，你认为有几种不同的截法？并分别求出．

18．某校初三年级数学兴趣小组的同学准备在课余时间测量校园内一棵树的高度．一天，在阳光下，一名同学测得一根长为l米的竹竿的影长为0.6米，同一时刻另一名同学测量树的高度时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分落在实验楼的第一级台阶上，此时测得落在地面上的影长为4.6米，落在台阶上的影

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长为0.2米，若一级台阶高为0.3米（如图），求树的高度？

19．如图，小明站在灯光下，投在地面上的身影AB=1.125m，蹲下来，则身影AC=0.5m，已知小明的身高AD=1.6m，蹲下时的高度等于站立高度的一半，求灯离地面的高度PH．

20．如图，阳光通过窗口照到室内，在地面上留下一段亮区．已知亮区一边到窗下的墙脚距离CE=3.6m，窗高AB=1.2m，窗口底边离地面的高度BC=1.5m，求亮区ED的长．

21．如图，△ABC是一块三角形余料，AB=AC=13cm，BC=10cm，现在要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在△ABC的边上，其余两个顶点分别在三角形另外两条边上．试求正方形的边长是多少？

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22．阳光通过窗口照射到室内，在地面上留下2.7m宽的亮区（如图所示），已知亮区到窗口下的墙脚距离EC=8.7m，窗口高AB=1.8m，求窗口底边离地面的高BC．

23．已知：CD为一幢3米高的温室，其南面窗户的底框G距地面1米，CD在地面上留下的最大影长CF为2米，现欲在距C点7米的正南方A点处建一幢12米高的楼房AB（设A，C，F在同一水平线上）．

（1）按比例较精确地作出高楼AB及它的最大影长AE；

（2）问若大楼AB建成后是否影响温室CD的采光，试说明理由．

24．一个钢筋三角架三边长分别是30厘米、75厘米、90厘米，现在再做一个与其相似的钢筋三角架，而只有长为45厘米和75厘米的两根钢筋，要求以其中一根为一边，从另一根上截下两段（允许有余料）作为两边，则不同的截法有多少种？写出你的设计方案，并说明理由．

25．有一块两直角边长分别为3cm和4cm的直角三角形铁皮，要利用它来裁剪一个正方形，有两种方法：一种是正方形的一边在直角三角形的斜边上，另两个顶点在两条直角边上，如图（1）；另一种是一组邻边在直角三角形的两直角边上，另一个顶点在斜边上，如图（2）．两种情形下正方形的面积哪个大？

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26．求证：一个人在两个高度相同的路灯之间行走，他前后的两个影子的长度之和是一个定值．

27．某居民小区有一朝向为正南的居民楼（如图），该居民楼的一楼是高为6米的小区超市，超市以上是居民住房．在该楼的前面15米处要盖一栋高20米的新楼．当冬季正午的阳光与水平线的夹角是30°时．

（1）超市以上的居民住房采光是否有影响，影响多高？

（2）若要使采光不受影响，两楼相距至少多少米？（结果保留根号）

28．如图，有一路灯杆AB（底部B不能直接到达），在灯光下，小明在点D处测得自己的影长DF=3m，沿BD方向到达点F处再测得自己得影长FG=4m，如果小明的身高为1.6m，求路灯杆AB的高度．

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29．如图，点D、E分别在AC、BC上，如果测得CD=20m，CE=40m，AD=100m，BE=20m，DE=45m，

（1）△ABC与△EDC相似吗？为什么？

（2）求A、B两地间的距离．

30．如图，是小亮晚上在广场散步的示意图，图中线段AB表示站立在广场上的小亮，线段PO表示直立在广场上的灯杆，点P表示照明灯的位置．

（1）在小亮由B处沿BO所在的方向行走到达O处的过程中，他在地面上的影子长度的变化情况为 ；

（2）请你在图中画出小亮站在AB处的影子；

（3）当小亮离开灯杆的距离OB=4.2m时，身高（AB）为1.6m的小亮的影长为1.6m，问当小亮离开灯杆的距离OD=6m时，小亮的影长是多少m？

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相似三角形性质和判定专项练习30题参考答案：

1．解：如图，CD=3.6m，

∵△BDC∽△FGE，

∴=，即=，

∴BC=6，

在Rt△ABC中，∵∠A=30°，

∴AB=2BC=12，

即树长AB是12米．

2．解：过点A作AM⊥EF于点M，交CD于点N，

由题意可得：AN=2m，CN=2﹣1.65=0.35（m），MN=40m，

∵CN∥EM，

∴△ACN∽△AEM，

∴=，

.

.

∴=，

解得：EM=7.35，

∵AB=MF=1.65m，

故城楼的高度为：7.35+1.65﹣1.7=7.3（米），

答：城楼的高度为7.3m．

3．（1）证明：∵四边形EFGH为矩形，

∴EF∥GH，

∴∠AHG=∠ABC，

又∵∠HAG=∠BAC，

∴△AHG∽△ABC，

∴；

（2）解：设HE=xcm，MD=HE=xcm，

.

.

∵AD=30cm，

∴AM=（30﹣x）cm，

∵HG=2HE，

∴HG=（2x）cm，

由（1）可得，

解得，x=12，

∴宽HE的长为12cm．

4．解：过A点作AH⊥ED，交FC于G，交ED于H．

由题意可得：△AFG∽△AEH，

∴即，

解得：EH=9.6米．

∴ED=9.6+1.6=11.2米．

.

.

5．解：设BH=x，AH=y，根据题意可得：

BC∥AH，DE∥AH，

则△FCB∽△FAH，△EDG∽△AHG，

故=，=，

即=，=，

则=，

解得：x=57，

故=，

解得：y=40，

答：建筑物的高度AB为40m及HB的长度为57m．

6．解：（1）如图：

.

.

（2分）．

（2）由=（3分）

∴OB=8米（4分），

∴OE=16.4米．

由=（5分）

即=．（7分）

∴EH=4.1米．（8分）

7．解：∵CD⊥AB，EB⊥AD，

∴EB∥CD，

∴△ABE∽△ADC，

∴，

．∵EB=2，AB=3，AD=21，

.

.

∴，

∴CD=14．

答：此树高为14米．

8．解：过C点作CG⊥AB于点G，

∴GC=BD=3米，GB=CD=2米．

∵∠NMF=∠AGC=90°，NF∥AC，

∴∠NFM=∠ACG，

∴△NMF∽△AGC，

∴，

∴AG===6，

∴AB=AG+GB=6+2=8（米），故电线杆子的高为8米．

.

.

9．解：由对称性可知AM=BN，设AM=NB=x米，

∵MF∥BC，

∴△AMF∽△ABC

∴=，

∴=

∴x=3

经检验x=3是原方程的根，并且符合题意．

∴AB=2x+12=2×3+12=18（m）．

答：两个路灯之间的距离为18米．

10．解：∵小李的身高：小李的影长=路灯的高度：路灯的影长，

当小李在CG处时，Rt△DCG∽Rt△DBA，即CD：BD=CG：AB，

当小李在EH处时，Rt△FEH∽Rt△FBA，即EF：BF=EH：AB=CG：AB，

∴CD：BD=EF：BF，

.

.

∵CG=EH=1.5米，CD=1米，CE=3米，EF=2米，

设AB=x，BC=y，

∴，

解得：y=3，经检验y=3是原方程的根．

∵CD：BD=CG：AB，即=，

解得x=6米．

即路灯A的高度AB=6米．

11．解：∵∠DEF=∠BCD=90°∠D=∠D

∴△DEF∽△DCB

∴=

∵DE=40cm=0.4m，EF=20cm=0.2m，AC=1.5m，CD=10m，

∴=

∴BC=5米，

.

.

∴AB=AC+BC=1.5+5=6.5米

∴树高为6.5米．

12．解：选择①⑥，可由公式AB=BC×tan∠ACB求出A、B两点间的距离；

选择③④⑤可以证得△DEF∽△DBA，则=，可求得AB的长为．

13．解：∵先从B处出发与AB成90°角方向，

∴∠ABC=90°，

∵BC=50m，CD=10m，∠EDC=90°，

∴△ABC∽△EDC，

∴AB=5DE，

∵沿DE方向再走17米，到达E处，即DE=17，

∴AB=5×17=85．

∴河宽为85米

14．解：过点A作AH⊥EF于H点，AH交CD于G，

∵CD∥EF，

.

.

∴△ACG∽△AEH，

∴，

即：，

∴EH=12.4．

∴EF=EH+HF=12.4+1.6=14，

∴旗杆的高度为14米．

15．解：（1）∵AD=0.66，

∴AE=AD=0.33，

在Rt△ABE中，（1分）

∵sin∠ABE==，

∴∠ABE≈12°，（4分）

.

.

∵∠CAD+∠DAB=90°，∠ABE+∠DAB=90°，

∴∠CAD=∠ABE=12°．

∴镜框与墙壁的夹角∠CAD的度数约为12°．（5分）

（2）解法一：

在Rt△ACD中，

∵sin∠CAD=，

∴CD=AD•sin∠CAD=0.66×sin12°≈0.14，（7分）

解法二：

∵∠CAD=∠ABE，

∠ACD=∠AEB=90°，

∴△ACD∽△BEA，（6分）

∴，

∴，

.

.

∴CD≈0.14．（7分）

∴镜框顶部到墙壁的距离CD约是0.14米．（8分）

16．解：设BO=x，GO=y．

∵GD∥OB，

∴△DGF∽△BOF，

∴1.5：x=3：（3+y）

同理1.5：x=4：（y+6+3）

解上面2个方程得

，

经检验x=9，y=15均是原方程的解，

∴旗杆AB的高为9+15=24（米）．

17．解：有两种不同的截法：

（1）如图（一），以30cm长的钢筋为最长边，设中边为x，短边长为y，

.

.

则有，①，

解得x=25，

②，

解得y=10，

所以从50cm长的钢筋上分别截取10cm、25cm的两段；（6分）

（2）如图（二），以30cm长的钢筋为中边，

设长边为x，短边长为y，

①，

解得x=36，

②，

解得y=12．

所以从50cm长的钢筋上分别截取12cm、36cm的两段．（12分）

（3）若以30cm长的钢筋为短边，

.

.

设长边为x，中边长为y，

，

解得：x=90（不合题意，舍去）

18．解：如图，设树的高度为AB，BD为落在地面的影长，CE为落在台阶上的影长，CD为台阶高

延长EC交AB于F，则四边形BDCF是矩形，

从而FC=BD=4.6，BF=CD=0.3，

所以EF=4.6+0.2=4.8，

则，

解得AF=8，AB=AF+FB=8.3（米）．

所以树的高度AB为8.3米．

.

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19．解：因为AD∥PH，

∴△ADB∽△HPB；△AMC∽△HPC

∴AB：HB=AD：PH，AC：AM=HC：PH，

即1.125：（1.125+AH）=1.6：PH，

0.5：0.8=（0.5+HA）：PH，

解得：PH=8m．

即路灯的高度为8米

20．解：根据题意，易得△DCB∽△ACE，

∴CD：CE=BC：CA，

又因为AB=1.2米，CE=3.6米，BC=1.5米，

所以（3.6﹣ED）：3.6=1.5：（1.2+1.5）．

解得ED=1.6米．

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21．解：∵△ABC中，AB=AC=13cm，BC=10cm，

∴AD=12，

∵四边形DEFG是正方形，

∴ED∥BC，DE=GF，（1分）

∴△AED∽△ACB，（1分）

又∵AN⊥BC，

∴AN⊥DE，DG=ED=EF，（1分）

∴，（2分）

设DE=x，则AM=12﹣x，

∴，（1分）

解得：x=．

答：这个正方形的边长为厘米．（1分）

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22．解：∵AE∥BD，

∴△ECA∽△DCB，

∴．

∵EC=8.7m，ED=2.7m，

∴CD=6m．

∵AB=1.8m，

∴AC=BC+1.8m，

∴，

∴BC=4，即窗口底边离地面的高为4m

23．解：如图，∵HE∥DF，HC∥AB，

∴△CDF∽△ABE∽△CHE，

.

.

∴AE：AB=CF：DC，

∴AE=8米，由AC=7米，可得CE=1米，

由比例可知：CH=1.5米＞1米，

故影响采光．

24．解：设截成的两边的长分别为xcm、ycm，

①45cm与30cm是对应边时，

新做三角架的两边之和一定大于75cm，不符合；

②45cm与75cm是对应边时，

∵两三角架相似，

∴==，

解得x=18，y=54，

.

.

∵18+54=72cm＜75cm，

∴从75cm长的钢筋截取18cm和54cm两根；

③45cm与90cm是对应边时，

∵两三角架相似，

∴==，

解得x=15，y=37.5，

∵15+37.5=52.5cm＜75cm，

∴从75cm长的钢筋截取15cm和37.5cm两根；

综上所述，共有两种截法：方法一：从75cm长的钢筋截取18cm和54cm两根，

方法二：从75cm长的钢筋截取15cm和37.5cm两根．

25．解：（1）因为△ABC为直角三角形，边长分别为3cm和4cm，则AB==5．

作AB边上的高CH，交DG于点Q．

于是=，

.

.

故CH=cm．

易得：△DCG∽△ACB，

故：=．

设正方形DEFG的边长为xcm，

得：=，

解得：x=．

（2）令AC=3cm，设正方形边长为ycm．

易得：△ADE∽△ACB，

于是：=，

=，

解得：y=．

∵＜，

.

.

∴第二种情形下正方形的面积大．

26．解：如图所示，CD、EF为路灯高度，AB为该人高度，BM、∵AB∥CD，

∴=，

∴=，

即 MB=．

同理BN=．

∴MB+BN==常数（定值）．

27．解：（1）如图1所示：

.

为该人前后的两个影子．BN

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过F点作FE⊥AB于点E，

∵EF=15米，∠AFE=30°，

∴AE=5米，

∴EB=FC=（20﹣5）米．

∵20﹣5＞6，

∴超市以上的居民住房采光要受影响；

（2）如图2所示：若要使超市采光不受影响，则太阳光从A直射到C处．

∵AB=20米，∠ACB=30°

∴BC===20米

答：若要使超市采光不受影响，两楼最少应相距20米．

28．解：∵CD∥EF∥AB，

.

.

∴可以得到△CDF∽△ABF，△ABG∽△EFG，

∴，，

又∵CD=EF，

∴，

∵DF=3，FG=4，BF=BD+DF=BD+3，BG=BD+DF+FG=BD+7，

∴，

∴BD=9，BF=9+3=12，

∴，

解得，AB=6.4m．

29．解：（1）∵CD=20m，CE=40m，AD=100m，BE=20m，DE=45m，

∴AC=AD+CD=100+20=120m，BC=BE+CE=20+40=60m，

∵==，==，∠C=∠C，

∴△CDE∽△CBA；

.

.

（2）∵△CDE∽△CBA，

∴=，即=，

解得AB=135m．

30．解：（1）因为光是沿直线传播的，所以当小亮由B处沿BO所在的方向行走到达O处的过程中，他在地面上的影子长度的变化情况为变短；

（2）如图所示，BE即为所求；

（3）先设OP=x，则当OB=4.2米时，BE=1.6米，

∴=，即=，

∴x=5.8米；

当OD=6米时，设小亮的影长是y米，

∴=，

∴=，

∴y=（米）．

.

.

即小亮的影长是米．

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