圆周角的概念和圆周角定理

一、内容和内容解析 1.内容

圆周角概念，圆周角定理及其推论. 2.内容解析

与圆心角一样，圆周角也是研究圆时重点研究的一类角.顶点在圆上并且两边都与圆相交的角叫做圆周角.圆周角定理（即一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半）揭示了一条弧所对的圆周角与圆心角之间的数量关系.从而把圆周角与相对应的弧、弦联系起来.圆周角定理及其推论为与圆有关的角的计算，证明角相等，弧、弦相等等数学问题提供了十分便捷的方法和思路，即是圆心角、弦、弧之间关系的继续，又是后续研究圆与其他平面图形的桥梁和纽带.

圆周角定理得证明，采用完全归纳法，通过分类讨论，把一般问题转化为特殊情况来证明，渗透了分类讨论和化一般为特殊的化归思想.

基于以上分析，确定本节课的教学重点是：圆周角定理. 二、目标和目标解析 1.目标

（1）了解圆周角的概念，会证明圆周角定理及其推论.

（2）结合圆周角定理的探索与证明的过程，进一步体会分类讨论、化归的思想方法.

2.目标解析

达成目标（1）的标志是：能在具体的图形中正确识别一条弧所对的圆周角；知道一条弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半，知道同弧或等弧所对的圆周角相等，能够正确识别直径所对的圆周角，并会结合具体问题构造直径所对的圆周角；能够应用定理和推论解决简单问题.

达成目标（2）的标志是：能通过画图、观察、度量、归纳等方式发现一条弧所对圆周角与圆心角之间的关系；能根据圆心与圆周角的位置关系对同弧所对的圆周角进行分类，理解证明圆周角定理需要分三种情况的必要性；理解证明圆周角定理时，可以把圆心在圆周角的内部和外部两种情况转化成特殊情况，从而证明定理.

三、教学问题诊断分析

圆心与圆周角具有三种不同的位置关系：圆心在圆周角的一边上， 圆心在圆周角的内部，圆心在圆周角的外部.所以，圆周角定理的证明要采用完全归纳法,分情况证明.学习本节课内容时，学生已经具备一定的逻辑推理能力，但对于一个几何命题要分情况证明

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的经验还很缺乏.因此，教学的关键是:①在学生明确圆周角的概念后，让学生动手画圆周角，一方面让学生深入了解圆周角，另一方面，让学生在动手操作中体会圆心与圆周角具有三种不同的位置关系,为后面证明中的分类讨论做好铺垫.②学生合作交流，通过度量事先画的一条弧所对的圆周角与圆心角的度数，探究并猜想他们之间的数量关系，然后教师在利用计算机软件来验证，让学生进一步明确他们之间的关系，从而得到命题：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.③从特殊的位置关系——圆心在圆周角一边上的情形入手，先证明猜想，再将其他两种情形转化为圆心在圆周角一边上的情形.

基于以上分析，本节课的教学难点是：分情况证明圆周角定理. 四、教学过程设计 1.了解圆周角的概念

问题1 如图1，∠ACB的顶点和边有哪些特点？ 师生活动：学生观察图形，教师引导学生结合图形认识到：∠ACB的顶点在ΘO上，角的两边分别交ΘO于点A,B两点.教师进而指出：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角.圆周角与圆心角都是圆有关的角.

设计意图：结合图形，获得圆周角定义，理解圆周角的概念.

练习 教科书第88页练习第一题. 师生活动：学生思考并回答问题.

设计意图：同时呈现有关圆周角的正例和反例，有利于学生对圆周角概念的本质属性与非本质属性进行比较，巩固对概念的理解.

2.探索圆周角定理

问题2 在图2中，∠ACB是圆周角，作出弧AB所对的圆心角∠AOB.分别测量∠ACB和∠AOB的度数.他们之间有什么关系？

师生活动：学生画图，连接OA,OB得到圆心角∠AOB.跳时指出∠ACB和∠AOB都对着弧AB提出以下问题.

教师追问1：图2中，∠ACB和∠AOB有怎样的关系？

师生活动：学生通过观察，度量，猜想ACB1AOB.即一条弧2所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.

教师追问2：在ΘO上任取一条弧，做出这条弧所对的圆周角和圆心角，测量它们的度数，你能得出同样的结论吗？

师生活动：除学生动手画图度量，并验证猜想外，教师也可以利

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用《几何画板》软件的动态功能和度量功能进行演示，从更广泛的角度验证猜想：①拖动圆周角的顶点在优弧AB上运动；②改变弧的大小；③改变圆的大小后分别进行①和②的掩演示.引导学生发现，在演示过程中，∠ACB和∠AOB度数的比值保持不变.

设计意图：引导学生经历观察猜想、操作、分析、验证、交流等基本数学活动，探索圆周角的性质：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.

教师使用《几何画板》做进一步演示与验证，在动态环境中研究圆周角与圆心角的关系，即在某些量变化的过程中让学生观察不变的数量关系，帮助学生更好地理解一条弧所对的圆周角与圆心角的数量关系.

3.证明圆周角定理

问题3 如何证明一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半？

教师追问1：在圆上任取弧BC，画出圆心角∠BAC和圆周角∠BOC,圆心与圆周角有几种位置关系？

师生活动：学生动手画图、交流、思考，得到圆心与圆周角的三种位置关系（图3）：①圆心在圆周角的一边上；②圆心在圆周角的内部；③圆心在圆周角的外部.

设计意图：把直观操作与逻辑推理有机结合，使得推理论证成为学生观察、实验、探究得出结论的自然延续.同时进一步明确证明的必要性和证明的方法.

教师追问2：第①种情况下，如何证明一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半？

师生活动：学生结合三种位置的图形，认识到第①种情况属于特殊情况，另外两种情况比第①种情况复杂.研究数学问题一般从特殊情况开始，再考虑其他情况能否转化成特殊情况.师生结合图3（1），分析第①种情况，得到

OAOCAC1ABOC 2BOCAC3

教师指出：符号表示由条件A推出B，可以用方式“AB”“”给出推理过程.

设计意图：从特殊情况入手，证明猜想G便于学生的学习又为其他两种情况的证明提供了转化的方向.

教师追问3: 在第②③种情况下，如何证明一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半？

师生活动：学生思考，尝试解决.如果学生有困难，教师可提示学生：将第②③种情况转化成第①种情况.根据学生的情况，师生共同研究完成第②种情况的证明.

证明：如图4，连接AO并延长交ΘO于点D.

OAOBBADB1BADBOD. 2BODBADB1同理,CADCOD.

2111BACBADCADBODCODBOC.

222学生独立完成第③种情况的证明.从而得到定理：

一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.

设计意图：将一般情况化为特殊情况，体现了化归的数学思想.学生通过证明三种情况，感受分类证明的必要性，有利于逻辑推理能力的提升.

4.探究特殊情况，获得推论 问题4 我们知道，一条弧，可以对着不同的圆周角，这些圆周角之间有什么关系？也就是说，同弧或等弧所对的圆周角之间有什么关系？

师生活动：学生画出弧BC所对的几个圆周角和圆心角（图5），先观察、猜想，根据定理得到结论：一条弧所对的圆周角相等.再思考同弧或等弧的情况.如

果学生遇到困难，教师可根据情况提示学生：考虑圆周角与圆心角之间的关系、弧与圆心角之间的关系，通过弧相等得到结论.

设计意图：让学生经历观察、猜想、证明得出推论的探索过程，得到圆周角定理的推论，进一步认识与圆有关的角和弧之间的关系.

问题5 半圆或直径所对的圆周角有什么特殊性？ 师生活动：学生画出弧AB所对的几个圆周角和圆心角（图6），通过观察、猜想，根据定理得到结论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角.教师进一步引导学生得出：90°的圆周角所对的弦是直径.

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设计意图：由一般到特殊进一步认识定理，加深对定理的理解，获得推论.

5.应用圆周角定理与推论

例 如图7，ΘO的直径AB的长为10cm.弦AC长为6cm，∠ACB的平分线交ΘO于点D, 求BC,AD,BD的长.

师生活动：师生共同分析已知条件、所求和解题思路.如图8，欲求BC的长，由BC所在的△ABC中AB为ΘO的直径，可知∠ACB=90°.又AB和AC已知，在Rt△ABC中，由勾股定理可求BC的长.由CD平分∠ACB得∠ACD=∠BCD，连接OD，可得∠AOD=∠BOD=90°,进而由勾股定理可求AD,BD的长.

学生解答，一名学生板书，教师组织学生交流. 设计意图： 应用圆周角定理及其推论解决问题，巩固所学的内容.

6.小结

教师与学生一起回顾本节课的主要内容，并请学生回答以下问题：

（1）本节课学习了哪些主要内容？

（2）我们是如何证明圆周角定理的？在证明过程中用到了哪些思想方法？

设计意图：通过小结使学生归纳梳理总结本节的知识、技能、方法，将本节课所学的知识与以前所学的知识进行紧密联系，有利于学生认知数学思想、教学方法，积累数学活动的经验.

7.布置作业

教科书第88页练习题第2，3，4题.

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