2016-2017学年福建省莆田一中高二（下）期中数学试卷（理科）
一、选择题
1．若复数z满足i（z﹣1）=1+i（i虚数单位），则z=（ ） A．2﹣i B．2+i C．1﹣2i
D．1+2i
2．某公司10位员工的月工资（单位：元）为x1，x2，…，x10，其均值和方差分别为和s2，若从下月起每位员工的月工资增加100元，则这10位员工下月工资的均值和方差分别为（ ） A．，s2+1002 B． +100，s2+1002 C．，s2
D． +100，s2
3．对同一目标进行两次射击，第一、二次射击命中目标的概率分别为0.5和0.7，则两次射击中至少有一次命中目标的概率是（ ） A．0.35 B．0.42 C．0.85 D．0.15
4．3）已知双曲线过点（2，，渐进线方程为y=±A．
B．
x，则双曲线的标准方程是（ ）
C． D．
5．篮子里装有2个红球，3个白球和4个黑球．某人从篮子中随机取出两个球，记事件A=“取出的两个球颜色不同”，事件B=“取出一个红球，一个白球”，则P（B|A）=（ ） A． B．
C． D．
6．我校在模块考试中约有1000人参加考试，其数学考试成绩ξ～N（90，a3）（a＞0），统计结果显示数学考试成绩在70分到110分之间的人数约为总人数的，则此次数学考试成绩不低于110分的学生人数约为（ ） A．600 B．400 C．300 D．200
7．春天来了，某学校组织学生外出踏青.4位男生和3位女生站成一排合影留念，
3位女生不全站在一起，男生甲和乙要求站在一起，则不同的站法种数是（ ）
A．964 B．1080 C．1152 D．1296
8．下面给出了四个类比推理：
（1）由“若a，b，c∈R则（ab）c=a（bc）”类比推出“若a，b，c为三个向量则（•）•=•（•）”；
（2）“a，b为实数，若a2+b2=0则a=b=0”类比推出“z1，z2为复数，若
”；
（3）“在平面内，三角形的两边之和大于第三边”类比推出“在空间中，四面体的任意三个面的面积之和大于第四个面的面积”；
（4）“在平面内，过不在同一条直线上的三个点有且只有一个圆”类比推出“在空间中，过不在同一个平面上的四个点有且只有一个球”． 上述四个推理中，结论正确的个数有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．已知已知f（x）是奇函数，且f（2﹣x）=f（x），当x∈[2，3]时，f（x）=log2（x﹣1），则f（）=（ ）
A．log27﹣log23 B．log23﹣log27 C．log23﹣2 D．2﹣log23 10．函数y=
在[﹣2，2]的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
11．已知F是椭圆+=1（a＞b＞0）的左焦点，A为右顶点，P是椭圆上一
点，且PF⊥x轴，若|PF|=|AF|，则该椭圆的离心率是（ ） A． B． C． D．
12．定义在R上的函数f（x）使不等式是f（x）的导数，则（ ） A．C．
二、填空题
恒成立，其中f'（x）
B．f（2）＞2f（0）＞4f（﹣2） D．f（2）＜2f（0）＜4f（﹣2）
13．将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，则不同的分法的总数是 ．（用数字作答）
14．若（1﹣ax）（1+2x）4的展开式中x2项的系数为4，则
= ．
15．过抛物线C：y2=4x的焦点F作直线l将抛物线C于A、B，若|AF|=4|BF|，则直线l的斜率是 ．
16．函数f（x）的定义域为实数集R，f（x）=对于任意的
x∈R都有f（x+2）=f（x﹣2）．若在区间[﹣5，3]上函数g（x）=f（x）﹣mx+m恰有三个不同的零点，则实数m的取值范围是 ．
三、解答题 17．已知函数
（a，b∈R），f′（0）=f′（2）=1．
（1）求曲线y=f（x）在点（3，f（3））处的切线方程；
（2）若函数g（x）=f（x）﹣4x，x∈[﹣3，2]，求g（x）的单调区间和最小值．
18．共享单车是指由企业在校园、公交站点、商业区、公共服务区等场所提供的自行车单车共享服务，由于其依托“互联网+”，符合“低碳出行”的理念，已越来越多地引起了人们的关注．某部门为了对该城市共享单车加强监管，随机选取了100人就该城市共享单车的推行情况进行问卷调查，并将问卷中的这100人根据其满意度评分值（百分制）按照 分成5组，制成如图所示频率分直方图． （1）求图中x的值；
（2）已知满意度评分值在内的男生数与女生数的比为2：1，若在满意度评分值为的人中随机抽取4人进行座谈，设其中的女生人数为随机变量X，求X的分布列和数学期望．
19．班主任为了对本班学生的考试成绩进行分析，决定从全班25名男同学，15名女同学中随机抽取一个容量为8的样本进行分析．
（1）如果按性别比例分层抽样，可以得到多少个不同的样本？（只要求写出计算式即可，不 必计算出结果）
（2）随机抽取8位，他们的数学分数从小到大排序是：60，65，70，75，80，85，90，95，物理分数从
小到大排序是：72，77，80，84，88，90，93，95．
①若规定85分以上（包括85分）为优秀，求这8位同学中恰有3位同学的数学和物理分数均 为优秀的概率；
②若这8位同学的数学、物理分数事实上对应如表： 学生编号 数学分数x 物理分数y 根据上表数据，由变量y与x的相关系数可知物理成绩y与数学成绩x之间具有较强的线性相关关系，现求y与x的线性回归方程（系数精确到0.01）． 参考公式：回归直线的方程是：
=bx+a，其中对应的回归估计值
72 77 80 84 88 90 93 95 1 60 2 65 3 70 4 75 5 80 6 85 7 90 8 95
b=，
参考数据：20．已知两点
，，≈1050， ≈688，．
，动点P在y轴上的投影是Q，且
．
（Ⅰ）求动点P的轨迹C的方程；
（Ⅱ）过F（1，0）作互相垂直的两条直线交轨迹C于点G，H，M，N，且E1，E2分别是GH，MN的中点．求证：直线E1E2恒过定点． 21．函数
，
．
（Ⅰ）讨论f（x）的极值点的个数；
（Ⅱ）若对于任意x∈（0，+∞），总有f（x）≤g（x）成立，求实数a的取值范围．
[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ=4sinθ，直线l的参数方程为
（t为参数），直线l和
圆C交于A、B两点． （1）求圆心的极坐标；
（2）直线l与x轴的交点为P，求|PA|+|PB|．
2016-2017学年福建省莆田一中高二（下）期中数学试卷
（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题
1．若复数z满足i（z﹣1）=1+i（i虚数单位），则z=（ ） A．2﹣i B．2+i C．1﹣2i
D．1+2i
【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．
【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案． 【解答】解：由i（z﹣1）=1+i，得z﹣1=∴z=2﹣i． 故选：A．
2．某公司10位员工的月工资（单位：元）为x1，x2，…，x10，其均值和方差分别为和s2，若从下月起每位员工的月工资增加100元，则这10位员工下月工资的均值和方差分别为（ ） A．，s2+1002 B． +100，s2+1002 C．，s2
D． +100，s2
，
【考点】BC：极差、方差与标准差；BB：众数、中位数、平均数．
【分析】根据变量之间均值和方差的关系和定义，直接代入即可得到结论． 【解答】解：由题意知yi=xi+100， 则=
（x1+x2+…+x10+100×10）=
（x1+x2+…+x10）=+100，
方差s2=
2
22
[（x1+100﹣（+100）+（x2+100﹣（+100）+…+（x10+100﹣（+100）
]=
[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（x10﹣）2]=s2．
故选：D．
3．对同一目标进行两次射击，第一、二次射击命中目标的概率分别为0.5和0.7，则两次射击中至少有一次命中目标的概率是（ ） A．0.35 B．0.42 C．0.85 D．0.15
【考点】C9：相互独立事件的概率乘法公式．
【分析】先求得两次射击中都没有命中目标的概率是 （1﹣0.5）（1﹣0.7），再用1减去此概率，即得所求．
【解答】解：两次射击中都没有命中目标的概率是 （1﹣0.5）（1﹣0.7）=0.15，
故两次射击中至少有一次命中目标的概率是1﹣0.15=0.85， 故选C．
4．3）已知双曲线过点（2，，渐进线方程为y=±A．
B．
x，则双曲线的标准方程是（ ）
C． D．
【考点】KC：双曲线的简单性质．
【分析】根据题意，由双曲线的渐近线方程可以设其方程为3）代入其中可得
﹣x2=λ，将点（2，
﹣22=λ，解可得λ的值，变形即可得答案．
x，
【解答】解：根据题意，双曲线的渐进线方程为y=±则可以设其方程为
﹣x2=λ，（λ≠0）
﹣22=λ，
又由其过点（2，3），则有解可得：λ=﹣1，
则双曲线的标准方程为：x2﹣故选：C．
=1；
5．篮子里装有2个红球，3个白球和4个黑球．某人从篮子中随机取出两个球，
记事件A=“取出的两个球颜色不同”，事件B=“取出一个红球，一个白球”，则P（B|A）=（ ） A． B．
C． D．
【考点】CM：条件概率与独立事件．
【分析】利用组合数公式与古典概型公式，分别算出事件A发生的概率P（A）和事件A、B同时发生的概率P（AB），再利用条件概率公式加以计算，即可得到P（B|A）的值．
【解答】解：事件A=“取出的两个球颜色不同”，事件B=“取出一个红球，一个白球”，
∵篮子里装有2个红球，3个白球和4个黑球， ∴取出的两个球颜色不同的概率为P（A）=
=
．
=又∵取出不两个球的颜色不同，且一个红球、一个白球的概率为P（AB）=，
∴P（B|A）===．
故选：B
6．我校在模块考试中约有1000人参加考试，其数学考试成绩ξ～N（90，a3）（a＞0），统计结果显示数学考试成绩在70分到110分之间的人数约为总人数的，则此次数学考试成绩不低于110分的学生人数约为（ ） A．600 B．400 C．300 D．200
【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．
【分析】由已恬得考试成绩在70分到110分之间的人数为600，落在90分到110分之间的人数为300人，由此能求出数学考试成绩不低于110分的学生人数． 【解答】解：∵我校在模块考试中约有1000人参加考试，其数学考试成绩ξ～N（90，a3）（a＞0），
统计结果显示数学考试成绩在70分到110分之间的人数约为总人数的， ∴考试成绩在70分到110分之间的人数为1000×=600， 则落在90分到110分之间的人数为300人，
故数学考试成绩不低于110分的学生人数约为500﹣300=200． 故选：D．
7．春天来了，某学校组织学生外出踏青.4位男生和3位女生站成一排合影留念，
3位女生不全站在一起，男生甲和乙要求站在一起，则不同的站法种数是（ ）
A．964 B．1080 C．1152 D．1296
【考点】D8：排列、组合的实际应用．
【分析】根据题意，先用捆绑法分析“甲和乙站在一起”的情况数目，再其中求出“甲和乙站在一起且女生全站在一起”的情况数目，用“甲和乙站在一起”的情况数目减去“甲和乙站在一起且女生全站在一起”的情况数目即可得答案．
【解答】解：根据题意，男生甲和乙要求站在一起，将2人看成一个整体，考虑2人的顺序，有A22种情况，
将这个整体与其余5人全排列，有A66种情况， 则甲和乙站在一起共有A22A66=1440种站法，
其中男生甲和乙要求站在一起且女生全站在一起有A22A33A44=288种； 则符合题意的站法共有1440﹣288=1152种； 故选：C．
8．下面给出了四个类比推理：
（1）由“若a，b，c∈R则（ab）c=a（bc）”类比推出“若a，b，c为三个向量则（•）•=•（•）”；
（2）“a，b为实数，若a2+b2=0则a=b=0”类比推出“z1，z2为复数，若
”；
（3）“在平面内，三角形的两边之和大于第三边”类比推出“在空间中，四面体的任意三个面的面积之和大于第四个面的面积”；
（4）“在平面内，过不在同一条直线上的三个点有且只有一个圆”类比推出“在空间中，过不在同一个平面上的四个点有且只有一个球”． 上述四个推理中，结论正确的个数有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【考点】F3：类比推理．
【分析】逐个验证：（1）向量要考虑方向．
（2）数集有些性质以传递的，但有些性质不能传递，因此，要判断类比的结果是否正确，关键是要在新的数集里进行论证，当然要想证明一个结论是错误的，也可直接举一个反例，
（3，4）由平面图形中线的性质类比推理出空间中面的性质，由圆的性质类比推理到球的性质．
【解答】（1）由向量的运算可知运算可知
为与向量共线的向量，而由向量的
与向量共线的向量，方向不同，故错误．
（2）在复数集C中，若z1，z2∈C，z12+z22=0，则可能z1=1且z2=i．故错误； （3）平面中的三角形与空间中的三棱锥是类比对象；故正确．
（4）由圆的性质类比推理到球的性质由已知“平面内不共线的3个点确定一个圆”，我们可类比推理出空间不共面4个点确定一个球，故正确 故选：B．
9．已知已知f（x）是奇函数，且f（2﹣x）=f（x），当x∈[2，3]时，f（x）=log2（x﹣1），则f（）=（ ）
A．log27﹣log23 B．log23﹣log27 C．log23﹣2 D．2﹣log23
【考点】3Q：函数的周期性；3L：函数奇偶性的性质；3O：函数的图象． 【分析】由f（x）是奇函数，且f（2﹣x）=f（x），可知f（4+x）=f（x），于是f（）=f（4）=﹣f（2）=log23﹣2，从而可得答案． 【解答】解：∵f（x）是奇函数，且f（2﹣x）=f（x）， ∴f（2+x）=f（﹣x）=﹣f（x），
∴f（4+x）=f（x），即f（x）是以4为周期的函数；
∴f（）=f（4）； 又f（2﹣x）=f（x），
∴f（﹣2）=f（4）=f（）；
又当x∈[2，3]时，f（x）=log2（x﹣1），f（x）是奇函数， ∴f（﹣2）=﹣f（2）=log23﹣2， ∴f（）=log23﹣2． 故选C．
10．函数y=
在[﹣2，2]的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【考点】3O：函数的图象． 【分析】根据当x=2时，y=函数在（0，
＞0，故排除A、D．当x＞0时，利用导数求得
，+∞）上单调递减，从而得出结论．
＞0，故排除A、D；
，
）上单调递增，在（
【解答】解：对于函数y=当x＞0时，由于y′=在（0，调递减， 故排除C， 故选：B．
，故当x=2时，y==
，令y′=0，求得x=
）上，y′＞0，函数y单调递增；在（，+∞）上，y′＜0，函数y单
11．已知F是椭圆
+
=1（a＞b＞0）的左焦点，A为右顶点，P是椭圆上一
点，且PF⊥x轴，若|PF|=|AF|，则该椭圆的离心率是（ ） A． B． C． D．
【考点】K4：椭圆的简单性质．
【分析】令x=﹣c，代入椭圆方程，解得|PF|，再由|AF|=a+c，列出方程，再由离心率公式，即可得到． 【解答】解：由于PF⊥x轴， 则令x=﹣c，代入椭圆方程，解得， y2=b2（1﹣y=
，
）=
，
又|PF|=|AF|， 即
=（a+c），
即有4（a2﹣c2）=a2+ac， 即有（3a﹣4c）（a+c）=0， 则e=故选B．
12．定义在R上的函数f（x）使不等式是f（x）的导数，则（ ） A．C．
B．f（2）＞2f（0）＞4f（﹣2） D．f（2）＜2f（0）＜4f（﹣2）
恒成立，其中f'（x）
．
【考点】63：导数的运算． 【分析】构造函数g（x）=
，求出函数的单调性，从而求出函数值的大小
即可．
【解答】解：构造函数g（x）=∴g′（x）=∵
恒成立，
，
∴2f′（2x）＞ln2f（2x）恒成立， ∴g′（x）＞0，
∴g（x）在R上为增函数， ∴g（1）＞g（0）＞g（﹣1）， ∴
＞
＞
，
∴f（2）＞2f（0）＞4f（﹣2）， 故选：B
二、填空题
13．将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，则不同的分法的总数是 36 ．（用数字作答） 【考点】D8：排列、组合的实际应用．
【分析】本题是一个分步计数问题，先选两个元素作为一个元素，问题变为三个元素在三个位置全排列，得到结果．
【解答】解：由题意知本题是一个分步计数问题，
4位同学分到三个不同的班级，每个班级至少有一位同学，先选两个人作为一个整体，问题变为三个元素在三个位置全排列， 共有C42A33=36种结果， 故答案为：36．
14．若（1﹣ax）（1+2x）4的展开式中x2项的系数为4，则【考点】DC：二项式定理的应用；67：定积分．
= ln5﹣1 ．
【分析】（1﹣ax）（1+2x）4=（1﹣ax）（1+4×2x+为4，可得
+…），根据x2项的系数
﹣8a=4，解得a．再利用微积分基本定理即可得出．
+…），
【解答】解：（1﹣ax）（1+2x）4=（1﹣ax）（1+4×2x+∵x2项的系数为4，∴则
=
﹣8a=4，解得a=．
=ln5﹣1．
故答案为：ln5﹣1．
15．过抛物线C：y2=4x的焦点F作直线l将抛物线C于A、B，若|AF|=4|BF|，则直线l的斜率是
．
【考点】KN：直线与抛物线的位置关系．
【分析】由抛物线方程求出抛物线的焦点坐标，设出直线l的方程，和抛物线方程联立，化为关于y的一元二次方程后利用根与系数的关系得到A，B两点纵坐标的和与积，结合|AF|=3|BF|，转化为关于直线斜率的方程求解． 【解答】解：∵抛物线C方程为y2=4x，可得它的焦点为F（1，0）， ∴设直线l方程为y=k（x﹣1）， 由
，消去x得y2﹣y﹣k=0．
设A（x1，y1），B（x2，y2）， 可得y1+y2=，y1y2=﹣4①． ∵|AF|=4|BF|，
∴y1+4y2=0，可得y1=﹣4y2，代入①得﹣3y2=，且﹣4y22=﹣4， 解得y2=±1，解，得k=±． 故答案为：
．
16．函数f（x）的定义域为实数集R，f（x）=对于任意的
x∈R都有f（x+2）=f（x﹣2）．若在区间[﹣5，3]上函数g（x）=f（x）﹣mx+m恰有三个不同的零点，则实数m的取值范围是 【考点】52：函数零点的判定定理．
【分析】求出f（x）的周期，问题转化为f（x）和y=m（x﹣1）在[﹣5，3]上有3个不同的交点，画出f（x）的图象，结合图象求出m的范围即可． 【解答】解：∵f（x+2）=f（x﹣2），∴f（x）=f（x+4）， f（x）是以4为周期的函数，
若在区间[﹣5，3]上函数g（x）=f（x）﹣mx+m恰有三个不同的零点， 则f（x）和y=m（x﹣1）在[﹣5，3]上有3个不同的交点， 画出函数函数f（x）在[﹣5，3]上的图象，如图示：
．
，
由KAC=﹣，KBC=﹣，结合图象得： m∈故答案为：
三、解答题 17．已知函数
（a，b∈R），f′（0）=f′（2）=1．
，
．
（1）求曲线y=f（x）在点（3，f（3））处的切线方程；
（2）若函数g（x）=f（x）﹣4x，x∈[﹣3，2]，求g（x）的单调区间和最小值．
6B：6E：【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．
【分析】（1）求出函数的导数，根据f′（0）=f′（2）=1，得到关于a，b的方程组，解出即可求出f（x）的解析式，从而求出切线方程即可；
（2）求出g（x）的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的最小值即可．
【解答】解：（1）因为f′（x）=x2﹣2ax+b， 由f′（0）=f′（2）=1即则f（x）的解析式为
所以所求切线方程为4x﹣y﹣9=0． （2）由（1）f（x）=x3﹣x2+x， ∴
，∴g′（x）=x2﹣2x﹣3，
，得
，
，即有f（3）=3，f′（3）=4
由g′（x）=x2﹣2x﹣3＞0，得x＜﹣1或x＞3， 由g′（x）=x2﹣2x﹣3＜0，得﹣1＜x＜3， ∵x∈[﹣3，2]，
∴g（x）的单调增区间为[﹣3，﹣1]，减区间为（﹣1，2]， ∵
，
∴g（x）的最小值为﹣9．
18．共享单车是指由企业在校园、公交站点、商业区、公共服务区等场所提供的自行车单车共享服务，由于其依托“互联网+”，符合“低碳出行”的理念，已越来越多地引起了人们的关注．某部门为了对该城市共享单车加强监管，随机选取了100人就该城市共享单车的推行情况进行问卷调查，并将问卷中的这100人根据其满意度评分值（百分制）按照 分成5组，制成如图所示频率分直方图． （1）求图中x的值；
（2）已知满意度评分值在内的男生数与女生数的比为2：1，若在满意度评分值为的人中随机抽取4人进行座谈，设其中的女生人数为随机变量X，求X的分布列和数学期望．
【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差；CG：离散型随机变量及其分布列．
【分析】（1）频率和为1列出方程求得x的值；
（2）计算满意度评分值在内的人数，写出X的值可能取值， 计算对应的概率值，写出分布列，计算数学期望值．
【解答】解析：（1）由（0.005+0.021+0.035+0.030+x）×10=1， 解得x=0.009；
（2）满意度评分值在内有100×0.009×10=9人， 其中男生6人，女生3人； 则X的值可以为0，1，2，3； 计算
，
，
，
；
则X分布列如下： X P 0 1 2 3 所以X的期望为
．
19．班主任为了对本班学生的考试成绩进行分析，决定从全班25名男同学，15名女同学中随机抽取一个容量为8的样本进行分析．
（1）如果按性别比例分层抽样，可以得到多少个不同的样本？（只要求写出计算式即可，不 必计算出结果）
（2）随机抽取8位，他们的数学分数从小到大排序是：60，65，70，75，80，85，90，95，物理分数从
小到大排序是：72，77，80，84，88，90，93，95．
①若规定85分以上（包括85分）为优秀，求这8位同学中恰有3位同学的数学和物理分数均 为优秀的概率；
②若这8位同学的数学、物理分数事实上对应如表： 学生编号 数学分数x 物理分数y 根据上表数据，由变量y与x的相关系数可知物理成绩y与数学成绩x之间具有较强的线性相关关系，现求y与x的线性回归方程（系数精确到0.01）． 参考公式：回归直线的方程是：
=bx+a，其中对应的回归估计值
72 77 80 84 88 90 93 95 1 60 2 65 3 70 4 75 5 80 6 85 7 90 8 95 b=，
参考数据：，，≈1050， ≈688，．
【考点】BK：线性回归方程． 【分析】（1）从25名男同学中选得出样本的种数．
位，从15名女同学中选
位，即可
（2）①从8为同学中恰有3为同学的数学与物理均为优秀，从物理的4个优秀分数中选3个与数学优秀分数对应，种数是物理分数任意对应，种数是
，然后将剩下的5个数学分数和
，根据乘法原理可得满足条件的种数，这8位同
种，即可得出所求的概率．
学的物理分数和数学分数分布对应的种数共有②设y与x的线性回归方程是
=bx+a，根据所给数据，可以计算出
，a=84.875﹣0.66×77.5≈33.73，可得y与x的线性回归方程．
【解答】解：（1）从25名男同学中选位． 可以得到
×
个不同的样本．
=5位，从15名女同学中选
=3
（2）①从8为同学中恰有3为同学的数学与物理均为优秀，从物理的4个优秀分数中选3个与数学优秀分数对应，种数是物理分数任意对应，种数是
，然后将剩下的5个数学分数和
，
，根据乘法原理可得：满足条件的种数是
这8位同学的物理分数和数学分数分布对应的种数共有P=
=
．
种，故所求的概率
②设y与x的线性回归方程是=bx+a，根据所给数据，可以计算出
a=84.875﹣0.66×77.5≈33.73，，所以y与x的线性回归方程是
=0.66x+33.73．
20．已知两点
．
（Ⅰ）求动点P的轨迹C的方程；
（Ⅱ）过F（1，0）作互相垂直的两条直线交轨迹C于点G，H，M，N，且E1，E2分别是GH，MN的中点．求证：直线E1E2恒过定点． 【考点】KL：直线与椭圆的位置关系．
，动点P在y轴上的投影是Q，且
【分析】（1）设点P坐标为（x，y）∴点Q坐标为（x，0），利用即可得出．
，
（2）当两直线的斜率都存在且不为0时，设lGH：y=k（x﹣1），G（x1，y1），H（x2，y2）
，联立方程得，（2k2+1）
x2﹣4k2x+2k2﹣4=0，利用根与系数的关系、中点坐标公式即可得出． 【解答】解：（1）设点P坐标为（x，y）∴点Q坐标为（x，0）． ∵∴﹣
（2）证明：当两直线的斜率都存在且不为0时， 设lGH：y=k（x﹣1），G（x1，y1），H（x2，y2）
，
，
∴点P的轨迹方程为
﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
联立方程得，
，（2k2+1）x2﹣4k2x+2k2﹣4=0，∴△＞0恒成立；
∴，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
∴GH中点E1坐标为同理，MN中点E2坐标为∴∴
的方程为
﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
，∴过点﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
当两直线的斜率分别为0和不存在时，综上所述，
过定点
的方程为y=0，也过点
﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
21．函数，．
（Ⅰ）讨论f（x）的极值点的个数；
（Ⅱ）若对于任意x∈（0，+∞），总有f（x）≤g（x）成立，求实数a的取值范围．
【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值；6D：利用导数研究函数的极值．
【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，通过讨论a的范围求出函数的单调区间，判断函数的极值点的个数即可； （Ⅱ）分离参数，问题转化为
对于∀x＞0恒成立，设
，根据函数的单调性求出a的范围即可．
【解答】解：（Ⅰ）
，∵x＞0，∴f'（x）∈[a+2，+∞），
①当a+2≥0，即a∈[﹣2，+∞）时，f'（x）≥0对∀x＞0恒成立， f（x）在（0，+∞）单调增，f（x）没有极值点；
②当a+2＜0，即a∈（﹣∞，﹣2）时，方程x2+ax+1=0有两个不等正数解x1，x2，
不妨设0＜x1＜x2，则当x∈（0，x1）时，f'（x）＞0，f（x）增；
x∈（x1，x2）时，f'（x）＜0，f（x）减；x∈（x2，+∞）时，f'（x）＞0，f（x）增，
所以x1，x2分别为f（x）极大值点和极小值点，f（x）有两个极值点． 综上所述，当a∈[﹣2，+∞）时，f（x）没有极值点； 当a∈（﹣∞，﹣2）时，f（x）有两个极值点． （Ⅱ）f（x）≤g（x）⇔ex﹣lnx+x2≥ax，由x＞0， 即设
，
∵x＞0，∴x∈（0，1）时，φ'（x）＜0，φ（x）减，
对于∀x＞0恒成立，
，
x∈（1，+∞）时，φ'（x）＞0，φ（x）增， ∴φ（x）≥φ（1）=e+1， ∴a≤e+1．
[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ=4sinθ，直线l的参数方程为
（t为参数），直线l和
圆C交于A、B两点． （1）求圆心的极坐标；
（2）直线l与x轴的交点为P，求|PA|+|PB|．
【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；QH：参数方程化成普通方程． 【分析】（1）求出圆心的直角坐标，即可求圆心的极坐标；
（2）直线l与x轴的交点为P，利用参数的几何意义，即可求|PA|+|PB|． 【解答】解：（1）由ρ=4sinθ，得ρ2=4ρsinθ，得x2+y2=4y，
故圆C的普通方程为x2+y2﹣4y=0，所以圆心坐标为（0，2），圆心的极坐标为
．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
（2）把
代入x2+y2﹣4y=0得t2=4，
所以点A、B对应的参数分别为t1=2，t2=﹣2 令
得点P对应的参数为t0=﹣4
所以|PA|+|PB|=|t1﹣t0|+|t2﹣t0|=|2+4|+|﹣2+4|=6+2=8﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
2017年6月12日
因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容