市2015届高三上学期期末质检检测数学文

【试卷综述】本试卷试题主要注重基本知识、基本能力、基本方法等当面的考察，覆盖面广，注重数学思想方法的简单应用，试题有新意，符合课改和教改方向，能有效地测评学生，有利于学生自我评价，有利于指导学生的学习，既重视双基能力培养，侧重学生自主探究能力，分析问题和解决问题的能力，突出应用，同时对观察与猜想、阅读与思考等方面的考查。

【题文】一、选择题：本大题10小题，每小题5分，共50分，在每小题所给的四个答案中有且只有一个答案是正确的.

【题文】1.已知集合A0,1,2，集合Bx|x20，则AB A. 0,1 B. 0,2 C. 1,2 D. 0,1,2 【知识点】集合运算. A1

【答案】【解析】A 解析：因为B={x|x<2}，所以A∩B=0,1，故选A. 【思路点拨】化简已知集合即可.

【题文】2.向量a1,m,b2,4，若ab（为实数），则m的值为 A.2 B. -2 C.

11 D.  22【知识点】向量相等的坐标运算；向量共线. F1 F2

【答案】【解析】B 解析：由ab得：（1，m）=(2,-4)=(2,-4)

21m2，故选B. 4m【思路点拨】根据向量相等的坐标运算，得关于,m的过程中求解.

【题文】3.函数fx是定义在R上的奇函数，当时x0时，fxx1则f1等于

2A. 1 B. -1 C. 2 D. -2 【知识点】奇函数的性质. B4

【答案】【解析】D 解析：f(-1)= -f(1)= -2,故选D. 【思路点拨】由奇函数的定义得结论. 【题文】4.若A. 3,,sin，则tan

524433, B. C.  D. 334433得，sin，又,，所以 5521第

【知识点】诱导公式；同角三角函数关系. C2 【答案】【解析】C 解析：由sin页

4sin3cos1sin2，所以tan，故选C.

5cos4【思路点拨】利用诱导公式，同角三角函数关系式求解.

x0【题文】5.若关于x,y的不等式组xy0，表示的平面区域是直角三角形区域，则正数k的值为

kxy10A 1 B 2 C 3 D 4 【知识点】线性规划问题. E5

【答案】【解析】A 解析：当过定点（0,1）的直线kxy10与直线x=0或x+y=0垂直时，关于x,y

x0的不等式组xy0，表示的平面区域是直角三角形区域，此时k=0或k=1，由于k为正数，所以k

kxy10的值为1，故选A.

【思路点拨】画出简图，分析直线kxy10与直线x=0，x+y=0的位置关系得结论.

【题文】6.如图，在棱长为1的正方体ABCDAE是棱BC上的一点，则三棱锥D1B1C1E的1BC11D1中，体积等于

A.

1153 B. C. D. 361261111SB1C1D1CC1121, 3326【知识点】锥体的体积求法. G1

【答案】【解析】D 解析：VD1B1C1EVEB1C1D1故选D.

【思路点拨】由等体积转化法求解.

x2y21的左焦点作倾斜角为的直线l，则直线l与双曲线C的交点情况是 【题文】7.过双曲线C:649A.没有交点 B 只有一个交点 C 两个交点都在左支上 D 两个交点分别在左、右支上

【知识点】直线与双曲线的位置关系. H8

x2y231整理得： 【答案】【解析】D 解析：直线l方程为yx13，代入C:493页 2第

23x2813x1500，8134231500，所以线l与双曲线C有两个交点，由韦达定理

得两个交点横坐标符号不同，故选D.

【思路点拨】把直线方程代入双曲线方程，由判别式和韦达定理确定结论.

【题文】8.已知mR，“函数y2xm1有零点”是“函数ylogmx在0,上为减函数”的 A．充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D. 即不充分与不必要条件 【知识点】函数的零点；函数的单调性；充分条件；必要条件. B9 B3 A2

【答案】【解析】B 解析：由函数y2xm1有零点，得m<1. 函数ylogmx在0,上为减函数，得0【思路点拨】利用集合间的关系判定充分性、必要性.

【题文】9.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体最长的棱长等于 A.

234 B. 41 C. 52 D. 215

【知识点】几何体的三视图的应用. G2

【答案】【解析】C 解析：由三视图可知此几何体的直观图如下：

所以其最长的棱长DB=52，故选C.

【思路点拨】由几何体的三视图得此几何体的直观图及相关数据，从而该多面体最长的棱长. 【题文】10.已知函数f(x)的导函数f¢(x)的图像如图所示，f(-1)=f(2)=3，令g(x)=(x-1)f(x)， 则不等式g(x)≥3x-3的解集是

页

3第

2,+?A.[-1,1]∪éêë) B. (-?,1U1,2?U2,+?? C. (-?,1-1,2 ) D. 轾犏臌【知识点】导函数值的符号与函数单调性的关系. B12

é1,+?【答案】【解析】A 解析：由导函数的图像可知函数f(x)在-?,1ùú上单调递减，在êûë()

íïx³1ï上单调递增.又不等式为(x-1)(f(x)-3)?0，即ì蕹x2，或

ïf(x)?3f2()ïïîíïïx£12,+??1＃x1，综上得不等式g(x)≥3x-3的解集是[-1,1]∪éìêëïfx?3f(-1)ïïî()故选A.

).

【思路点拨】由导函数的图像得原函数的单调性，再由已知函数值得原函数图像的大致形状， 由此分类讨论的所求不等式的解集.

【题文】二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分. 【题文】11.抛物线y2=4x的准线方程是 . 【知识点】抛物线的几何性质. H7

【答案】【解析】x= -1 解析：由抛物线的方程得：p=2，所以其准线方程为：x=-【思路点拨】由抛物线的定义得结论.

p=-1 2骣p÷p÷= . 【题文】12.将函数f(x)=cos x的图像向右平移个单位，得到函数y=g(x)的图像，则gçç÷ç÷26桫【知识点】平移变换；函数值的意义. C4

骣骣p÷p÷1p1çç÷g=÷cos=【答案】【解析】 解析：根据题意得：g(x)=cosçx-，所以. ç÷÷çç÷÷2232桫桫6骣p÷÷【思路点拨】利用平移口诀得函数g(x)的解析式，从而求得gç的值. çç÷2÷桫【题文】13.函数y=x+4(x>1)的最小值是 . x-1【知识点】基本不等式求最值. E6 B3

【答案】【解析】5 解析：∵x>1，∴x-1>0，∴y=x-1+页

4第

()1+1?2x-11=3，

当且仅当x=2时等号成立，所以y=x+4x>1)的最小值是3. (x-1【思路点拨】利用基本不等式法求函数的最小值. 【题文】14.数列an中，a1={}a-11，则该数列的前22项和等于 . ,an+1=n2an【知识点】周期数列前n项和求法. D4 【答案】【解析】11 解析：∵a1=a-111，∴a2=-1,a3=2,a4=L， ,an+1=n22an∴数列an是以三为周期的周期数列，所以

{}S22=7(a1+a2+a3)+a1=7?321=11. 2【思路点拨】逐一求出数列的前几项，得此数列是以三为周期的周期数列，从而求得该数列的前22项和. 【题文】15.如图，正方形ABCD中，AB=2，DE=EC，若F是线段BC上的一个动点，

uuuruuur则AE×AF的最大值是 .

【知识点】向量的数量积； F3

uuuruuuruuur【答案】【解析】6 解析：要使AE×AF最大，只需AF最大，ÐEAF最小.由图易知，当F与C重合

时，满足条件，而此时△EAC中，AE=5,AC=22,EC=1,

310所以cos?EAC(5)+(22)-125×22222=uuuruuur，所以AE×AF最大值是：

uuuruuurAE鬃ACcos?EAC5创22310=6.

uuuruuur【思路点拨】通过图形分析得AE×AF取得最大值的条件，然后计算此最大值.

【题文】16.点P(x,y)在直线y=kx+2上，记T=|x|+|y|，若使T取得最小值的点P有无数个， 则实数k的取值是 .

【知识点】直线的斜截式方程；直线与圆. H1 H4

【答案】【解析】1或-1 解析：直线y=kx+2恒过定点（0,2），

页 5第

∵T=x+y?2xy，当且仅当x=y时取等号，可得：只有当k=?1时，使T取得最小值的点P有无数个. 故k=?1.

【思路点拨】注意到直线恒过定点（0,2），画图观察斜率k取不同值的情况下，T取最小值的点P的个数，不难发现，仅在k=?1时，点P的个数有无数个. 【题文】三、解答题：本大题共6小题，共76分. 【题文】17.（12分）

数列an中，a1=-1,a4=8. （1）若数列an为等比数列，求a7得值； （2） 若数列an为等差数列，其前n项和Sn，已知Sn=an+6，求n的值. 【知识点】等差数列；等比数列. D2 D3 【答案】【解析】（1）-64；（2）4.

解析：(1)∵数列an为等比数列，∴a=a1?a7，得a7=（2）设数列an的公差为d，由a4=a1+3d?{}{}{}{}242a4a1=-64.

{}1+3d=8，解得d=3

3n2-5n∴an=a1+(n-1)d=3n-4，Sn=

23n2-5n∵Sn=an+6,\\3n-4+6，化简得3n2-11n-4=0

2解得n=4或n=-1*，∵n∈N, ∴n=4 3【思路点拨】(1)根据等比数列的性质求解；（2）根据等差数列的通项公式及前n项和公式求解. 【题文】18.（12分）

2x2y2已知圆M：其离心率为. (x-2)+y=16,椭圆C：2+2=1(a>b>0)的右焦点是圆M的圆心，

3ab22（1）求椭圆C的方程；（2）斜率为k的直线l过椭圆C的左顶点，若直线l与圆M相交，求k得取值范

围.

【知识点】直线、圆、椭圆的基本性质；直线与圆的位置关系. H3 H5 H4

44x2y2+=1；（2）-3395 解析：(1)由题意得：圆心M(2，0)，r=4, ∴c=2 又

c2=，∴a=3，由b2=a2-c2，得b2=5， a36第

页

x2y2∴椭圆方程为+=1

95（2）∵直线l过椭圆左顶点A（-3,0），∴l的方程为：y=k(x+3),即kx-y+3k=0 ∵l与圆M相交，∴圆心M到直线l的距离d∴5k()2<16k2+1?k2()1644，∴-933【思路点拨】(1)由已知得关于a,b,c的方程组求解；（2）设出直线的点斜式方程，由圆心到直线的距离小于半径得关于k的不等式，解得k范围即可. 【题文】19．（12分）

已知函数f(x)=sin 2x+2cosx-1. （1）求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间； (2)已知△ABC三边a,b,c所对的角分别为A,B,C，若f()=2A22,b=2，且△ABC的面积为1，求a得

值.

【知识点】三角恒等变换；三角函数图像与性质；解三角形. C7 C8 【答案】【解析】(1) 函数f(x)的最小正周期p,单调递增区间为:[kp-3pp,kp+](k?Z)； 88（2）2. 解析：∵f(x)=sin2x+2cos2x-1=sin2x+cos2x =2sin(2x+p2p=p )，∴最小正周期T=24p?2kp4p3p,k?Z，解得kp-＃x283pp,kp+](k?Z) 88kp+p,k?Z 8令2kp-p?2x2∴函数f(x)的单调递增区间为:[kp-A(2)由（1）得：f()=2∴ 在△ABC中，A+A2sin(2?2p)=4骣p÷2sinç=çA+÷÷÷ç桫42 ppp=，∴A=

4421，∴c=2

又∵SVABC=11pbcsinA=鬃2c?sin224页 7第

由余弦定理得，a=b+c-2bccosA=222()22+22-22?2cosp42

∴a=2 【思路点拨】（1）利用二倍角公式，两角和与差的三角函数公式，将函数化为： f(x)=

2sin(2x+pp从而求得其最小正周期和单调递增区间；（2）由（1）的结论及三角形面积得A=、)，

44c=2，再由余弦定理求得a值.

【题文】20.（12分）

如图平面ABCD⊥平面BCE，四边形ABCD为矩形，BC=CE，点F为CE中点. (1) 证明：AE∥平面BDF；

（2）点M为CD上任意一点，在线段AE上是否存在点P，使得PM⊥BE? 若存在，确定点P的位置，并加以证明；若不存在，请说明理由.

【知识点】空间点，线，面位置关系；线面平行及线面垂直的证明. G4 G5

【答案】【解析】（1）证明：见解析；（2）当P为AE中点时，有PM⊥BE，证明：见解析. 解析：(1)连接AC交BD于O，连接OF.

在△ACE中，∵四边形ABCD 是矩形，∴O为AC中点，又F为EC中点， ∴OF∥AE，

又OFÌ平面BDF，AEË平面BDF，∴AE∥平面BDF. （2）当P为AE中点时，有PM⊥BE，以下给予证明. 取BE中点H，连接DP，PH，CH， ∵P为AE中点，H为BE中点， ∴PH∥AB，又AB∥CD，

页

8第

∴PH∥CD，

∴P、H、C、D四点共面.

∵平面ABCD⊥平面BCE，且平面ABCDI平面BCE=BC，CD⊥BC ∴CD⊥平面BCE，又BEÌ平面BCE ，

∴CD⊥BE，∵BC=CE，且H为BE中点，∴CH⊥BE ∵CHICD=C，∴BE⊥平面DPHC，

又PMÌ平面DPHC，∴BH⊥PM，即PM⊥BE.

【思路点拨】(1)取BD中点O,证明OF∥AE即可；（2）要使PM⊥BE，只需BE⊥平面DCP，

取BE中点H，连接CH，因为BC=CE，所以BE⊥CH，有BE⊥平面BCH，则平面BCH于线段AE的交点为点P，易得P为线段AE中点.

【题文】21.（14分）

某地汽车最大保有量为60万辆，为确保城市交通便捷畅通，汽车实际保有量x（单位：万辆）应小于60万辆，以便留出适当的空置量. 已知汽车的年增长量y（单位：万辆）和实际保有量x与空置率的乘积成正比，比例系数k（k>0）.

(空置量=最大保有量-实际保有量，空置率=

空置量)

最大保有量(1)写出y关于x的函数关系；（2）求汽车年增长量的最大值；（3）当汽车年增长量达到最大值时，求k的取值范围.

【知识点】函数基础知识；不等式基础知识. B1 D1 【答案】【解析】(1) y=k-x2+60x(0∴当实际保有量为30万辆时，汽车年增长量的最大值为15k万辆. （3）根据实际意义：实际保有量x与年增长量y的和小于最大保有量60， ∴ 00，∴0页 9第

即k的取值范围为0,2.

()骣60-x÷60-x÷【思路点拨】(1)空置率，从而y=kçx?ç÷ç60桫60÷即y关于x的函数关系式为：y=k-x2+60x， 60()k-x2+60x(0已知函数f(x) =x3-bx2+cx(b,c?R),其图像记为曲线C. (1) 若f(x)在x=1处取得极值-1，求b,c的值；

(2) 若f(x)有三个不同的零点，分别为x1,x2,x3，且x3>x2>x1=0过点O(x1,f(x1))作曲线C的切线，

切点为Ax0,f(x0)（点A异于点O） ①证明：x0=()x2+x32；

0,2，求②若三个零点均属于区间éêë)f(x0)x0的取值范围.

【知识点】函数的零点；导数的几何意义；导数的应用；线性规划. B9 B11 B12 E5 【答案】【解析】（1）b=1,c= -1；（2）①证明：见解析，② （-1，0）. 解析：(1) f¢(x)=3x2-2bx+c,由题意，有

íïf¢(1)=3-2b+c=0íïb=1ïï，经检验此时，f(x)在x=1处取极小值， Þ眄镲c=-1f1=1-b+c=-1镲îïî()因此，b=1,c= -1.

2（2）①证明：切线斜率k=f¢x0=3x0-2bx0+c， 2则切线方程为：y-fx0=(3x0-2bx0+c)x-x0，

()()()22化简得：y=(3x0 -2bx0+c)x-2x3+bx002由于切线过原点O，所以：-2x3+bx0=0， 0因为点A异于点O，所以x0=页

b， 210第

32又fx=x-bx+cx有三个不同零点，分别为0，x2,x3，

()则x2,x3为方程x-bx+c=0的两个不同的根，由韦达定理得：x2+x3=b 因此，x0=2x2+x32

2②由①知，x2,x3为方程x-bx+c=0的两个不同的根，

2令gx=x-bx+c，由x2,x3∈（0,2），知：

()函数g(x)图像与x轴在（0,2）范围内有两个不同交点，所以

íïD>0ïïïbïï0<<2镲Þ眄2镲镲g(0)>0镲镲镲g(2)>0镲ïîíïïc<ïïïï0ïîb24b<40这个不等式组对应的点(b,c)形成的平面区域如图阴影部分所示：

4-2b+c>0

又

f(x0)x0=骣b÷÷fçç÷ç2桫÷b2b2z4c-b22，令目标函数z=4c-b，则c=+， =444b2z于是问题转化为求抛物线c=+的图像在y轴上截距的取值范围，

44结合图像，截距分别在曲线段OM，N（2,0）处取上、下界， 则z∈（-4,0），因此，

f(x0)x0?(1,0).

【思路点拨】(1)由f(x)在x=1处取得极值-1得关于b,c的方程组求解；（2）①由导数的几何意义及直线方程的点斜式得以A为切点的切线方程，由此切线过原点证得结论. ②由①及二次方程的实根分布理论的关于b,c的不等式组，再利用线性规划思想求

f(x0)x0的取值范围.

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【典例剖析】本题第三问的求解是较典型的解法，采用了线性规划的解题思想，把求f(x0)的取值范围问题，

转化为了求纵截距范围问题.

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