ten

10－1 (A)

1.(xy)(xy) 2.(xy)xy(xy)2x

5.(1){(x,y)y22x10}; (2){(x,y)xy0,xy0}; (3){(x,y)0x2y21,y24x}; (4){(x,y,z)x0,y0,z0}; (5){(x,y)x0,y0,x2y}; (6){(x,y)yx0,x0,x2y21}; (7){(x,y)x,y}; (8){(x,y)x0,y2x};

(9){(x,y,z)r2x2y2z2R2}; (10){(x,y,z)x2y2z20,x2y20}. 6.(1)ln2; (2)0; (3); (4)14 (5)不存在； (6)0

(7)0 (8)e 9.(1)在(0,0)点不连续

(2)在xy0上所有(x,y)点均连续 (3) 在(0,0)点不连续

10－1 (B)

1．1x2 2．fx22x,zyx1

1

3．

x(1y)1y2

10－2 (A)

1.(1)25 (2)1,22ln2 (3)2e3,3e3,4e3

2. 1 3.(1)zx3x2yy3,zyx33y2x

(2)s1vuvu2,s1vuuv2

(3)

z1x1,z

2xln(xy)y2yln(xy) (4)

zxy[cos(xy)sin(2xy)],zyx[cos(xy)sin(2xy)]

(5)

zx2xycsc2y,z2x2xyy2cscy

(6)

zy2zyx(1xy)y1xy,y(1xy)[ln(1xy)xy1xy]

z (7)

uy1u1yyxzxy,yzxz,uzyz2xzlnx

uz1z1z (8)xz(xy),uuxy)ln(xy)1(xy)2zyz(xy)1(xy)2x,z(1(xy)2z

6.

4 7.

6

2210.(1)

zz2xx28y2,

22212y212y8x,

zxy16xy

2z2xy222 (2)

zx2x2(x2y2)2,

zy22xy(x2y2)2,

x2y(x2y2)2

222 (3)

zx2x21x2ylny,

zy2x(x1)y,

zxyyx(1xlny)

2 (4)

zx22cos(xy)xsin(xy),

2

2z2y2xsin(xy),

zxycos(xy)xsin(xy).

11. 2;2;0;0 12.3z30x2y,

zxy21y2.

10－2 (B)

2.arctan47, arctan(47).

10－3 (A)

1.(1)(y1y)dxx(11y2)dy;

y (2)1xxe(yxdxdy);

(3)yzxyz1dxzxyzlnxdyyxyzlnxdz

(4)(yxexy)[(yxx21y)dx(y21x)dy]

2.(1)12223dx3dy (2)5dx5dy

3. 0.25e

4. (1)2.95 (2)0.005 (3)2.039 (4)0.5023 5. -5厘米

6. 55.3立方厘米

10－3 (B) 1.duex2y2ydxex2y2xdy

10－4 (A)

1.zp32sincos(cossin)

z3[(sin2cos)sin2(cos2sin)cos2]

2.

z2xyx2[33x2y2xln(3x2y)]

3

zyzx2yx2[ln(3x2y)22y3x2y4]

(xy)3. 4.

uxexy[2xxyxy24]

zy(xy)22exy[2yyxxy244]

[12(xyyzzx)(yz)3(xyz)yz]cos[xyz(xyyzxz)(xyz)]

223uyuz[12(xyyzzx)(xz)3(xyz)xz]cos[xyz(xyyzxz)(xyz)]

223[12(xyyzzx)3(xyz)xy]cos[xyz(xyyzxz)(xyz)]

22235.e6.

sint2t2(cost6t)

223(14t)1(3t4t)32

7.

e(1x)1xeax22xx

a1a128.esinxzx

zy9.

xxy1y(1ylnx),

xxyyln2x

11.(1)

zx2xf1ye'xyf2,

'zyx2yf1xe'xyf2

' (2)

uxuxux1y'f1,

'uyy2f1'1zf2,

'uzyz2f2'

(3) (4)14.(1)

f1yf2yzf''3,,

uyux2xf2xzf3,

'''uzxyfux'3

'f(1yyz)'f(xxz),

fxy

''zx222f4xf,

'2''zxy4xyf'',

zy222f4yf'2

4

2 (2)

z''1''x2f''211yf12y2f22

2zx'1''1'xyy2(f'12yf22)y2f2

2zx2'''y22y3fx2y4f22

(3)

2z'4''3x22yf2yf114xyf''22''124xyf22

2zxy2yf''3''3'''12xf22xyf112xyf225x3y2f'12

2zy22xf'22''3''14xyf114xyf12x4f''22

2 (4)

zy''''2(xy)x2exf3sinxf1cos2xf''112exycosxf12ef''33

2z'''''xyxy)xyexyf3cosxsinyf12exycosxf13esinyf''32e2(f''332zy2exyf'y3cosyf'2sin2yf''222exsinyf''2(xy)'23ef'33

10－4 (B)

zyx(12)(y1x22)1. z1

y(12)(x1x2)zfx(fx2fuyfv)2.

x2z

22xyfu2xfvxfxuxfxv2xfuu(2xxy)f2uvxyfvvufff3.

xxy.xytxuf

zzfytz

5

10－5 (A)

221.

yexcosy2xy; 2.-1; 3.

yxylnyx2xylnx.

4.

zyzxyzxyzx,

z

xyzxyyxz2xyzxyzz25.

xxz,

zyzy(xz)

2xex2z56.

zxcosz,y3ycosz

7.dz1(x1)ezyx1xezyxdxdy

(z42xyz2x2y28.

z)(z2xy)3

2y2zez2xy3zy2z2ez9.

(ezxy)3

10. 2 11. 2 12.(1)

dy(6z1)dxx2y(3z1),

dzdxx3z1

(2)

dxzxdzyxy,

dydzzxy

(3)

u,

uvyvuxvvxxyuxyyxy；

xxy,

yxy

10－5 (B)

5.

FuvFuFuuFvFu(FuuFvFuvFuFuvFvFvvFu)(F2uFv)(F3

uFv)7.

u'xuf1(2yvg'21)f''2g1(xf'1)(2yvg'121)f'g'

21v''uf'

xg1(xf111)(xf''''

11)(2yvg21)f2g1 6

8.

uvcosvxsineu(sinvcosv)1,

uyeu(sinvcosv)1

vcosveuvsinveu

xu[eu(sinvcosv)1],

yu[eu(sinvcosv)1]

10－6

1.1＋23 2.

22(3 3.

1aba2b2)4.48 5. 5 6.

22

29147.

12 8.x0y0z0

14x2y2z20009. gradf(0,0,0){3,2,6}, gradf（1,1,1){6,3,0}

10－7

x(21)1.切线方程：

y111z22

2法平面方程：xy2z24

x12.切线方程：

21y24z18 法平面方程：2x8y16z10 3.切线方程：

xx0y0zz01ym

y102z0 法平面方程:(xxm10)y(yy0)2z(zz0)0

004.切线方程：

x1y1z11691

法平面方程:16x9yz240 5.P1(1,1,1)及P1112(3,9,27)

7

7.(1)切平面方程：x2y40

y1x2法线方程：12

z0 (2)切平面方程:xy2z (3)切平面方程:

x0xa22， 法线方程:

1，a(xx0)x022x11y112z24

y0yb2z0zc2b(yy0)y0c(zz0)z0

8.xy2z9.(3,1,3),11.cosr112

y13z31x31

322

10－8

1.sin(2xy)222x22(y4)sin(2)[2x2x(y24)12(y4)]2

其中 x，2.zy12!42(y4)(01).

(2xyy)e![ln(1y)x331xy23(1)2xy22(1)3y]

3其中 x，y,(01).

3.1.1021

n4.exyk0(xy)k!k(xy)n1(n1)!e(xy)01

10－9(A)

1.(1)驻点(0,0);极大点(0,0)

(2)驻点(0,0),(0,2),(2,0),(2,2);极大点(0,0);极小点(2,2).

8

(3)驻点(6167,0),(2,0);极大点(7,0);极小点(2,0).

1122.(1)极小值：f(a3,a3)3a3； (2)极小值：f(1,1)0； (3)极大值：f(2,2)8； (4)极小值：f(1,e21)2.

3.极大值：z(1,1122)4.

4.当两边都是

e时，可取得最大周界.

25.当长、宽、都是32k，而高为

1322k时，表面积最小.

6. 购买A 原料100吨, 购买B 原料25吨,可使生产量达到最大值. 7. 36

8. D15,D23.利润 L(5,3)125 9.

X=15(千克), Y=10(千克)

10. （1） 当电台广告费用x10.75(万元），当报纸广告费用

x21.25(万元），时可使利润最大。

（2）广告费1.5万元全部用于报纸广告可使利润最大。

10－9(B)

1. 提示：分两步来完成： ①在区域D内：(2,1)为极大值点，f(2,1)4.

②在边界上：f(4,2)64

f最大(2,1)4，f最小(4，2)64. 2. (aa)3,b3,c)，3(3,b3,c3等四点.

3. 3. 4. (8,1655).

5. 当矩形的边长为

23p,p3时，绕短边旋转所得圆柱体体积最大. 6. 当长、宽、高都是

2a时，可得最大体积.

3 9

7. 最长距离为953，最短距离为953. 8. (1,2,3),d6.

9. (112,2,2).

10．(11112,2,0)，(2,2,0).

12. 最大值为ln33r5.

10－10

1. Y=18.5+0.09253X

nnnnax4322ibxicxixiyi,i1i1i1i1n 2.nnn ax3bx2iicxixiyi,

i1i1i1i1nnnax2ibxincyi.i1i1i1

总复习题十 答案

一、 1. A 2. C 3. B 4. C 5. A

二、 (1) 2xlny (2) e

(3) ln(xt) (4) axn1n1n10xby0ycz0z1(5) (3.2,3.2)

三1.(1)1f2u[y1y]1f2v[y1y]

1f2u[xx]1fx

y22v[xy2]2(2)zxy2fxg12g2xyg22 5． zxy

6． 6xy2z50或10x5y6z50

10

x13y18．切线方程为 10．

xyz1392z1127 9．

117

(111) 11． abc

abc3abc12． arccos71315

13． 极小值点P161(2,0), 极大值点P2(7,0)

部分习题解析

10－2 (B)

3.(1)limf(x,0)f(0,0)(0,0)

x00x limf(x,0)f(0,0)x(0,0)

x00 limf(0y)f(0,0)y(0,0)

y00 f(0,y)f(0,0)

ylim00y(0,0) 所以(0,0)0时，f'x(0,0)，f'y(0,0)存在

')xf' (2)

f[fx(0,0y(0,0)y](x)2(y)2

xy(x,y)(x)2

(y)2 [xyy)

(x)2(x,(y)2(x)2(y)2 2(x,y)

所以(0,0)0时，f(x,y)在点(0,0)处可微.

10－4 (B)

11

7.

zzzzzxuv

y2zuav

2222

zzx2zu22zuvv2

22z2

z2zxy2u2(a2)zuva2v2

2z22

4zz22y2u24auvazv2

将上述结果代入原方程，经整理后得 2 (105a)2zuv(6aa2)zv20依题意知a应满足

6aa20，且105a0解之得 a3.

10－5 (B)

6.证法一：对方程yf(x,t),F(x,y,t)0两边同时对x求偏导，得dyffdt dxxtdxFFdyFdt 解方程组得证.

0xydxtdx其他证法请同学们自试之。

10－7

6.把x1代入x2y2z2943x2(y1)2z217

40 解得切点坐标(1,1,1)和(1,122,1)

方程组两边对x求导，得

2x2yy'2zz'0,z'2xyx 解得y'2x6x2(y1)y'2zz'0z

因而交线的切向量为{1,2x,2xyxz} 从而在切点(1,1x12,1)处的切线方程为：

2y114z12

12

法平面方程为：x2y2z0 在切点(1,1x1y112,1)处的切线方程为：

124z2

法平面方程为：x2y2z0.

总复习题

9.可先求n

，再利用方向导数的计算公式 F(x,y,z)2x23y2z26在P点外法向量 np{4x,6y,2z}p{4,6,2}∥{2,3,1}，

所以cos(n,x)2，cos(n,y131

14)，14cos(n,z)14

ux68u

p14，

uy，

p14z14p 按方向导数计算公式，得 un11p7.

10.解：设M0(x0,y0,z0)为椭球面第一卦限的任一点，

222显然

x000a2yb2zc21 (x00,y00,z00)

则切平面的法向量n{2x0a2,2y02z0b2,c2} 过点Mxz0的切平面：

a2yb2c21

x0y0z0所以，切平面与三坐标面所围成的四面体的体积为

222V1abc6x

0y0z0 注意到求V的最小值，等价于求函数Vx0y0z0的最大值，22L(x,y,z)xyz(xz2a2yb2c21)

此令

13

因LxLy 由Lx2x2ayzxzxyyb222abczc2x0y0222222

z01,(x0,y0,z0) 又由问题的实际意义知，V的最小值必定存在，故当

(x0,y0,z0)(a3xa,b3yb,c3zc)时，V取最小值。

切平面方程为

13a(11b1c).

14． 所给问题为条件极值

以两要素投入量 x1,x2 为自变量,则问题化为在产出量 Q2x1x212 的条件下,求总费用 P1x1P2x2 的最小值,为此构造拉格朗日函数

F(x1,x2,)P1x1P2x2(122x1x2)F1P12x1x20x1F1P22x1x20x2F122x1x20x1(1)(2)(3)

由(1)和(2) ,得

P2P1x1x2,x1P2P1x2

将 x1 代入 (3) 式,得

x26(P1P2),x16(P2P1),

因驻点唯一, 且实际问题存在最小值, 故计算结果

x16(P2P1),x26(P1P2), 时, 投入总费用最小。

14