No4DECV111995loJOURNALOFMA工THEMATI(万FORTECHNOLOGY科数学这时H为,‘tZ…‘一。的一个Herme型由tiHere二次型是正定的充分必要条件是其矩阵而t的顺序主子式大于零本定理得证注一本文定理所给的判别法与本文开头所提及的常用判别法相比虽然要多算一个矩阵的逆及五个矩阵的积但在后面计算行列式的值时其计算量要大大减小本文定理的判别“,法所要求值的一‘个行列式分别为l2式分别为Zm注二”+i2。+2…,+,:阶b,一:一,“阶而常用判别法所要计算的一”个行列本判别法中的条件井。不是实质性的可放宽为存在一个”“B的。阶子式不为零即可因为此时可适当调整未知元的顺序使这个不为零的子式位于最左边参[l〕,mues考文献lvnjypeO。m,t”肠Ha19峨8fBCsudti咖onna^str他dusc2〕陈光〔迪线性约束条件下的实二次型是正定的一个简而有用的判别法南京大学学报数学半年刊lnop^Foa。crsv.lo12No119955ACriterionforoaHermiteFormstrailundreeaSystemlfLie盯Cols15PositiveDtfinite公切.(Nnn”ga呀侧鹉夕W碑.1铭.TaecherscoNan乡雌210017)Anrat加tcatio脉:H一一云aa、二ean不bi扔rionHlmreeftomrl-j习一unt=1…饥obmoasys让mcarof饥linearohmogcsoue蛤qusn丫Veoufndr贻wcrhtatlHbc户抬itvedefl川妞rt由hesyetsflincons廿anstKeyworsdHeefrmstomOPsiovede协枷一乘幂法与QR朱广斌法的评注(安徽电力职工大学合肥3022)2矩阵的特征问题目前在很多领域内都得到了广泛的应用例如动力学系统和结构系统中的振动问题信息系统中的设计问题以及经济学中的输入一输出分析等而矩阵特征问题的求法是一复杂的工作但其数值解目前有很多种就其各种数值方法而言乘幂法是最简单的而QR法是最有效的本文就这两种方法的特点联系等作进一步的探讨一基本方法乘幂法设待求矩阵A有:。个特征值人,入…、且{入}>1入t)…李}入}为解释方便设:A是单构的即A有二个线性无关的特征向量按特证向量摆列为:x:XZ…x则对任意一10U朱广斌乘幕法与QR法的评注:个非零向量I存在一组纯量月。cZ…=c使得X::Ye;+eZXZ+…+.c:’X一c对工重复左乘得月X=e灯X+,eZ姆X+一+:心X,=劝〔X。:xZ,+。2(友/人,)’X+…+.c,.(人/几)X〕可见只要任取的向量方向趋近于QR工不属于A一月…X所张成的子空间即,。】铸O则当。~+co时矛X按丫法对矩阵月,4令月然后对给定的人一求酉阵Q-和上三角阵凡使得月一=仇R.,再定义一凡母这样就得到了一个矩阵序列(月}可以证明在一定的条件下人收敛于一所进行的QR分解不仅存在若选.个上三角阵而且对R的主对角线上的元素全为正分解r还是唯一的具体分解方法可用Givens正交化法或Huofdehose方法等来实现二两种方法的讨论乘幂法的思想是简单而又重要的由此可诱导出一些重要而更有效的方法如同时迭代法等同时它和它的变形特别适用于大稀疏矩阵(含有大量零元素的矩阵)对于计算三对角阵或ee、b1I,lgr阵对应于一个给定特征值的特征向量乘幂法的变形逆幕法是最佳方法之一基本的乘幂法似乎只是求按模最大待征值所对应的特征向量其实设::一琳。、+,艺)xc(划;!)划=大(。Y+嘴其中￡x表示矢量是一个分量很小的矢量记’的第丁个分量则+Z急一瓦二。。;,人,aLr万石于」石kX,l+雌+二由于;的分量均随着k的增大而趋近于零因而当逐渐增大时z卜/界:趋近于,久另外使用矩阵的收缩理论采用按模最大迭代降阶这样交替进行可求出矩阵的所有特征值及所对应的特证向量乘幂法的收敛速度依赖按模最大和次大特征值的比率即比值!戈/久}越小收敛就越快但当}入法及R/人}接近于1时收敛很慢这时需要改进迭代步骤加速收敛例如逆幂法Aitek”加速aly“ih商迭代法等下面介绍一种最简单的按比例调节每次迭代结果的方法g设了一拐一z一yjI/y川其中}}}11~tllax{夕}飞=(。。…y)‘=1,2…,}这时有:,凡‘丫/Ix二}}}!Y】!一人,其实在乘幂法中不必假设久24J是亏损的例如A一{1}万(0x。1}1,}的精确特征值和特征向量分别是___”一1I一(1O)可见丁月是亏损的但取初始向量。y}}川=(k+1)/kz一(11广一按比例调节的迭代结果当一迭代到第kk步时就有:一,,(11/(无+1))可见当~、时Y!I!!~1一人,2凡一(10)二X,但收敛速度是较慢的而不是直接对矩阵由于舍入误差乘幕法实际上是对矩阵元素很小的矩阵可把它看作是对矩阵月+召A进行迭代的其中E是A的一个扰动通过该扰动可以分析舍入误差对迭代NO4DECVfo111995JOURNALOFMATHE工科MATI(5FOR数学TECHNOLOGY101结果的影响当矩阵对特征值是敏感的则表示这一徽小的扰动对迭代的结果产生较大的影响往往表现在迭代不收敛或迭代到某一步时特征向量2和几十完全相同使迭代无法进行,下去乘幂法的迭代公式依赖于特征值的分布情况因此实用时很不方便特别不适合自动计算比如该迭代法的收敛情况较复杂在编制程序时除采用各种迭代格式外还要加上各种情况的判别这要在计算机上实现是相当困难的不仅如此初始向量的选择对迭代时的收敛速度有着很大的影响甚至选择不当就无法迭代出结果尽管如此目前还没有一个很好的方法来选择QR法及其变形目前被公认为求矩阵所有特征值及特征向量的最有效方法之一它的优点主要表现在以下几个方面第一这种迭代法一般比较稳定因为QR算法是以QR分解为基:础而QR分解正是Gamsrcmh议正交规范化过程的矩阵实现事实上假定…月是非奇异的令a;a:…、表示月的列,q,qZq表示Q的列上三角阵.R为l,!R一r护……尹护护加卜工1那么:al:=,,,,,:aZ=,,:,空+,,z:,卜一般有a一,,q,+,空:+…+rqb=12…:二记(X,…X.》为向量X:Xa::…X.张成的子空间则有,1a(a.)=(叮)<,》=(,q:),…(a。:…四>一<叮,…,》七~12…碑由于奋是U阵故口的列使月的列正交规范化吧rgH.犯en七:第二基本的QR算法收敛速度是较慢的但是若迭代前把矩阵约化成阵或Herme矩阵使用带位移或双重步的QR算法其收ti敛速度就相当可观了通常可达到二次或三次第三尽管QR算法的计算量相当大但由于这:种算法对矩阵所可能出现的各种病态情况及收敛的审查都有一个相对稳定的办法因此上机迭代所需的程序可较方便的编制比如题全部解的Potrstewrat在1970年给出了一个关于实对称矩阵特征值问arn程序QR算法的不足之处在于它不能给出一个完全令人满意的收敛准则而且计算量较大特别是对一些大的满秩的矩阵即使在计算机上迭代由于计算机的内存及字长等原因可能产生上滋或下溢使迭代无法进行三两种方法的比较及联系由前面的讨论可以看出乘幕法的基本思想比QR法简单且方法较容易所要的知识面也少只要一般的线性代数知识而QR法不仅具备有乘幕法的一般知识外而且还要有相当的矩阵理论知识对于一个大稀疏矩阵乘幕法往往更有用因为此时只要选取适当的初始向9p使手算也能得到结果若按QR’量在迭代过程中至多是原矩阵的次方和初始向量的乘积,法进行迭代在进行QR分解时破坏了原矩阵所特有的这种性质但QR算法在很多方面优于乘幕法在对矩阵进行乘幕法时必须弄清这个矩阵特征值的分布情况且一次也只能迭代出一个按模最大特征值及特征向量而QR法不存在这个情况在对矩阵特征问题一无所知的情况下也可进行QR迭代甚至可迭代出矩阵的奇异特征值(若犷是,月A的特征值则称久是月的奇异特征值)及特征向量且这种迭代也较乘幕法稳定102朱广斌乘幕法与QR法的评注:这两种迭代法实际上有着密切的联系在一般的QR法中设。认=口心…口左一凡凡,一;…丑。由月~QR及月+】*=RQ得人+二以人仇一必心簇人一.Q一场,:,-…~余认1月由奋还是酉阵把上式拓广到带原点位移的QR法中得人+:一.5一)认余(A一凡I:由此得到下面这个包含QR法和乘幕法的基本关系式认瓦一(月一月。r)(月一s,了).…(月一召1)(‘)R。证用数学归纳法对k~0(,)式正是。带原点位移Q及的定义式假定上式对一认一瓦成立由关系式得:R=(滋+=一sr)以=余(月一凡z)认以讹(月一月凡瓦一:,r)奋卜用几一右乘上式两边得:一必(al)A一S卜瓦奋,一即介一必()吞卜介卜二A一凡I再两边左乘认得:认介一由归纳法得证考虑无位移的QR算法时即(月一sI)一一认瓦1s。~s-一8一。有。沛一众几可见认介实际上是对矛十的QR分解如果设认一伪护砂…砂)上三角阵豆的主对角元素分别为称,袱…袱单位阵I一(。1。2…护)。那么有瓦11=于,10.得到认的第一列由e,于奋l=心瓦=沌+,。,给出这样砂是对。,应用k次幂法而得到的向量如果月有一个占优特征值凡、且对应的特征向量不亏损则舀{“趋向于这个特征向量参口〕Da考文献的dsRatjswkn理解〔]2口〕AGGoayulznadGARQ算法应用数学与计算数学学报an1984年第5期wtos矩阵特征问题的计算方法上海科学技术出版社wStewrat矩阵计算引论上海科学技术出版社4〕曹志浩等编矩阵〔计算和方程求根高等教育出版社