001解一元二次含参不等式讨论依据

重庆市长寿中学校 罗扬 解一元二次含参不等式在高中数学教学中不仅仅是一个教学重点，还是一个教学难点。尤其在后面的含参导数中求解问题中常常碰到，而对于学生而言，这个知识点是一个怎么也弄不清楚的地方，即使老师一而再再而三的讲解。笔者网上翻看几篇一线教师写的一元二次含参不等式的教学论文，无疑就是首先讨论什么，再讨论什么，最后讨论什么的老生常谈，虽然笔者从事数学教育的时间不长，但对于解一元二次含参不等式的教学还是有所心得的，其实解一元二次含参不等式时什么时候讨论，哪个先讨论，哪个后讨论，讨论什么，都是有依据的，而依据来源就是解一元二次不等式的步骤。下面笔者就自身理解来说说解一元二次含参不等式的讨论依据，不对的地方望各位同仁多加指正。

首先我们来看解一元二次不等式的步骤：1保证二次项系数为正；2解该一元二次不等式对应方程的根；3口诀：大于在两边，小于在中间。

下面我们利用该步骤做讨论含参依据来看一道一元二次含参不等式的解法： 例1：解关于x的不等式:axx10

我们把其就当做一般的一元二次不等式来求解。那么就按照解一元二次不等式的步骤进行操作下去：

第一步，保证二次项系数为正。首先是“二次项系数”，那么对于axx1而言，就要看a是不是二次项系数，这个时候就要注意到a0与a0的情况，当a0时，该不等式就变成了一元一次不等式，当a0时，该不等式就要继续按照解一元二次不等式的步骤进行下去，首先肯定要考虑a0和a0的情形。

那么先来看当a0时，这样就保证了二次项系数为正，接下来就是第二步解该一元二次不等式对应方程axx10的根。这个时候自然而然就是看这个一元二次方程是否有根，随即就是来看14a与0的大小关系。首先看0即a22221时，一元二次方程无4解，那么对于fxaxx1而言，就是函数图像开口向上，并且与x轴没有交点，这样axx10的解集就为全体实数；接下来看0的时候，即a221时，不等式可以4112写成x10，解得x2；最后就是看0，即0a时，那么axx1042这个方程就有两根，x1114a114a,x2，随即转到第三步口诀，大于

2a2a在两边，这个时候就要注意到x1与x2的大小关系，由于a0,所以x1x2，因此此时

114a114a或xax2x10的解集就为xx。

2a2a既然a0的情况全部讨论完，那么就看a0的情况了。首先保证二次项系数为正，所以axx10，接下来第二步，解对应方程的根，由于14a0，所以该方程必有两根，x12114a114a,x2，接下来第三步口诀，这个时候就是

2a2a小于在中间，不过同样要比较x1与x2的大小关系，由于a0，所以x1x2，所以

114a114axaxx10的解集就应该为x。

2a2a解决完了例1这道题目，我们再来看这道题所牵涉到的对a的取值的讨论，按照解一元二次不等式的步骤来进行，第一步，第二步对a的取值的讨论完全浑然天成，自然而然。也

2就会发现解一元二次不等式的步骤完全可以当做成解一元二次含参不等式的讨论依据。下面我们再来看一道题，就会更加认同笔者的说法了。

例2：解关于x的不等式：axa1x10

2按照笔者所给出的讨论依据，第一步看有没有二次项系数，这个时候就是看a0与a0时，a0我们在这里就不说了，直接来看a0的时候，保证其为正，那么就应该来看a0时，这个时候就跳到了第二步，解对应方程的根，而这个含参不等式可以用十字相乘法来化成ax1x10，那么对应方程的根也就非常明显：x11,x21，随即a就是第三步口诀，小于在中间，这里就不同于例1中可以非常明显的比较x1,x2的大小了，

1x1,x2的大小是跟a的取值有关系的，所以接下里要做的事情就要讨论与1的大小关系了，

a首先来看

11即0a1时，不等式的解集就为x1xa11，当1时即a1时，aa不等式的解集就为，当

111，即a1时，不等式的解集就为xx1。 aa2当a0时，首先保证二次项系数为正，不等式化为axa1x10，第二步解得对应方程的根为x111,x21，然后就是口诀，大于在两边，由于a0，所以1，

aa所以这个时候不等式的解集为xx1或x1。 a做完例2，我们可以明确到一点，讨论重点主要落在了第一步讨论二次项系数与第三步

讨论两根大小上了，但是这些讨论只要按照笔者所给出的讨论依据来，什么时候讨论什么都

是顺其自然的，不需要去做什么记忆。当然前提是首先掌握最基本的一元二次不等式的解法步骤。

练习题

解下列关于x的不等式：

1x2ax10 2ax2a3x10 3ax11

x24ax212ax20