第6章热量传递概论与能量方程

第六章

1. 试根据傅立叶定律，推导固体或静止介质中三维不稳态导热的热传导方程。设导热系数为常数。

习题1 附图

应用于此微元体

解：如本题附图所示，将热力学第一定律得

（微元体内能的增长速率） =（加入微元体的热速率）

采用欧拉方法，上述文字方程可表述如下，即

QUdxdydzdxdydz （1）

•式中，为微元体的密度，dxdydz为微元体的体积，dxdydz为微元体的质量。

加入流体微元的热速率有三种：一为由环境导入微元体的热速率；二为微元体的发热

J/(m3s)q速率，用表示，其单位为；三为辐射传热速率，一般温度下其值很小，可忽略不

计。

由环境导入微元体的热速率，可确定如下。

A)x、(qA)y和(qA)z，由

A)xdydz，而沿

如图所示，设沿三个坐标方向输入微元体的导热通量分别为(q于微元体沿各方向的导热系数相等，则沿x方向输入微元体的热速率为(q方向输出微元体的热速率为

x

q()xxAq(A)xdxdydz

于是，沿x方向净输入微元体的热速率为

2tq(A)xdxdydzk2dxdydzxqq()xdydz()xAxAq(A)xdxdydzx

同理，沿y方向净输入微元体的热速率为

y2tq(A)ydxdydzky2dxdydz

沿z方向净输入微元体的热速率为

2tq(A)zdxdydzk2dxdydzz

z于是，以导热方式净输入微元体的热速率为

2t2t2tk(222)dxdydzxyz

由于向微元体中加入的热速率为导热速率与微元内部发热速率qdxdydz之和，故式（1）右侧可写为

Q2t2t2tdxdydzdxdydzk()dxdydzq222xyz•

从而能量方程的形式为

U2t2t2tk()q222xyz

又

Uttcvcp

故

tkq2tcpcp （2）

1t或（3）

2tqk

式（2）或（3）即为固体或静止介质中三维不稳态导热时的热传导方程。

2. 某不可压缩的粘性流体层流流过与其温度不同的无限宽度的平板壁面。设流动与传热均为稳态过程，壁温及流体的物性值恒定。试由普遍化的能量方程式（6-22）出发，简化成上述情况下的能量方程，并说明简化过程的依据。

解：

① 无内热源，式（6-22）中的q=0；

② 层流流动，因速度较低，可假设=0；

uxuyuz0③ 不可压缩流体流动，故xyz。

于是式（6-22）可简化为

DUk2tD

（1）

根据定义，上式中的U可表示为

Ucvt

式中，则当

cpcv为定容比热容，对于不可压缩流体或固体，

cv与定压比热容

cp大致相等，

为常量时，式（1）变为

cpDtk2tD

（2）

或（3）

Dt2tD

式中，

kcp

则（4）

Dt2tD

④平面二维流动，uz0

2tt002zz⑤板壁无限宽， ，

则式（4）变为

ttt2t2tuxuy(22)xyxy （5）

稳态过程

tt2t2tuxuy(22)yxy （6） x3. 有一厚度为L(x方向)的固体大平板，其初始温度为t0，突然将其与x轴垂直的两端面的温度升至ts，并维持此温度不变。已知平板内只发生沿x方向的导热。试由一般化的热传导方程式（6-27）出发，简化成上述情况下的热传导方程，并写出定解条件。

解：热传导方程式（6-27）为

1tq2tk ••① 固体平板内无热源， q0

2t2ttt2002② 平板内只发生x方向的导热，y，z，yz

从而热传导方程化为

t2t2x

定解条件为

0 , tt0（对于任何x）；

x0 , tts（0）；

xL , tts（0）

4. 试由柱坐标系的能量方程（6-31）出发，导出流体在圆管内进行稳态轴对称对流传热时的能量方程，并说明简化过程的依据。设z»r。

解：能量方程（6-31）为

1t12t2tDt(r)222rrrrz〕 D〔

t0① 稳态，

2tt002② 轴对称， ，

2ttt02r z③ zr z

∴

urtt1tuz[(r)]rzαrrr

5. 一球形固体内部进行沿球心对称的稳态导热，已知在两径向距离r1和r2处的温度分别为t1和t2。

（1） 试将球坐标系的能量方程（6-32）简化成此情况下的能量方程，并写出边界条件；

（2） 试导出此情况下的温度分布方程。

解：球坐标系系的能量方程为

12tDt1t12t2(r)2(sin)22Drrrrsinrsin2 tDt0,uruu00D① 固体稳态导热，即

tt2t2t0,220② 球心对称，

2t(r)0rr∴

由于导热只沿径向进行，从而能量方程化为

d2t(r)0drr

边界条件为

rr1,tt1；

rr2,tt2

上述方程积分，得

CC1r

t代入边界条件，得

t2t1trtrC122111/r11/r2 ，r2r1

Ct即

t2t11t2r2t1r111rr2r1t2t1r1r2t2r2t1r1r2r1(r2r1)rr2r1

6. 食物除了提供人体所需的营养物质外，主要是产生能量以维持必要的体温和对环境

做功。考虑一个每天消耗2100kcal的人，其中2000kcal转化为热能，100kcal用于对环境做功。

（1）人处于20 ℃，人的皮肤与环境的对流传热系数为3 本上不出汗。计算人的皮肤的平均温度。

W/(mK)2，在此温度下人基

（2）如果环境温度为33 ℃，皮肤感觉舒适的温度也为33 ℃，试问为维持该温度，出汗的速率为多少？

已知人的表面积为

05.671081.8m2，皮肤的黑度0.95，斯蒂芬-玻尔兹曼常数

3W/(mK)24，水的物性为994kg/m，蒸发潜热2421kJ/kg。

解：(1) 人的发热速率为

E(2000103)4.184/(246060)96.9W

稳态条件下，人的发热速率等于因对流和辐射传递到环境中的热速率，即

EhA(tstb)0A(ts4tb4)

或

496.931.8(ts293)0.955.671081.8(ts2934)解之得 ts299K26℃

由于皮肤感觉舒适的温度为3235℃，所以当环境温度为20 ℃时，需要穿较暖和的衣服。

(2) 当环境温度为33 ℃，如果皮肤也为33 ℃，则人与环境间的对流传热和辐射传热为零，此时所有产生的热量均需由汗带走，即

Em

E96.92421103

则

m 4105kg/s

此即单位时间排汗的质量流率，假定每天维持33℃环境温度的时间是8小时，则每天的排汗量为

4105836001.15kg

31.8(299293)196.93，辐射产生讨论：（1） 对流产生的热损失约占总热损失的比例为

2的热损失约占总热损失的3，因此尽管温度不适很高，但忽略辐射散热是不合理的，特别

是当对流传热系数较小时，更是如此。(2)当1天中有8小时环境温度为33℃时，人就会损失1.2kg的水分，这就证明了在闷热的天气补充足够水分的重要性。