线路中边桩坐标计算的通用数学模型

2023-01-20 来源：易榕旅网

第2期矿　山　测　量No12

2006年6月MINESURVEYINGJun12006线路中边桩坐标计算的通用数学模型

杜　宁,王　莉

(贵州大学矿业学院,贵州贵阳　550003)

摘要:文中推导出适用于各种曲线线形的中边桩坐标计算的通用数学模型,并以实例加以验证,从而使得不同的曲线类型能在一个统一的数学模型下得到解算,利于编程。

关键词:曲线元;中边桩坐标;通用;公式中图分类号:TB22　　　文献标识码:B　　　文章编号:1001-358X(2006)02-0023-03　　现代道路平面线形由平面线形三要素———直线、圆曲线和缓和曲线构成。直线———曲率为零的线形;圆曲线———曲率为常数的线形;缓和曲线———曲率为变数的线形。传统的计算方法为不同的线形采用不同的计算模型,并且常用的文献[1]中的缓和曲线计算公式无法完成如卵形曲线、“水滴形”曲线、D匝道等构形中的非完整缓和曲线段的坐标计算。文献[2]中虽然给出了非完整缓和曲线段的中桩坐标计算公式,但通用性不好,仍需按小曲率到大曲率方向进行计算,且模型不统一。为此,笔者从曲线元的曲率变化出发,推导出适用于各种曲线线形的中边桩坐标计算的通用数学模型。1　线路中桩坐标计算的通用公式

定。k=kA+

lkABlS

(1)

式中:kA为曲线元起点A的曲率;kB为曲线元终点B的曲率;

kAB=kB-kA。

式(1)具体使用时按以下公式确定各曲率:a、直线:k=kA=kB=kAB=0。b、圆曲线:kA=kB=

、kAB=0,R———圆曲线

半径。

c、完整缓和曲线(与直线相接的缓和曲线):A

1RB

点与直线相接时,kA=0、kAB=kB=,RB———B点

如图1所示,A为曲线元的起点,B为终点,lS为曲线元的弧长,i点为曲线元上任意一点,其距A点的

弧长为l。建立以A点为原点,A点切线方向为x轴的过渡坐标系x-A-y。X-O-Y坐标系为线路统一坐标系。

处圆曲线半径;B点与直线相接时,kA=

kAB=-

1RA

、kB=0、

1RA

,RA———A点处圆曲线半径。

d、非完整缓和曲线(两端与圆曲线相接):kA=1RA

、kB=

1RB

、kAB=

1RB

1RA

,RA、RB———A、B点处圆曲

线半径。

β存在如下关系:图1中微分弧长dl与微分角dβ=kdl=(kA+d则β=

lkAB)dllS

(2)

∫

(kA+

lkAB)dllS

对上式求定积分,可求得曲线元上任意点i的切

图1　曲线元与坐标系

线角计算公式如下:

β=kAl+

kAB

111　曲线元上任意点i的切线角计算公式

曲线元上任意点i的曲率k可由式(1)唯一确

　　3基金项目:贵州工业大学校科研基金资助

2lS

(3)

112　曲线元上任意点i在过渡坐标系x-A-y中的

坐标计算公式

第2期　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　矿　山　测　量　　　　　　　　　　　　　　　　　　2006年6月

如图1,在x-A-y坐标系中,曲线元上任一微分弧段dl与对应dx、dy之间有如下关系式:

β・dldx=cos

(4)

β・dldy=󰂚sin

式中:“󰂚”表示曲线元左偏时取“-”号,右偏时取“+”号(下同)。

坐标可由下式求得:

x=y=

β・dlcos

∫

β・dl󰂚sin

∫

(5)

ββ按级数展开将式(3)代入式(5),并将cos、sin至前3项,求定积分,经合并整理后可得:

故,在x-A-y坐标系中,曲线元上任意点i的

242232234

(kAlS-3kAB)5kA3kAkAB4kAkAB6kAKAB7kAKAB8kAB9

x=l-l-l+l+l+22l+3l+4l68lS72lS120ls112ls384lS3456lS

y=󰂚

kAB3kA4kAkAB5kA(kAlS-15kAB)6kAB(kAlS-kAB)7kAkAB8

l+l-l-l+l+l+232l26lS2420lS720lS336lS384lS

kAkAB2

(6)

864lS

kAkAB4

3840lS

4l10

kAB542240l

l11113　曲线元上任意点i在线路统一坐标系X-O-Y中的坐标计算公式

由坐标系变换公式

[1]

,即可得曲线元上任意点i

标方位角为43°28′4213″,其它数据见表1。设左右

边桩至中桩的距离均为10m。

应用式(6)、式(10)编程计算的各桩号的中边桩坐标见表2。

在线路统一坐标系X-O-Y中的坐标计算式为:

ααX=XA+x・cosA-y・sinA

ααY=YA+x・sinA-y・cosA

(7)

式中:

XA、YA为曲线元起点A在线路统一坐标系X-O-Y中的坐标;αA为曲线元起点A处切线方向在线路统一坐标系X-O-Y中的坐标方位角。2　线路边桩坐标计算的通用公式

线段名称

OAABBCCDDEEFFG

图2　D匝道表1　D匝道起算数据曲线元性质直线完整缓和曲线圆曲线非完整缓和曲线

圆曲线完整缓和曲线

直线

曲线元长度及两端点

曲率半径(m)

D=56117L=671500L=511099,R=120

L=631021L=1101227,R=320

L=1011250D=601733

如图1所示,曲线元上任意点i处切线方向在线路统一坐标系X-O-Y中的坐标方位角计算式为:

α=α(8)A󰂚β

由中桩到线路左、右边桩的坐标方位角分别为:α左=α-90󰂼(9)α右=α-90󰂼

得边桩坐标计算的通式为:

αX边=X-f・DsinαY边=X+f・Dcos(10)

5　结　语

式中:

f为符号函数,计算左边桩坐标时取“-”号,右边桩坐标时取“+”号;D为中桩至边桩的距离。3　算　例

综上所述,本文所推导出的线路中边桩坐标计算公式,为各种曲线元类型下的坐标计算的通用数学模型,在计算回旋曲线时,起点的曲率既可以比终

点的曲率小,也可以比终点的曲率大。因此,在线路坐标计算时,实现了按线路前进方向进行计算的目的,利于编程,具有较高的实用性与广阔的应用前景。

某高速公路D匝道的线形如图2所示。O点的坐标为O(2931593m,2601585m),直线段OA的坐24

第2期　　　　　　　　　　　　　　　杜宁等:线路中边桩坐标计算的通用数学模型　　　　　　　　　　　2006年6月

表2　D匝道中边桩坐标

曲线元性质直线O

桩号

O　0+380　　

0+400A　0+436117A　0+436117

0+470B　0+5031670B　0+5031670

0+530C　0+5541769C　0+5541769

0+590D　0+6171790D　0+61717900+680E　0+7281017E　0+7281017

0+790F　0+8291267F　0+8291267

0+850G　0+890

中桩坐标(m)

左边桩坐标(m)

右边桩坐标(m)

完整缓和曲线

圆曲线

非完整缓和曲线

圆曲线

完整缓和曲线

直线

293159330811063341352334135235813403781617378161738913563941464394146439315923881016388101636615213421451342145130316162761825276182526215592351036260158527413472991235299123532310793491880349188037318633981054398105443311884601396460139651816705601167560116760814156371121637112165211666811191300147431419863411233341123336517163871241387124139818754041409404140940314973971690397169037515233501701350170131110342841081284108126918152421292253132926710902911978291197831613273441819344181937018003971008397100843415584621930462193052310255651818565181861511216441002644100265910466881072286171230112253271471327147135019643691992369199237918363841519384151938316863781342378134235715193341204334120429611982691568269156825513032271779267184128116033061491306149132918323541942354194237619263991101399110143118184571862457186251413155541515554151560117096301240630124064512856741310

　　注:表中仅摘录部分数据。　　参考文献:

[1]　李青岳,陈永奇1工程测量[M]1北京:测绘出版社,19951[2]　彭福坤,彭庆1土木工程施工测量手册[M]1北京:中

测绘通报,2001,(2)1

作者简介:杜宁(1969-),男,湖北天门人,副教授,主要从事测量数据处理及工程测量的教学与研究。

(收稿日期:2005-11-02)

国建材工业出版社,20021

[3]　杨存吉,李全信1线路中线测设的统一数学模型[J]1(上接第17页)

Ca4P2O9,也具有枸溶性。其中除含有硅、钙、磷、钾

性能,有利于提高稻谷品质,缩短成熟期,增产效果一般为10%左右。

(3)粉煤灰磁化肥以粉煤灰为原料,按不同作物和土壤的需要,配加一定比例韵N、P、K成分,在强磁场内处理,可以制得粉煤灰磁化肥。此种肥料具有调节生物生长的磁性,能够刺激作物生长、活化土壤并改善其结构,因而获得作物增产。其施用量不大,一般等同于普通商品化肥。

(4)粉煤灰磷肥

利用电厂旋风炉,在煤粉中掺入一定比例的磷灰石粉,经过高温煅烧和急冷处理,最后再经粉碎,可制得粉煤灰磷肥。此种肥料的主要营养成分为

外,还含有植物生长所需的微量元素,对作物、蔬菜、食用菌类都有增产效果。6　结　论

通过对粉煤灰的形成、化学组成、矿物组分及物理性质和品质指标的分析,可认为:对有条件的企业应提倡利用粉煤灰做建筑材料(配制水泥及混凝土)和农业利用(改良土壤和制备化肥)。不应建永久储灰池,少用来充填采煤塌陷地,以避免对环境造成二次污染。在合理利用粉煤灰的同时,避免给其周边环境带来污染。

(收稿日期:2005-11-10)

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