一、 教学内容分析
一元二次方程的求解是初中代数学习中非常重要的一部分，而直接开平方法 则是解一元二次方程的基础方法，它看似简单，却不容忽视.
教材曲浅入深地呈现问题，实际背景引入T从已有经验中总结解方程的一般 思想方法(化归为一元一次方程)T类比解二元一次方程组的消元法得到解一元 二次方程的思路(降次)，即从简单、具体、特殊的一元二次方程(如x2=169, 10x6x^1500； (2X-1)2=5等)入手探索降次的一般方法(直接开平方法).
其中，方程/二p, (mx+n)2二p的解法具有奠基作用，特别是对p的分类讨论， 蕴含了对判别式的分类讨论，所以要认真体会分类讨论是山平方根的运算法则决 定的.进一步再探究用直接开平方法解形如(mx+n)2 = (qx + k)2 , mx'+2mnx+n‘二p 的一元二次方程.整个探究过程，非常好地渗透了整体、转化和分类讨论的数学 思想.
因此这不仅是为后续学习打下坚实基础的一节课，更是让学生体验并逐步掌 握相关数学思想方法的一节课. 二、 学情分析
学生已经学习了数的开方，知道平方根的意义，学习了一元一次方程的解法 和实际应用，知道可以利用运算律、等式的基本性质，通过去括号、移项、合并 同类项等求解•学生还学过二元一次方程组以及三元一次方程组的解法和实际应 用，知道可以通过消元将它们转化为一元一次方程.这为学生学习解一元二次方 程打下了方法基础.通过类比学习，学生可以很自然地接受解一元二次方程的降 次思想.
与一元一次方程、二元一次方程组的解法相比，一元二次方程的解法涉及更 多的知识，学生可以根据方程的具体特点，选择相关的知识和方法进行求解.这 为培养学生的思维品质，特别是思维的敬捷性、灵活性、深刻性，提供了很好的 机会. 三、 教学目标
1. 理解直接开平方法解一元二次方程的依据是平方根的意义. 2. 会用直接开平方法解形如x-p, (mx+n)2二p的一元二次方程.
3. 会用直接开平方法解形如(mx+n)2 = (qx + k)2 , mx，+2mnx+n'二p的一元二 次
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方程.
4. 通过对直接开平方法的探索，体会整体、转化、降次、分类讨论的基本思 想. •重点难点
根据平方根的意义，会用直接开平方法解形如X?二p, (mx+n)-p的一元二次 方程；会用直接开平方法解形如(mx+n)2 = (qx + k)2 , mx'+2mnx+二p的一 元二次方程. 四、评价设计 学习评价量表
标准 会用直接开平方法解形如/二p的方程，会求出PNO时的根 等级 A x= 土& 能利用整体的数学思想，会用直接开平方法解形如(mx+n)2二p 的一元二次方程 能利用整体的数学思想，会用直接开平方法解形如(mx+n)2 = A B (qx + kF的一元二次方程 能将形如mx'^mnx+n-p的一元二次方程的左边转化为完全平 方式，用直接开平方法求解 五、教学活动设计
B 教学环节 教师活动 创设情境 理解方法 教学活动 学生活动 设计意图 回顾一元二次 问题1列方程解决下面 的问题： 学生列出方程： (1) X2=169； 方程的概念； 初步体会求解 (1)学校计划在运动场 2 / 9
搭建一个面积为169 m?的（2） 10X6X2=1500 一元二次方程 的实质就是降 次，以及降次 的基本手段就 是正方形舞台，请 问：这个回顾已经学过的方 程舞台的边长将 会是多少米？ 类型. 对于方程（1）,联 系以前学过的平方 根的直接开平 方；认（2） 一桶油漆可刷的面 概念（若昭二a 2识到一 元二次积为1500 dm,李林用 这桶油漆恰好刷完10个 同（a>0）,则x叫做a 方程是 刻画某些实际 问题中数量关 系的模型，体 会学习一元二 次方程的样的正方体形状的盒 子的的平方根，记作X 土全部外表面，你能 算出盒进行求解；将 子的棱长吗？ 提问：如何（2）转化为（1）列方程？列 出的是什么方的 形式,总结遇到这必要 性；解决问样 形式的方程可利用 程？如何 求方程的解？ 平方根的意义，直接 题 的过程中要开平方求根. 注 意方程的解与 实际问题的一 致性. 用开平方法解 形如宀P的 方上述两问题中所列出的 方程有什么共同的特点 呢？求解的过程中有什 么在老师的引导下，归 总结提升 形成规律 共同的方法吗？ 求解的依纳出求解流程图： 据是我们前面 学过的什么知识？求解 的过程中应注意什么？ 引导学生归纳出上述方 程的特点以及求解的流 程. 程有三种情 况，学生自己 归纳有难度， 教师要在学生 具体感知的基 础上进行具体 概括，通过两 个环节进行探 究旨在培养学 生探究一1 （ a^O 1 I 般规 3 / 9
律的能力. 在上述解X?二p的基 础上，先将方程转化 为(ax+b)2=c (a^O) 的形式，将左边看作 整体，再用直接开平 方法求解 归纳：对于形如 问题2对照上面解形如 (ax+b )2=c 的一元 X?二p方程的过程，你认 二次方程. 为应该怎样解方程 (2X-1)=5, 应用提升 问题拓展 提问：如何解方程16 (2X+1)2= (x-3)2? x +6x4-9=16 ? 22当c20时，方程有实 数根，若c〉0,方程 的两个实数根不相 等，分别为 -b +逐 X]= ---------- , a 深入探究问 题，要有将一 个新问题转化 为熟悉的问题 的意识，让学 生体会其中蕴 含的整X 厂 一bM；若 c二体思想 以及转0, ■ 化的思 想. 归纳上述方程的形式及 a 方程的两个实数根 相等，为Xj=X,= - — a 当c<0时，方程没有 实数根. 对于方程 16(2x+l)2= (x-3)2 ，将左右两边都看作 整体，再按问题2的 解法. 解法求解即可. 4 / 9
1•先独立完成各题， 再互相纠错，弄清原 练习1用直接开平方法 解下列一元二次方程：
(1) (2X-1)2=5；
因，将方程(2x-l )2 二5中的2xT看作一 个整体，根据平方根 的概
(2) (x+2)2二0； 念，得到2x-l=- 这样，(3) x'+4二0： (4 )
(x-3)2；
16(2x+l)2 二
我们只需 解2x-l=>/5 ,2x-l=- 巧这两个一元一次 方程.
对于方程(X-2)2 二0,检验学生对直
(5) x'+6x+9二 16. 根据平方根的概 念可接开平方法解 在练习1中，教师应关注
知x+2=±J市， 此时方
一元二次方程 的掌握情况， 同时检验学生 对整体思想以 及完全平方公 式的掌握程 度. 巩固方法 加深理解
学生对整体思想的运 用，程有两个相 等的实数以及对平方根的理 解. 练习2将下列一元二次
根X|二X2 二-2.
方程转化为形如 (mx+ n)2对于方程X2+4=0, 二p的形式，再 利用直接开平方法求 解.
将其变形为x?二-4.
我们发现，根据平方 (1) xJlOx+25二0； (2) 4X+16X+16=1； (3) x2
x + —=1；
2
根的概念，任何一个 实数的平方都不可 能是负数.也就是 说，没有
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一个实数能 使得方程左右两边 相等,所以此方程没 冇实数根.
(4) 9X2+6X+1=9.
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方程.(4)可以变形 为［4(2x++l)『二x- 3)2,直接开平方后 可以化为4(2x+l) = ±(x~3). 方程(5)的左边不 是完全平方式，但 X2+6X+9可以变 形为(x+3)2,从而 将方程 x2 +6x+9=16 转化为(x+3)2 二 16, 再利用直接开平方 法求解. 2.学生独立完成，教 师巡视，实时点拨： (1) (X+5)2=0； (2) (2X+4)2=1； (3) (x丄Fl； 4 (4) (3X+1)2=3. 请学生总结本节课所学 归纳小结 反思其他方程的解法，谈 一谈提高 对一元二次方程解 法的认识. 总结：学习了形如 通过对本节课 方程形式及对 应解法的总 结，进一步加 深对本节课内 容的理解，同 内容，通过对比之前所 学x2=p, (m+n)2 二p, (mx+n)2-(qx + k)2 , mx2+2mnx+n2=pi2 儿类一元二次方程 6 / 9
的解法，依据的都 是时对解一元二 次平方根的概念， 将它们直接开平方 求解，方程的策略 降次，有 共同点是最 终都转化感性的认识， 为解一元 一次方程，为后续的学习 策略是 通过开平方降打下基础，同 次. 时培养学生的 概括能力. 六 .板书设计
直接开平方法解一元二次方程
直接开平方法：
将形如ax2+c二0的一元二次方程 变形为X?二p,利用平方根的概念
得到P20时一元二次方程的解：x二土例2：… x2 二p ◄ ------------ (m+n )2 二p
例1: •
(mx+n )2 = (qx+k)2 mx2 +2mnx + n2=p
七、达标检测与作业
A级
1.用直接开平方法解下列一元二次方程： (1) 4x2-9二0；
(2) 3x2-1 二5；
(3) (2x+l)2二6；
(5) (x-2)2+8=0； (4) (x+l)2=O；
(6) 1(3X-1)2-8=O；
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(7) 4(X+1)2 = (X-1)2； (8) X2+10X+25=3.
B级
2.将下列一元二次方程转化为形如(ax+b)?二c的形式，再利用直接开平方法 求解.
(1) X2+4X+4=2；
(2) x2+x+l=l；
4
(3) x2-6x+9=3；
(4) x2+3x+-=l.
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3•某渔船出海捕鱼，2016年平均每次捕鱼量为10 t, 2018年平均每次捕鱼量 为&1 t,求这两年平均每次捕鱼量的年平均下降率.
4.若方程（x・a）2二b的解是x产1和X2=3,求d与b的值.
C级
5.解下列关于x的一元二次方程. (1) (2x-b)2=5；
(2) (ax+3)2 =4；
(3) (x+l)2=c.
八.教学反思
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这节课以学生的原有知识结构为增长点和发展点，符合学生的认知规律，以 学生为主体进行教学.问题的难度呈阶梯形递增，由一元二次方程X?二p到 (mx+ n)2 二p再到(mx+n)2 = (qx + k)2 , mx'+2mnx+n'=p,整个探究过程非常好地 渗透了整体、转化和分类讨论的数学思想.整节课课堂结构严谨，教学内容山浅 入深；在课堂教学中渗透转化的数学思想，通过合作学习、师生互动探究的方式 来完成教学任务；教师积极鼓励学生学习，抓住学生的闪光点及时进行评价，并 且激励学生探索新知，学生也练得很扎实；多次借助预设错误，造成学生的认知 冲突让学生形成能力；分层教学对于优等生、待优生和潜能生有很好的激发学习 兴趣、提高做题信心的作用，教学效果良好.
需要改进的地方：应该给基础薄弱的学生足够的时间，让他们自己探究，而 不是被中等及以上水平的学生掩盖或代替了他们真实的学情.否则学困生体验不 到学习的乐趣，长时间就会造成学习懈怠.
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