指数函数和对数函数·对数函数·例题
[ ]
解 A
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A．R B．(-∞，-3] C．[8，+∞) D．[3，+∞) 解 B
例1-6-26 若f(x)=loga|x+1|在(-1，0)内f(x)＞0，则f(x) [ ]
A．在(-∞，0)内单调递增 B．在(-∞，0)内单调递减
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C．在(-∞，-1)内单调递减 D．在(-∞，-1)内单调递增
解 D 依题设，f(x)的图象关于直线x=-1对称，且0＜a＜1．画出图象(略)即知D正确．
例1-6-27 已知函数f(x)是奇函数，且当x＞0时，f(x)=x2+lg(x+1)，那么当x＜0时，f(x)的解析式
是 [ ]
A．-x2-lg(1-x) B．x2+lg(1-x) C．x2-lg(1-x) D．-x2+lg(1-x) 解 A 设x＜0，则-x＞0，所以 f(-x)=(-x)2+lg(-x+1)=x2+lg(1-x)=-f(x) f(x)=-x2-lg(1-x)
例1-6-28 函数y=5x+1的反函数
是 [ ]
A．y=log5(x+1) B．y=logx5+1 C．y=log5(x-1) D．y=log(x-1)5 解 C
解 (1)奇函数．
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∴ f(x)为奇函数
(2)3.373 因为ψ(x)=x2+f(x)，又由(1)知，f(x)为奇函数，所以f(-2)=-f(2)．所以
ψ(-2)=(-2)2+f(-2)=2×22-(22+f(2)) =8-ψ(2)=8-4.627=3.373
例1-6-31 若1＜x＜2，则(log2x)2，log2x2，log2(log2x)的大小关系是______．
log2(log2x)＜(log2x)2＜log2x2
(1)判断f(x)的奇偶性；
(2)已知f(x)存在反函数f-1(x)，若f-1(x)＜0，求x的取值范围．
另一方面，有
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所以f(x)是奇函数．
故当a＞1时，x＜0；当0＜a＜1时，x＞0．
例1-6-33 已知常数a，b满足a＞1＞b＞0，若f(x)=lg(ax-bx)， (1)求y=f(x)的定义域；
(2)证明y=f(x)在其定义域内是增函数；
(3)若f(x)恰在(1，+∞)上恒取正值，且f(2)=lg2，求a，b的值．
(2)任取x1，x2∈(0，+∞)，且x1＜x2．
因为a＞1，所以g1(x)=ax是增函数，所以ax1-ax2＜0．
故f(x)=lg(ax-bx)在(0，+∞)内是增函数．
(3)因为f(x)在(1，+∞)内为增函数，所以对于x∈(1，+∞)内每一个x值，都有f(x)＞f(1)．要使f(x)恰在(1，+∞)上恒取正值，即f(x)＞0只须f(1)=0．于是f(1)=lg(a-b)=0，得a-b=1．
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又f(2)=lg2，所以lg(a2-b2)=lg2，所以a2-b2=2，即(a+b)(a-b)=2．而a-b=1，所以a+b=2．
例1-6-34 设0＜x＜1，a＞0且a≠1，试比较|loga(1-x)|与|loga(1+x)|的大小．
解 作差比较．
因为0＜x＜1，所以0＜1-x＜1，1＜1+x＜2，0＜1-x2＜1．
当a＞1时，|loga(1-x)|=-loga(1-x)，|loga(1+x)|=loga(1+x)．所以 |loga(1-x)|-|loga(1+x)|=-loga(1-x)-loga(1+x) =-loga(1-x2)＞0
即 |loga(1-x)|＞|loga(1+x)| 当0＜a＜1时，
|loga(1-x)|=loga(1-x)，|loga(1+x)|=-loga(1+x) 所以 |loga(1-x)|-|loga(1+x)|=loga(1-x)+loga(1+x) =loga(1-x2)＞0
即 |loga(1-x)|＞|loga(1+x)| 注 本例也可用作商比较法来解． 例1-6-35 设对所有实数x，不等式
恒成立，求a的取值范围．
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解 根据题意，可知原不等式(关于x的二次不等式)应满足下列条件：
例1-6-36 设函数f(x)=log2[(3-2k)x2-2kx-k+1]，求使f(x)在(-∞，0)内单调递减，而在(1，+∞)内单调递增的所有实数k组成的集合M．
必须有g(x)＞0，3-2k＞0，且g(x)的图象的对称轴与x轴的交点的横坐标必须属于[0，1]．于是k确定于不等式组
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例1-6-37 在函数y=logax(0＜a＜1，x≥1)的图象上有A，B，C三点，它们的横坐标分别是m，m+2，m+4．
(1)若△ABC面积为S，求S=f(m)； (2)判断S=f(m)的增减性；．
解 (1)由A，B，C三点分别向x轴作垂线，设垂足依次为A1，B1，C1，则
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