7-7-5. 容斥原理之最值问题
教课目的
1. 认识容斥原理二量重叠和三量重叠的内容； 2. 掌握容斥原理的在组共计数等各个方面的应用．
知识重点
一、两量重叠问题
在一些计数问题中，常常碰到相关会合元素个数的计算．求两个会归并集的元素的个数，不可以简单地把
两个会合的元素个数相加，而要从两个会合个数之和中减去重复计算的元素个数，即减去交集的元素个数， 用式子可表示成：
A U B A B
“I ”
A I B (此中符号 “U ”读作 “并 ”，相当于中文 “和 ”或许 “或 ”的意思；符号
读作 “交 ”，相当于中文 “且 ”的意思． )则称这一公式为包括与清除原理，简称容斥原理．图示以下 : A 表示小圆 部分， B 表示大圆部分，
C 表示大圆与小圆的公共部分，记为： C 表示大圆与小圆的公共部分，记为：
A I B ，即暗影面积．图示以下 A I B ，即暗影面积．
: A 表示小圆
部分， B 表示大圆部分，
1． 先包括—— A B
重叠部分 A I B 计算了 2 次，多加了 1 次；
包括与清除原理告诉我们，要计算两个会合 第一步：分别计算会合
A、B 的并集 A U B 的元素的个数，可分以下两步进行：
A B (意思是把 A、B 的全部元素都 “包括 ”进
A、B 的元素个数，而后加起来，即先求
来，加在一同 )；
第二步：从上边的和中减去交集的元素个数，即减去
C
A I B (意思是 “清除 ”了重复计算的元素个数 )．
二、三量重叠问题
A 类、 B 类与 C 类元素个数的总和 A类元素的个数 B 类元素个数 C 类元素个数 既是 A 类又是 B 类
的元素个数 既是 B 类又是 C 类的元素个数 既是 A 类又是 C 类的元素个数 同时是 A 类、 B 类、 C 类的元素个数．用符号表示为： A U B U C A B C A I B B I C A I C A I B I C ．图示以下：
图中小圆表示 A 的元素的个数，中圆表示 B 的元素的个数，
1．先包括：
重叠部分
A B C
A I B 、B I C 、C I A 重叠了 2次，多加了 1 次．
容斥原理之最值问题
2 ．再清除： A B C A I B B I C A I C
容斥原理之最值问题
在解答相关包括清除问题时，我们常常利用圆圈图
(韦恩图 )来帮助剖析思虑．
例题精讲
【例 1】
“走美 ”主试委员会为三～八年级准备决赛试题。每个年级级都不一样。假如每道题出此刻不一样年级，最多只好出现试题。
【难度】 4 星
9 题
【题型】填空
12 道题，而且起码有 8 道题与其余各年
道决赛
3次。本届活动起码要准备
【考点】容斥原理之最值问题
【重点词】走美杯， 4 年级，决赛，第
【分析】 每个年级都有自己 8道题目，而后能够三至五年级共用
4 道题目，六到八年级共用 4 道题目，总合有
8 6 4 2 56（道）题目。
【答案】 56 题
【例 2】
将 1～13 这 13 个数字分别填入以下图的由四个大小相同的圆切割成的 圆内的 7 个数相加，最后把四个圆的和相加，问：和最大是多少？
【难度】 4 星
【题型】填空
13 个地区中，而后把每个
【考点】容斥原理之最值问题
【分析】 越是中间，被重复计算的越多，最中心的地区被重复计算四次，将数字按从大到小挨次填写于
被重复计算多的区格中，最大和为：
13×4+（ 12+11+10+9 ） ×3+（ 8+7+6+5 ） ×2+ （4+3+2+1 ） =240.
【答案】 240
【例 3】 如图， 5 条相同长的线段拼成了一个五角星．假如每条线段上恰有 这个五角星上红色点最罕有多少个
?
【题型】填空
1994 个点被染成红色，那么在
【考点】容斥原理之最值问题
【难度】 4 星
【分析】 以下列图，下列图中 “d ”地点均有两条线段经过，也就是交点，假如这些交点所对应的线段都在 “d ”地点
恰 有 红 色 点 ， 那 么 在 五 角 星 上 重 叠 的 红 色 点 最 多 ， 所 以 此 时 显 现 的 红 色 点 最 少 ， 有
1994 ×5-(2-1) 10=9960× 个．
【答案】 9960
【例 4】 某班共有学生 48 人，此中 27 人会游泳， 33 人会骑自行车， 40 人会打乒乓球．那么，这个班起码 有多少学生这三项运动都会？
【难度】 4 星
【题型】填空
【考点】容斥原理之最值问题
【分析】（法 1）第一看起码有多少人会游泳、自行车两项，因为会游泳的有
而总人数为
27 人，会骑自行车的有 33 人，
48 人，在会游泳人数和会骑自行车人数确立的状况下，两项都会的学生起码有
27 33 48 12人，再看会游泳、自行车以及乒乓球三项的学生人数，起码有
该状况能够用线段图来结构和表示：
12 40 48 4 人 .
容斥原理之最值问题
23|24 27|28
27 人
0|1
15|16
48|
48 人
总人数
游泳 自行车
33 人 40 人
x 人，只会两项的有
游泳
（法 2）设三项运动都会的人有 那么依据在统计中会 3x 2 y z x
y
z 0
x, y, z
27 48
y 人，只会一项的有
z 人，
n 项运动的学生被统计 n 次的规律有以低等式： 33 40
由第一条方程可获得 z 100 3x 2 y ，将其代入第二条式子获得：
y 52L L L L ① x y 48 ，即 2x y
100 2 x y 48 ，即 2 x 而第二条式子还可以获得式子
48 xL L L L ②
联立 ① 和 ②获得 48 x 52 ，即 x
【答案】 4
4 ．可行状况结构同上．
【稳固】某班有 50名学生，参加语文比赛的有 28人，参加数学比赛的有
人最多参加两科，那么参加两科的最多有 人． 【考点】容斥原理之最值问题
【难度】 4 星
【题型】填空
23 人，参加英语比赛的有
20人，每
【分析】依据题意可知，该班参加比赛的共有
加 2 科的，有参加 1 次尽可能多地重复，而
28 23 20 71 人次．因为每人最多参加两科，也就是说有参
71 人次．要求参加两科的人数最多，则让这
科的，也有不参加的，共是 71 人
71 2 35L L 1 ，因此至多有 35 人参加两科，此时还有
1 人参加 1 科．
那么能否存在 35 人参加两科的状况呢？因为此时还有 一科，那么可知此时参加语文、数学两科的共有 有 28 15 13人，参加数学、英语两科的共有 数学两科， 13 人参加语文、英语两科， 不参加．查验可知切合题设条件．因此
1 人是只参加一科的， 假定这个人只参加数学
20) 2
15 人，参加语文、英语两科的共
15 人参加语文、 1 科，还有 14 人 35 人．（自然此题
(28 22
20 13 7 人．也就是说，此时全班有
1 人只参加数学
7 人参加数学、英语两科，
35 人是能够达到的，则参加两科的最多有
中也能够假定只参加一科的参加的是语文或英语）
【答案】 35
【稳固】 60 人中有
2
的人会打乒乓球，
3 的人会打羽毛球，
4 的人会打排球，这三项运动都会的人有
3 4
问：这三项运动都不会的最多有多少人？
5
22人，
【考点】容斥原理之最值问题
【难度】 4 星
【题型】填空
【分析】设只会打乒乓球和羽毛球两项的人有
x 人，只会打乒乓球和排球两项的有
y 人，只会打羽毛球和排
球两项的有 z 人．因为只会三项运动中的一项的不行能小于 0 ，因此 x 、 y 、 z 有以下关系：
40 45 48
x y 22
0 0 0
56 人，因此 60 人中间三项都不会的人数最多
x z 22 y z 22
将三条关系式相加，获得
x y z 33 ，而 60 人中间会起码一项运动的人数有 2 22
4 人（当 x 、 y 、 z 分
40 45 48 x y z
别取 7、 11、 15 时，不等式组建立） ．
【答案】 4
容斥原理之最值问题
100 本书，借阅图书者需在图书上署名．已知这 【例 5】 图书馆有
100 本书中有甲、乙、丙署名的分别有
3329 本，同时有甲、丙署名的图书为 25 本，同时 ，44 和 55 本，此中同时有甲、乙署名的图书为
有乙、丙署名的图书为 36 本．问这批图书中最罕有多少本没有被甲、 乙、丙中的任何一人借阅过 ?
A 甲
B 乙
C 丙
【考点】容斥原理之最值问题
【难度】 4 星
【题型】填空
【分析】 设甲借过的书构成会合
A，乙借过的书构成会合 B，丙借过的书构成会合
C． A =33, B =44 ，C =55 ，
A I B =29 ， A I C =25 ， B I C =36．
,
此题只要算出甲、乙、丙中起码有一人借过的书的最大值，再将其与
100 作差即可．
A U B U C
A B C
A I B
A I C
B I C A I B I C
当 A I B I C 最大时， A U B U C 有最大值 .也就是说当三人都借过的书最多时，甲、乙、丙中起码 有一人借过的书最多．
而 A I B I C 最大不超出
A 、B 、C 、 A I B 、B I C 、 AI C
6 个数中的最小值， 因此
A I B I C
67 本，
最大为 25．此时 A U B U C =33+44+55-29-25-36+25=67 ，即三者起码有一人借过的书最多为 因此这批图书中最罕有
【答案】 33
33 本没有被甲、乙、丙中的任何一人借阅过．
【稳固】甲、乙、丙都在读同 -一本故事书， 书中有 100 个故事．每一个人都从某一个故事开始， 按次序今后读． 已
知甲读了 75 个故事，乙读了 60 个故事，丙读了 52 个故事．那么甲、乙、丙 3 人共同读过的故事最 罕有多少个 ?
【考点】容斥原理之最值问题 【难度】 4 星 【题型】填空
【分析】 考虑甲乙两人状况，有甲乙都读过的最少为：
75+60-100=35 个，此时甲独自读过的为 75-35=40 个，
乙独自读过的为 60-35=25 个；欲使甲、乙、丙三人都读过的书最少时，应将丙读过的书尽量分别在
52-40=12 个．
某端，于是三者都读过书最少为
【答案】 12 【例 6】
某数学比赛共 160 人进入决赛， 决赛共四题， 做对第一题的有 136 人，做对第二题的有
____得满分。 对第三题的有 118 人，做对第四题的有 104 人。在此次决赛中起码有
【难度】 5 星
10 题
125 人，做
【考点】容斥原理之最值问题 【题型】填空
【重点词】走美杯， 5 年级，决赛，第
设得满分的人都做对
道题时得满分的人最少，有
3
+ + + - = (人 )。
【分析】
136 125 118 104 160 3 3
【答案】 3 人
【例 7】 某班有 46 人，此中有 40 人会骑自行车，
班这四项运动都会的起码有 人。
38 人会打乒乓球， 35 人会打羽毛球， 27 人会游泳，则该
【考点】容斥原理之最值问题
【难度】 5 星
【题型】填空
【重点词】希望杯， 4 年级， 1 试
容斥原理之最值问题
【分析】 不会骑车的 6 人，不会打乒乓球的
8 人，不会羽毛球的
11 人，不会游泳的 44 人
19 人，那么起码不会一
项的最多只有 6+8+11+19=44 人，那么思想都会的起码
【答案】 44 人
【例 8】
在阳光明朗的一天下午，甲、乙、丙、丁四人给 100 盆花浇水，已知甲浇了
丙浇了 80 盆，丁浇了 90 盆，请问恰巧被 3 个人浇过的花最罕有多少盆？
【难度】 5 星
【题型】填空
30 盆，乙浇了 75 盆，
【考点】容斥原理之最值问题
【分析】 为了恰巧被 3 个人浇过的花盆数目最少，那么被四个人浇过的花、两个人浇过的花和一个人浇过的
花数目都要尽量多， 那么应当能够知道被四个人浇过的花数目最多是
30 盆，那么接下来就变为乙浇
70 盆中恰巧被 3
了 45 盆，丙浇了
50 盆，丁浇 60 盆了，这时共有 100 30 70盆花，我们要让这
恰巧被 3 个人浇过的花最罕有
个人浇过的花最少，这就是简单的容斥原理了， 盆．
45 50 60 140 15
【答案】 15
【稳固】 甲、乙、丙同时给 100 盆花浇水．已知甲浇了
过的花最罕有多少盆 ? 【考点】容斥原理之最值问题
【难度】 4 星
78 盆，乙浇了 68 盆，丙浇了 58 盆，那么 3 人都浇
【题型】填空
【分析】 只考虑甲乙两人状况，有甲、乙都浇过的最少为：
78+68-100=46 盆，此时甲独自浇过的为
78-46=32
盆，乙独自浇过的为
68-46=22 盆；
欲使甲、乙、丙三人都浇过的花最少时，应将丙浇过的花尽量分别在两头．于是三者都浇过花最少
为 58-32-22=4 盆．
【答案】 4
【稳固】 在阳光明朗的一天下午，甲、乙、丙、丁四人给 100 盆花浇水，已知甲浇了
丙浇了 80 盆，丁浇了 90 盆，请问恰巧被 1 个人浇过的花最罕有多少盆？ 【考点】容斥原理之最值问题
【难度】 5 星
275 次，均匀每盆被浇
30 盆，乙浇了 75 盆，
【题型】填空
【分析】 100 盆花共被浇水
2.75次，为了让被浇 1 次的花多，我们也需要被浇
4 次的
花尽量多，为
30 盆，那么余下 70 盆共被浇 155 次，均匀每盆被浇
70 盆都被浇 3 次，那么多出 55 次，每盆花少浇
2.21次，说明需要一些花被浇
2 次变为被浇 1 次最多能够变
3
次才能够．我们假定
27 次，因此此题答案为
【答案】 27
27 盆．
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