高中数学数列专题大题训练
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高
中数学数列专题大题组卷
一.选择题(共9小题)
1.等差数列{an}的前m项和为30,前2m项和为100,则它的前3m项和为( ) A.130
B.170
C.210
D.260
2.已知各项均为正数的等比数列{an},a1a2a3=5,a7a8a9=10,则a4a5a6=( ) A.
B.7 C.6 D.
3.数列{an}的前n项和为Sn,若a1=1,an+1=3Sn(n≥1),则a6=( ) A.3×44
B.3×44+1 C.44 D.44+1
4.已知数列{an}满足3an+1+an=0,a2=﹣,则{an}的前10项和等于( ) A.﹣6(1﹣3﹣10) B.
C.3(1﹣3﹣10)
D.3(1+3﹣10)
5.等比数列{an}的前n项和为Sn,已知S3=a2+10a1,a5=9,则a1=( ) A. B.
C. D.
6.已知等差数列{an}满足a2+a4=4,a3+a5=10,则它的前10项的和S10=( ) A.138
B.135
C.95 D.23
7.设等差数列{an}的前n项和为Sn,若Sm﹣1=﹣2,Sm=0,Sm+1=3,则m=( ) A.3 B.4 C.5 D.6
8.等差数列{an}的公差为2,若a2,a4,a8成等比数列,则{an}的前n项和Sn=( )
A.n(n+1) B.n(n﹣1)
C.
D.
9.设{an}是等差数列,下列结论中正确的是( ) A.若a1+a2>0,则a2+a3>0 C.若0<a1<a2,则a2
二.解答题(共14小题)
B.若a1+a3<0,则a1+a2<0
D.若a1<0,则(a2﹣a1)(a2﹣a3)>0
2
10.设数列{an}(n=1,2,3,…)的前n项和Sn满足Sn=2an﹣a1,且a1,a2+1,a3成等差数列.
(Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)记数列{}的前n项和为Tn,求使得|Tn﹣1|
成立的n的最小
值.
11.设等差数列{an}的公差为d,前n项和为Sn,等比数列{bn}的公比为q,已知b1=a1,b2=2,q=d,S10=100. (1)求数列{an},{bn}的通项公式 (2)当d>1时,记cn=
,求数列{cn}的前n项和Tn.
12.已知数列{an}满足a1=1,an+1=3an+1.
(Ⅰ)证明{an+}是等比数列,并求{an}的通项公式; (Ⅱ)证明:
+
+…+
<.
13.已知等差数列{an}的公差不为零,a1=25,且a1,a11,a13成等比数列.(Ⅰ)求{an}的通项公式; (Ⅱ)求a1+a4+a7+…+a3n﹣2.
14.等差数列{an}中,a7=4,a19=2a9, (Ⅰ)求{an}的通项公式; (Ⅱ)设bn=
,求数列{bn}的前n项和Sn.
15.已知等比数列{an}中,a1=,公比q=. (Ⅰ)Sn为{an}的前n项和,证明:Sn=
(Ⅱ)设bn=log3a1+log3a2+…+log3an,求数列{bn}的通项公式.
3
16.已知数列{an}满足an+2=qan(q为实数,且q≠1),n∈N*,a1=1,a2=2,且a2+a3,a3+a4,a4+a5成等差数列 (1)求q的值和{an}的通项公式; (2)设bn=
,n∈N*,求数列{bn}的前n项和.
}的前n项和为
17.已知数列{an}是首项为正数的等差数列,数列{
.
(1)求数列{an}的通项公式; (2)设bn=(an+1)•2
,求数列{bn}的前n项和Tn.
18.已知数列{an}和{bn}满足a1=2,b1=1,an+1=2an(n∈N*),b1+b2+b3+…+bn=bn+1﹣1(n∈N*) (Ⅰ)求an与bn;
(Ⅱ)记数列{anbn}的前n项和为Tn,求Tn.
19.已知数列{an}是递增的等比数列,且a1+a4=9,a2a3=8. (1)求数列{an}的通项公式; (2)设Sn为数列{an}的前n项和,bn=
,求数列{bn}的前n项和Tn.
20.设数列{an}的前n项和为Sn,已知2Sn=3n+3. (Ⅰ)求{an}的通项公式;
(Ⅱ)若数列{bn},满足anbn=log3an,求{bn}的前n项和Tn. 21.设数列{an}的前n项和为Sn.已知a1=a,an+1=Sn+3n,n∈N*.由 (Ⅰ)设bn=Sn﹣3n,求数列{bn}的通项公式; (Ⅱ)若an+1≥an,n∈N*,求a的取值范围.
4
22.已知等差数列{an}的公差为2,前n项和为Sn,且S1,S2,S4成等比数列.
(Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)令bn=(﹣1)n﹣1
,求数列{bn}的前n项和Tn.
23.数列{an}满足a1=1,nan+1=(n+1)an+n(n+1),n∈N*. (Ⅰ)证明:数列{}是等差数列;
(Ⅱ)设bn=3n•,求数列{bn}的前n项和Sn.
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高中数学数列专题大题组卷
参考答案与试题解析
一.选择题(共9小题)
1.(1996•全国)等差数列{an}的前m项和为30,前2m项和为100,则它的前3m项和为( ) A.130
B.170
C.210
D.260
【分析】利用等差数列的前n项和公式,结合已知条件列出关于a1,d的方程组,用m表示出a1、d,进而求出s3m;或利用等差数列的性质,sm,s2m﹣sm,s3m﹣s2m成等差数列进行求解.
【解答】解:解法1:设等差数列{an}的首项为a1,公差为d,
由题意得方程组解得d=
,a1=
, d=3m
+
,
∴s3m=3ma1+故选C.
=210.
解法2:∵设{an}为等差数列, ∴sm,s2m﹣sm,s3m﹣s2m成等差数列, 即30,70,s3m﹣100成等差数列, ∴30+s3m﹣100=70×2, 解得s3m=210.
6
故选C.
【点评】解法1为基本量法,思路简单,但计算复杂;解法2使用了等差数列的一个重要性质,即等差数列的前n项和为sn,则sn,s2n﹣sn,s3n﹣s2n,…成等差数列.
2.(2010•大纲版Ⅰ)已知各项均为正数的等比数列{an},a1a2a3=5,a7a8a9=10,则a4a5a6=( ) A.
B.7 C.6 D.
【分析】由数列{an}是等比数列,则有a1a2a3=5⇒a23=5;a7a8a9=10⇒a83=10. 【解答】解:a1a2a3=5⇒a23=5; a7a8a9=10⇒a83=10, a52=a2a8, ∴故选A.
【点评】本小题主要考查等比数列的性质、指数幂的运算、根式与指数式的互化等知识,着重考查了转化与化归的数学思想.
3.(2011•四川)数列{an}的前n项和为Sn,若a1=1,an+1=3Sn(n≥1),则a6=( ) A.3×44
B.3×44+1 C.44 D.44+1 ,∴
,
【分析】根据已知的an+1=3Sn,当n大于等于2时得到an=3Sn﹣1,两者相减,根据Sn﹣Sn﹣1=an,得到数列的第n+1项等于第n项的4倍(n大于等于2),所以得到此数列除去第1项,从第2项开始,为首项是第2项,公比为4的等比数
7
列,由a1=1,an+1=3Sn,令n=1,即可求出第2项的值,写出2项以后各项的通项公式,把n=6代入通项公式即可求出第6项的值. 【解答】解:由an+1=3Sn,得到an=3Sn﹣1(n≥2), 两式相减得:an+1﹣an=3(Sn﹣Sn﹣1)=3an, 则an+1=4an(n≥2),又a1=1,a2=3S1=3a1=3,
得到此数列除去第一项后,为首项是3,公比为4的等比数列, 所以an=a2qn﹣2=3×4n﹣2(n≥2) 则a6=3×44. 故选A
【点评】此题考查学生掌握等比数列的确定方法,会根据首项和公比写出等比数列的通项公式,是一道基础题.
4.(2013•大纲版)已知数列{an}满足3an+1+an=0,a2=﹣,则{an}的前10项和等于( )
A.﹣6(1﹣3﹣10) B.
C.3(1﹣3﹣10)
D.3(1+3﹣10)
【分析】由已知可知,数列{an}是以﹣为公比的等比数列,结合已知可求a1,然后代入等比数列的求和公式可求 【解答】解:∵3an+1+an=0 ∴
∴数列{an}是以﹣为公比的等比数列 ∵∴a1=4
8
由等比数列的求和公式可得,S10=
=3(1﹣3﹣10)
故选C
【点评】本题主要考查了等比数列的通项公式及求和公式的简单应用,属于基础试题
5.(2013•新课标Ⅱ)等比数列{an}的前n项和为Sn,已知S3=a2+10a1,a5=9,则a1=( ) A. B.
C. D.
【分析】设等比数列{an}的公比为q,利用已知和等比数列的通项公式即可得到
,解出即可.
【解答】解:设等比数列{an}的公比为q, ∵S3=a2+10a1,a5=9,
∴,解得.
∴.
故选C.
【点评】熟练掌握等比数列的通项公式是解题的关键.
6.(2008•全国卷Ⅰ)已知等差数列{an}满足a2+a4=4,a3+a5=10,则它的前10项的和S10=( ) A.138
B.135
C.95 D.23
9
【分析】本题考查的知识点是等差数列的性质,及等差数列前n项和,根据a2+a4=4,a3+a5=10我们构造关于基本量(首项及公差)的方程组,解方程组求出基本量(首项及公差),进而代入前n项和公式,即可求解. 【解答】解:∵(a3+a5)﹣(a2+a4)=2d=6, ∴d=3,a1=﹣4, ∴S10=10a1+故选C
【点评】在求一个数列的通项公式或前n项和时,如果可以证明这个数列为等差数列,或等比数列,则可以求出其基本项(首项与公差或公比)进而根据等差或等比数列的通项公式,写出该数列的通项公式,如果未知这个数列的类型,则可以判断它是否与某个等差或等比数列有关,间接求其通项公式.
7.(2013•新课标Ⅰ)设等差数列{an}的前n项和为Sn,若Sm﹣1=﹣2,Sm=0,Sm+1=3,则m=( ) A.3 B.4 C.5 D.6
【分析】由an与Sn的关系可求得am+1与am,进而得到公差d,由前n项和公式及Sm=0可求得a1,再由通项公式及am=2可得m值. 【解答】解:am=Sm﹣Sm﹣1=2,am+1=Sm+1﹣Sm=3, 所以公差d=am+1﹣am=1, Sm=
=0,得a1=﹣2,
=95.
所以am=﹣2+(m﹣1)•1=2,解得m=5, 故选C.
10
【点评】本题考查等差数列的通项公式、前n项和公式及通项an与Sn的关系,考查学生的计算能力.
8.(2014•新课标Ⅱ)等差数列{an}的公差为2,若a2,a4,a8成等比数列,则{an}的前n项和Sn=( ) A.n(n+1) B.n(n﹣1)
C.
D.
【分析】由题意可得a42=(a4﹣4)(a4+8),解得a4可得a1,代入求和公式可得.
【解答】解:由题意可得a42=a2•a8, 即a42=(a4﹣4)(a4+8), 解得a4=8, ∴a1=a4﹣3×2=2, ∴Sn=na1+=2n+故选:A.
【点评】本题考查等差数列的性质和求和公式,属基础题.
9.(2015•北京)设{an}是等差数列,下列结论中正确的是( ) A.若a1+a2>0,则a2+a3>0 C.若0<a1<a2,则a2
B.若a1+a3<0,则a1+a2<0
D.若a1<0,则(a2﹣a1)(a2﹣a3)>0
d, ×2=n(n+1),
【分析】对选项分别进行判断,即可得出结论.
【解答】解:若a1+a2>0,则2a1+d>0,a2+a3=2a1+3d>2d,d>0时,结论成立,即A不正确;
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若a1+a3<0,则a1+a2=2a1+d<0,a2+a3=2a1+3d<2d,d<0时,结论成立,即B不正确;
{an}是等差数列,0<a1<a2,2a2=a1+a3>2
,∴a2>
,即C正确;
若a1<0,则(a2﹣a1)(a2﹣a3)=﹣d2≤0,即D不正确. 故选:C.
【点评】本题考查等差数列的通项,考查学生的计算能力,比较基础.
二.解答题(共14小题)
10.(2015•四川)设数列{an}(n=1,2,3,…)的前n项和Sn满足Sn=2an﹣a1,且a1,a2+1,a3成等差数列. (Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)记数列{值.
【分析】(Ⅰ)由已知数列递推式得到an=2an﹣1(n≥2),再由已知a1,a2+1,a3成等差数列求出数列首项,可得数列{an}是首项为2,公比为2的等比数列,则其通项公式可求; (Ⅱ)由(Ⅰ)求出数列{结合
}的通项公式,再由等比数列的前n项和求得Tn,
}的前n项和为Tn,求使得|Tn﹣1|
成立的n的最小
求解指数不等式得n的最小值.
【解答】解:(Ⅰ)由已知Sn=2an﹣a1,有 an=Sn﹣Sn﹣1=2an﹣2an﹣1 (n≥2), 即an=2an﹣1(n≥2), 从而a2=2a1,a3=2a2=4a1,
12
又∵a1,a2+1,a3成等差数列, ∴a1+4a1=2(2a1+1),解得:a1=2.
∴数列{an}是首项为2,公比为2的等比数列.故(Ⅱ)由(Ⅰ)得:
,
;
∴.
,即2n>1000.
由,得
∵29=512<1000<1024=210, ∴n≥10. 于是,使|Tn﹣1|
成立的n的最小值为10.
【点评】本题考查等差数列与等比数列的概念、等比数列的通项公式与前n项和公式等基础知识,考查运算求解能力,是中档题.
11.(2015•湖北)设等差数列{an}的公差为d,前n项和为Sn,等比数列{bn}的公比为q,已知b1=a1,b2=2,q=d,S10=100. (1)求数列{an},{bn}的通项公式 (2)当d>1时,记cn=
,求数列{cn}的前n项和Tn.
【分析】(1)利用前10项和与首项、公差的关系,联立方程组计算即可; (2)当d>1时,由(1)知cn=
,写出Tn、Tn的表达式,利用错位相
减法及等比数列的求和公式,计算即可. 【解答】解:(1)设a1=a,由题意可得
,
13
解得当当
,或,
时,an=2n﹣1,bn=2n﹣1; 时,an=(2n+79),bn=9•
;
(2)当d>1时,由(1)知an=2n﹣1,bn=2n﹣1, ∴cn=
=
, +7•+5•+.
+
+9•+7•+…+
+…+(2n﹣1)•+…+(2n﹣3)•
﹣(2n﹣1)•
, +(2n﹣1)•=3﹣
,
,
∴Tn=1+3•+5•∴Tn=1•+3•∴Tn=2++∴Tn=6﹣
【点评】本题考查求数列的通项及求和,利用错位相减法是解决本题的关键,注意解题方法的积累,属于中档题.
12.(2014•新课标Ⅱ)已知数列{an}满足a1=1,an+1=3an+1. (Ⅰ)证明{an+}是等比数列,并求{an}的通项公式; (Ⅱ)证明:
+
+…+
<.
=
【分析】(Ⅰ)根据等比数列的定义,后一项与前一项的比是常数,即常数,又首项不为0,所以为等比数列;
再根据等比数列的通项化式,求出{an}的通项公式; (Ⅱ)将明不等式.
进行放大,即将分母缩小,使得构成一个等比数列,从而求和,证
14
【解答】证明(Ⅰ)==3,
∵≠0,
∴数列{an+}是以首项为,公比为3的等比数列; ∴an+=
=
,即
;
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,
当n≥2时,∵3n﹣1>3n﹣3n﹣1,∴∴当n=1时,
成立,
<=,
当n≥2时,++…+<1+…+==<
.
∴对n∈N+时,
+
+…+
<.
【点评】本题考查的是等比数列,用放缩法证明不等式,证明数列为等比数列,只需要根据等比数列的定义就行;数列与不等式常结合在一起考,放缩法是常用的方法之一,
通过放大或缩小,使原数列变成一个等比数列,或可以用裂项相消法求和的新数列.属于中档题.
13.(2013•新课标Ⅱ)已知等差数列{an}的公差不为零,a1=25,且a1,a11,a13成等比数列.
(Ⅰ)求{an}的通项公式;
15
(Ⅱ)求a1+a4+a7+…+a3n﹣2.
【分析】(I)设等差数列{an}的公差为d≠0,利用成等比数列的定义可得,
,再利用等差数列的通项公式可得
d(2a1+25d)=0,解出d即可得到通项公式an;
(II)由(I)可得a3n﹣2=﹣2(3n﹣2)+27=﹣6n+31,可知此数列是以25为首项,﹣6为公差的等差数列.利用等差数列的前n项和公式即可得出a1+a4+a7+…+a3n﹣2.
【解答】解:(I)设等差数列{an}的公差为d≠0, 由题意a1,a11,a13成等比数列,∴∴
,
,化为
,化为d(2a1+25d)=0,
∵d≠0,∴2×25+25d=0,解得d=﹣2. ∴an=25+(n﹣1)×(﹣2)=﹣2n+27.
(II)由(I)可得a3n﹣2=﹣2(3n﹣2)+27=﹣6n+31,可知此数列是以25为首项,﹣6为公差的等差数列. ∴Sn=a1+a4+a7+…+a3n﹣2==
=﹣3n2+28n.
【点评】熟练掌握等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式是解题的关键.
14.(2013•大纲版)等差数列{an}中,a7=4,a19=2a9, (Ⅰ)求{an}的通项公式;
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(Ⅱ)设bn=,求数列{bn}的前n项和Sn.
【分析】(I)由a7=4,a19=2a9,结合等差数列的通项公式可求a1,d,进而可求an (II)由
=
=
,利用裂项求和即可求解
【解答】解:(I)设等差数列{an}的公差为d ∵a7=4,a19=2a9, ∴
解得,a1=1,d= ∴(II)∵∴sn==
=
==
=
【点评】本题主要考查了等差数列的通项公式及裂项求和方法的应用,试题比较容易
15.(2011•新课标)已知等比数列{an}中,a1=,公比q=. (Ⅰ)Sn为{an}的前n项和,证明:Sn=
(Ⅱ)设bn=log3a1+log3a2+…+log3an,求数列{bn}的通项公式.
【分析】(I)根据数列{an}是等比数列,a1=,公比q=,求出通项公式an和前n项和Sn,然后经过运算即可证明.
(II)根据数列{an}的通项公式和对数函数运算性质求出数列{bn}的通项公式.
17
【解答】证明:(I)∵数列{an}为等比数列,a1=,q= ∴an=×
=
,
Sn=
又∵∴Sn=
=
=Sn
(II)∵an=
∴bn=log3a1+log3a2+…+log3an=﹣log33+(﹣2log33)+…+(﹣nlog33) =﹣(1+2+…+n) =﹣
∴数列{bn}的通项公式为:bn=﹣
【点评】本题主要考查等比数列的通项公式、前n项和以及对数函数的运算性质.
16.(2015•天津)已知数列{an}满足an+2=qan(q为实数,且q≠1),n∈N*,a1=1,a2=2,且a2+a3,a3+a4,a4+a5成等差数列 (1)求q的值和{an}的通项公式; (2)设bn=
,n∈N*,求数列{bn}的前n项和.
【分析】(1)通过an+2=qan、a1、a2,可得a3、a5、a4,利用a2+a3,a3+a4,a4+a5成等差数列,计算即可;
18
(2)通过(1)知bn=
,n∈N*,写出数列{bn}的前n项和Tn、2Tn的表达
式,利用错位相减法及等比数列的求和公式,计算即可.
【解答】解:(1)∵an+2=qan(q为实数,且q≠1),n∈N*,a1=1,a2=2, ∴a3=q,a5=q2,a4=2q,
又∵a2+a3,a3+a4,a4+a5成等差数列, ∴2×3q=2+3q+q2, 即q2﹣3q+2=0, 解得q=2或q=1(舍),
∴an=;
(2)由(1)知bn===
,n∈N*,
记数列{bn}的前n项和为Tn, 则Tn=1+2•+3•∴2Tn=2+2+3•+4•
+4•+5•
+
+…+(n﹣1)•+…+(n﹣1)•+…+
﹣n•
+n•+n• , ,
两式相减,得Tn=3++
=3+=3+1﹣=4﹣
﹣n•.
﹣n•
【点评】本题考查求数列的通项与前n项和,考查分类讨论的思想,利用错位相减法是解决本题的关键,注意解题方法的积累,属于中档题.
19
17.(2015•山东)已知数列{an}是首项为正数的等差数列,数列{前n项和为
.
}的
(1)求数列{an}的通项公式; (2)设bn=(an+1)•2【分析】(1)通过对cn=的前n项和为
,求数列{bn}的前n项和Tn.
分离分母,并项相加并利用数列{
}
即得首项和公差,进而可得结论;
(2)通过bn=n•4n,写出Tn、4Tn的表达式,两式相减后利用等比数列的求和公式即得结论.
【解答】解:(1)设等差数列{an}的首项为a1、公差为d,则a1>0, ∴an=a1+(n﹣1)d,an+1=a1+nd, 令cn=则cn=
,
=[
﹣
],
∴c1+c2+…+cn﹣1+cn=[=[==又∵数列{∴
, ﹣
,
]
﹣+﹣+…+﹣]
}的前n项和为,
∴a1=1或﹣1(舍),d=2,
20
∴an=1+2(n﹣1)=2n﹣1; (2)由(1)知bn=(an+1)•2
=(2n﹣1+1)•22n﹣1=n•4n,
∴Tn=b1+b2+…+bn=1•41+2•42+…+n•4n, ∴4Tn=1•42+2•43+…+(n﹣1)•4n+n•4n+1, 两式相减,得﹣3Tn=41+42+…+4n﹣n•4n+1=∴Tn=
.
•4n+1﹣,
【点评】本题考查求数列的通项及求和,利用错位相减法是解决本题的关键,注意解题方法的积累,属于中档题.
18.(2015•浙江)已知数列{an}和{bn}满足a1=2,b1=1,an+1=2an(n∈N*),b1+b2+b3+…+bn=bn+1﹣1(n∈N*) (Ⅰ)求an与bn;
(Ⅱ)记数列{anbn}的前n项和为Tn,求Tn.
【分析】(Ⅰ)直接由a1=2,an+1=2an,可得数列{an}为等比数列,由等比数列的通项公式求得数列{an}的通项公式;
再由b1=1,b1+b2+b3+…+bn=bn+1﹣1,取n=1求得b2=2,当n≥2时,得另一递推式,作差得到的通项公式; (Ⅱ)求出
,然后利用错位相减法求数列{anbn}的前n项和为Tn.
.
,整理得数列{
}为常数列,由此可得{bn}
【解答】解:(Ⅰ)由a1=2,an+1=2an,得由题意知,当n=1时,b1=b2﹣1,故b2=2, 当n≥2时,b1+b2+b3+…+
=bn﹣1,和原递推式作差得, 21
,整理得:
∴
;
, ,
两式作差得:
(n∈N*).
,
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,因此
,
【点评】本题主要考查等差数列的通项公式、等差数列和等比数列等基础知识,同时考查数列求和等基本思想方法,以及推理论证能力,是中档题.
19.(2015•安徽)已知数列{an}是递增的等比数列,且a1+a4=9,a2a3=8. (1)求数列{an}的通项公式; (2)设Sn为数列{an}的前n项和,bn=
,求数列{bn}的前n项和Tn.
【分析】(1)根据等比数列的通项公式求出首项和公比即可,求数列{an}的通项公式; (2)求出bn=
,利用裂项法即可求数列{bn}的前n项和Tn.
【解答】解:(1)∵数列{an}是递增的等比数列,且a1+a4=9,a2a3=8. ∴a1+a4=9,a1a4=a2a3=8.
解得a1=1,a4=8或a1=8,a4=1(舍), 解得q=2,即数列{an}的通项公式an=2n﹣1;
22
(2)Sn=
=2n﹣1,
∴bn===﹣,
+…+
﹣
=
﹣
=1﹣
∴数列{bn}的前n项和Tn=
.
【点评】本题主要考查数列的通项公式以及数列求和的计算,利用裂项法是解决本题的关键.
20.(2015•山东)设数列{an}的前n项和为Sn,已知2Sn=3n+3. (Ⅰ)求{an}的通项公式;
(Ⅱ)若数列{bn},满足anbn=log3an,求{bn}的前n项和Tn.
【分析】(Ⅰ)利用2Sn=3n+3,可求得a1=3;当n>1时,2Sn﹣1=3n﹣1+3,两式相减2an=2Sn﹣2Sn﹣1,可求得an=3n﹣1,从而可得{an}的通项公式;
(Ⅱ)依题意,anbn=log3an,可得b1=,当n>1时,bn=31﹣n•log33n﹣1=(n﹣1)×31﹣n,于是可求得T1=b1=;当n>1时,Tn=b1+b2+…+bn=+(1×3﹣1+2×3﹣2+…+(n﹣1)×31﹣n),利用错位相减法可求得{bn}的前n项和Tn. 【解答】解:(Ⅰ)因为2Sn=3n+3,所以2a1=31+3=6,故a1=3, 当n>1时,2Sn﹣1=3n1+3,
﹣
此时,2an=2Sn﹣2Sn﹣1=3n﹣3n﹣1=2×3n﹣1,即an=3n﹣1, 所以an=
.
(Ⅱ)因为anbn=log3an,所以b1=,
23
当n>1时,bn=31n•log33n1=(n﹣1)×31n,
﹣
﹣
﹣
所以T1=b1=;
当n>1时,Tn=b1+b2+…+bn=+(1×3﹣1+2×3﹣2+…+(n﹣1)×31﹣n), 所以3Tn=1+(1×30+2×3﹣1+3×3﹣2+…+(n﹣1)×32﹣n), 两式相减得:2Tn=+(30+3﹣1+3﹣2+…+32﹣n﹣(n﹣1)×31﹣n)=+(n﹣1)×31﹣n=所以Tn=
﹣
﹣﹣
,
﹣
,经检验,n=1时也适合,
.
综上可得Tn=
【点评】本题考查数列的求和,着重考查数列递推关系的应用,突出考查“错位相减法”求和,考查分析、运算能力,属于中档题.
21.(2008•全国卷Ⅱ)设数列{an}的前n项和为Sn.已知a1=a,an+1=Sn+3n,n∈N*.由
(Ⅰ)设bn=Sn﹣3n,求数列{bn}的通项公式; (Ⅱ)若an+1≥an,n∈N*,求a的取值范围.
【分析】(Ⅰ)依题意得Sn+1=2Sn+3n,由此可知Sn+1﹣3n+1=2(Sn﹣3n).所以bn=Sn﹣3n=(a﹣3)2n﹣1,n∈N*.
(Ⅱ)由题设条件知Sn=3n+(a﹣3)2n1,n∈N*,于是,an=Sn﹣Sn﹣
﹣
1=,由此可以求得a的取值范围是[﹣9,+∞).
【解答】解:(Ⅰ)依题意,Sn+1﹣Sn=an+1=Sn+3n,即Sn+1=2Sn+3n, 由此得Sn+1﹣3n+1=2Sn+3n﹣3n+1=2(Sn﹣3n).(4分)
因此,所求通项公式为bn=Sn﹣3n=(a﹣3)2n﹣1,n∈N*.①(6分)
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(Ⅱ)由①知Sn=3n+(a﹣3)2n1,n∈N*,
﹣
于是,当n≥2时,
an=Sn﹣Sn﹣1=3n+(a﹣3)×2n﹣1﹣3n﹣1﹣(a﹣3)×2n﹣2=2×3n﹣1+(a﹣3)2n﹣2, an+1﹣an=4×3n﹣1+(a﹣3)2n﹣2=当n≥2时,又a2=a1+3>a1.
综上,所求的a的取值范围是[﹣9,+∞).(12分)
【点评】本题考查数列的综合运用,解题时要仔细审题,注意挖掘题设中的隐含条件.
22.(2014•山东)已知等差数列{an}的公差为2,前n项和为Sn,且S1,S2,S4成等比数列.
(Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)令bn=(﹣1)n﹣1
,求数列{bn}的前n项和Tn.
,
⇔a≥﹣9.
【分析】(Ⅰ)利用等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式即可得出;
(Ⅱ)由(Ⅰ)可得bn=即可得出.
【解答】解:(Ⅰ)∵等差数列{an}的公差为2,前n项和为Sn, ∴Sn=
=n2﹣n+na1,
.对n分类讨论“裂项求和”
∵S1,S2,S4成等比数列, ∴
,
25
∴,化为
,解得a1=1.
∴an=a1+(n﹣1)d=1+2(n﹣1)=2n﹣1. (Ⅱ)由(Ⅰ)可得bn=(﹣1)n﹣
1
=
﹣
+﹣=﹣
. +…+
=. .
+…+
﹣
∴Tn=
当n为偶数时,Tn=
=1﹣
当n为奇数时,Tn=
+
+
+=1+
=
+…﹣
.
∴Tn=.
【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式等基础知识与基本技能方法,考查了推理能力、计算能力、“裂项求和”、分类讨论思想方法,属于难题.
23.(2014•安徽)数列{an}满足a1=1,nan+1=(n+1)an+n(n+1),n∈N*. (Ⅰ)证明:数列{(Ⅱ)设bn=3n•
}是等差数列;
,求数列{bn}的前n项和Sn.
【分析】(Ⅰ)将nan+1=(n+1)an+n(n+1)的两边同除以n(n+1)得
,由等差数列的定义得证.
(Ⅱ)由(Ⅰ)求出bn=3n•Sn.
=n•3n,利用错位相减求出数列{bn}的前n项和
26
【解答】证明(Ⅰ)∵nan+1=(n+1)an+n(n+1), ∴∴∴数列{
, ,
}是以1为首项,以1为公差的等差数列;
,
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,∴bn=3n•∴
, =n•3n,
•3n﹣1+n•3n① •3n+n•3n+1②
①﹣②得==∴
3n﹣n•3n+1
【点评】本题考查利用等差数列的定义证明数列是等差数列;考查数列求和的方法:错位相减法.求和的关键是求出通项选方法.
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