泊松噪声污染模糊图像的非盲去卷积方法

董文德;杨新民;段然;郭晓鸿;林丹;秦树鑫

【摘 要】针对被泊松噪声污染的模糊图像复原问题，提出了一种非盲去卷积方法，该方法在泊松概率模型的基础上引入高斯尺度混合型马尔科夫专家场模型作为正则条件，并使用迭代方向乘子法对所得的最优化问题模型进行求解。实验结果表明：该方法能够对泊松噪声污染的模糊图像进行有效复原，获得高质量复原图像。%This paper proposes a non-blind image deconvolution method for restoring blurred image contaminated by Poisson noise. This method is constructed based on the Poisson noise model and in-troduces the Gaussian Scale Mixture Fields of Experts( GSM FoE) for regularization. The problem is solved with the alternating direction method of

multipliers( ADMM) . Experimental results show that the proposed method can effectively restore blurred image contaminated by Poisson noise and achieve results of high quality.

【期刊名称】《南京理工大学学报（自然科学版）》 【年(卷),期】2016(040)004 【总页数】6页(P404-409)

【关键词】泊松噪声;非盲去卷积;高斯尺度混合型马尔科夫专家场;正则化 【作 者】董文德;杨新民;段然;郭晓鸿;林丹;秦树鑫

【作者单位】中国电子科技集团公司 第二十八研究所，江苏 南京210007;中国电子科技集团公司 第二十八研究所，江苏 南京210007;中国电子科技集团公司 第二

十八研究所，江苏 南京210007;中国电子科技集团公司 第二十八研究所，江苏 南京210007;中国电子科技集团公司 第二十八研究所，江苏 南京210007;中国电子科技集团公司 第二十八研究所，江苏 南京210007 【正文语种】中 文 【中图分类】TP391

图像模糊是一种常见的图像退化过程,通常由于成像系统颤振等外界因素的影响而产生,在数学上,可用清晰图像与点扩散函数的卷积模型来表述。此外,由于成像器件会引入噪声,还需在上述退化模型的基础上增加一个随机噪声项,图像退化过程如式(1)所示 g=h*o+n g=ho+n

图像去卷积是图像模糊的逆过程,按照点扩散函数是否已知可分为非盲去卷积和盲目去卷积两大类。在某些特殊应用中,点扩散函数可以通过测量手段获得,例如在对模糊遥感图像去卷积时,点扩散函数可以采用刃边法测量得到,这称为非盲去卷积[1-3]。在大多数情况下,点扩散函数是未知的,必须对其进行估计,称为盲目去卷积[4-7]。然而,即使是非盲去卷积也具有显著的病态特征,即模糊图像中轻微的噪声都会在复原图像中被放大。此外,由于吉布斯效应的影响,还会在复原图像中引入振铃效应,从而损坏图像细节,降低其使用价值。在盲目去卷积中,由于点扩散函数是未知的,问题的病态性将更加明显。缓解问题病态性的方法称为正则化,常用的正则化方法主要有Tikhonov正则化[8-9]、总变分正则化[10-11]和稀疏正则化[12-13]等。 到目前为止,大多数关于模糊图像去卷积算法的研究都假设噪声服从高斯概率模型,采用这种模型的好处在于它会在所得的优化问题中引入一个二次项,便于求解。但在天文观测和医学成像等应用领域中,噪声通常服从泊松分布,运用高斯噪声模型建

模不能有效描述其概率分布特征。针对被泊松噪声污染的模糊的去卷积问题,目前最常用的方法是Richardson-Lucy(RL)算法[14-15],它是Expectation-Maximization(EM)[16-17]算法的一个特例,然而由于上文所述的问题病态性的影响,其复原结果通常质量较差。因此,必须采用正则化方法对其进行修正。 求解泊松概率模型下的正则化去卷积问题较为困难,在文献[18,19]中,作者提出了利用EM算法解决该问题,并且到目前为止,它仍然是应用最为广泛的方法。例如,文献[8]采用了Tikhonov正则化,文献[20]采用了总变分正则化,文献[12]采用了自然图像梯度稀疏约束正则化,文献[21]采用了Huber马尔科夫随机场正则化,所有这些正则化方法的求解均采用了EM算法。然而,实验结果表明这些算法并不能确保收敛到理想的复原效果,并且其迭代优化效率较低。

通过上述分析可知,要想对泊松噪声污染的模糊图像进行有效复原,必须解决两方面问题,一是要选择合适的正则化约束条件,用于改善问题的病态性;二是要设计合理的优化求解算法,能够有效收敛到较为理想的复原图像。针对第一个问题,本文在贝叶斯后验概率框架下引入高斯尺度混合型马尔科夫专家场(Gaussian Scale Mixture Fields of Experts,GSM FoE)模型作为正则化条件[22],与Tikhonov正则化、总变分正则化不同,组成GSM FoE模型的所有滤波器都是基于自然图像,并采用最优化方法训练得到,因此它能够更加准确地描述图像的概率分布特征;针对第二个问题,本文将采用文献[23]中提出的迭代方向乘子法(Alternating direction method of multipliers,ADMM)对所得的去卷积问题进行求解,该方法具有较高的运行效率,并且能够收敛到较好的复原结果。通过将GSM FoE和ADMM结合使用,可以对泊松噪声污染的模糊图像进行有效复原。

在贝叶斯概率框架下对图像去卷积问题进行建模是一种改善其病态性的典型方法,根据贝叶斯定律,非盲去卷积问题可以表述为模糊图像已知条件下的最大后验估计问题,如式(3)所示

o=argmaxoP(o|g)=argmaxoP(g|o)P(o)

鉴于本文的研究内容,将采用泊松噪声模型对P(g|o)进行建模,并假设n中的所有元素独立同分布,则有 ln(gi)}

本文采用文献[22]中的GSM FoE对P(o)进行建模,GSM FoE与通常使用的图像先验概率模型(例如高斯概率模型)的不同之处在于其包含的所有滤波器都是依据真实自然图像通过最优化方法训练得到的,这些滤波器富于变化且能够准确地提取图像特征。因此,GSM FoE能够更好地表征图像的概率分布特性,其表达式如式(7)和式(8)所示

本文采用文献[23]中的迭代方向乘子法对式(10)中的问题进行求解,首先引入两组辅助变量{bm}和{um}(m=0,1,2,…,K)。其中,b0和u0组成一对并与ho相对应;当m≥1时,每一对bm和um分别与wm一一对应(例如,b1和u1与w1对应;b2和u2与w2对应;依次类推)。此外,再引入一个惩罚系数η,并将式(10)中的问题转化为

{o,um,bm}= ‖‖

当η的取值适当时,式(11)的解收敛到式(10)的解。式(11)看似比式(10)具有更高的复杂度,但它便于对各变量进行分离求解,从而形成高效的轮换优化迭代方法。其求解步骤如图1所示。

对于图1第3点的问题,可在频域中进行求解(为了便于表述,已将上标略去),如式(12)和式(13)所示

图1中的第4点是一个凸优化问题,对其求解需先考虑如下的代价函数

J(x)=λx-λgiln(x)+η[x-(ho)i-(b0)i]2 2ηx2+[λ-2η(ho)i-2η(b0)i]x-λgi=0

由于-λgi≤0,并且,因此,式(17)的非负根是x=argminxJ(x)的最优解。将其与图1中的第4点问题进行比较,由于此时ho和b0的值都是固定的,可知其解可通过同时求解N个相互独立的最优化问题(u0)i=argmin(u0)iJ[(u0)i](i=1,2,…,N)而获得,如式(18)所示

对于图1第5点中的问题,对于每一个k,可采用Newton-Raphson进行求解[24]。 为了证明上述算法的有效性,本文将其与几种目前比较常用的算法进行了比较,它们分别是RL算法、Tikhonov正则化、总变分正则化[11]和自然图像梯度稀疏约束正则化方法[12]。

图2(a)和图3(a)分别为两幅模糊图像及其对应的点扩散函数(点扩散函数位于图像右上角,模糊图像的SNR值分别为14.946 0 dB和16.658 6 dB),它们是根据式(1),在MATLAB环境中首先将清晰图像与点扩散函数进行卷积,然后再叠加泊松噪声得到,可见原清晰图像已被严重模糊并且带有明显的泊松噪声颗粒。图2和图3中的(b)～(f)分别为RL算法、Tikhonov正则化、总变分正则化、自然图像梯度稀疏正则化和本文方法所得的复原结果,可以明显看出本文提出的方法对模糊图像进行了有效复原,像质显著提升。同时与其他复原方法相比,本文方法所得的复原结果含有较少的噪声和振铃等负面效应,视觉效果更加清晰,明显优于其他方法的复原结果。此外,表1给出了各幅复原图像对应的信噪比(SNR)值,SNR的值越高表示复原图像越接近真实图像,可见本文算法获得的复原图像的SNR值显著优于其他方法,与视觉效果一致。综上所述,本文提出的方法对于复原泊松噪声污染的模糊图像具有较明显的优势。本文也曾尝试采用EM算法对式(10)进行求解,但算法无法收敛,可见本文提出的算法优于EM算法。

针对被泊松噪声污染的模糊图像复原问题,本文提出了一种基于泊松噪声模型和高

斯尺度混合型马尔科夫专家场的正则化方法,并采用迭代方向乘子法对所得的问题进行了优化,实验结果表明该算法能够对泊松噪声污染的模糊图像进行有效复原,优于目前常用的复原算法,具有较高的应用价值。