概率、统计、统计案例、算法初步
一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分)
1.在如图所示的正方形中随机掷一粒豆子，豆子落在正方形内切圆的上半圆(圆中阴影部分)中的概率是( )
11A.4 B.8 π
C.4
πD.8
π×12
解析：选D 设正方形的边长为2，则豆子落在正方形内切圆的上半圆中的概率为4π＝8.
2．(2012·中山模拟)为了检查某超市货架上的饮料是否含有塑化剂，要从编号依次为1到50的塑料瓶装饮料中抽取5瓶进行检验，用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法确定所选取的5瓶饮料的编号可能是( )
A．5,10,15,20,25 C．1,2,3,4,5
B．2,4,8,16,32 D．7,17,27,37,47
解析：选D 利用系统抽样，把编号分为5段，每段10个，每段抽取一个，号码间隔为10.
3．一块各面均涂有油漆的正方体被锯成1 000个大小相同的小正方体，若将这些小正方体均匀地搅混在一起，则任意取出一个正方体其三面涂有油漆的概率是( )
1
A.12 3
C.25
1B.10 1D.125
81
解析：选D 小正方体三面涂油漆的有8种情况，所求概率为1 000＝125.
4．(文科)在三棱锥的六条棱中任选两条，则这两条棱所在直线为异面直线的概率是( ) 1A.6 1C.4
1B.5 1D.3
解析：选B 由已知得基本事件总数为15，其中互为异面直线的对数为3，故所求的概31
率为P＝15＝5.
5．(2012·山东高考)执行右面的程序框图，如果输入a＝4，那么输出的n的值为( ) A．2 B．3 C．4 D．5
解析：选B 逐次计算结果是P＝1，Q＝3，n＝1；P＝5，Q＝7，n＝2；P＝21，Q＝15，n＝3，退出循环，故输出结果是n＝3.
6．(2012·湖北模拟)一个车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了8次试验，收集数据如下：
零件数x(个) 加工时间y(min)
y
设回归方程为^＝bx＋a，则点(a，b)在直线x＋45y－10＝0的( ) A．左上方 C．右上方
B．左下方 D．右下方
10 62 20 68 30 75 40 81 50 89 60 95 70 102 80 108 11
解析：选C 依题意得，＝8×(10＋20＋30＋40＋50＋60＋70＋80)＝45，＝8×(62＋68＋75＋81＋89＋95＋102＋108)＝85.则85＝45b＋a，a＋45b－10＝75＞0，因此点(a，b)必位于直线x＋45y－10＝0的右上方．
7．先后抛掷两枚均匀的正方体骰子(它们的六个面分别标有点数1、2、3、4、5、6)，骰子朝上的面的点数分别为x、y，则log2xy＝1的概率为( )
1A.6
5B.36 1D.2
1
C.12
解析：选C 由log2xy＝1⇒2x＝y，x∈{1,2,3,4,5,6}，y∈{1,2,3,4,5,6}，∴x＝1，y＝2或31
x＝2，y＝4或x＝3，y＝6，共3种情况，∴P＝6×6＝12.
8．某工厂对一批产品进行了抽样检测，如图是根据抽样检测后的产品净重(单元：克)数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围是[96,106]，样本数据分组为[96,98)，[98,100)，[100,102)，[102,104)，[104,106]，已知样本中产品净重小于100克的个数是36，则样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数是( )
A．90 C．60
B．75 D．45
解析：选A 产品净重小于100克的频率为(0.050＋0.100)×2＝0.300，设样本容量为n，36
则n＝0.300，所以n＝120，净重大于或等于98克并且小于104克的产品的频率为(0.100＋0.150＋0.125)×2＝0.75，所以样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数是120×0.75＝90.
9．(2012·陕西高考)如图是计算某年级500名学生期末考试(满分为100分)及格率q的程序框图，则图中空白框内应填入( )
N
A．q＝M N
C．q＝M＋N
M
B．q＝N M
D．q＝M＋N
解析：选D 程序执行的过程是如果输入的成绩不小于60分即及格，就把变量M的值增加1，即变量M为成绩及格的人数，否则，由变量N统计不及格的人数，但总人数由变
量i进行统计，不超过500就继续输入成绩，直到输入完500个成绩停止循环，输出变量q，及格人数M
变量q代表的含义为及格率，也就是总人数＝M＋N.
10． (2012·泉州质检)为了调查某校学生喜欢数学课的人数比例，采用如下调查方法： (1)在该校中随机抽取100名学生，并编号为1,2,3，„，100；
(2)在箱内放置两个白球和三个红球，让抽取的100名学生分别从箱中随机摸出一球，记住其颜色并放回；
(3)请下列两类学生举手：①摸到白球且号数为偶数的学生，②摸到红球且不喜欢数学课的学生．
如果总共有26名学生举手，那么用概率与统计的知识估计该校学生中喜欢数学课的人数比例大约是( )
A．88% C．92%
B．90% D．94%
解析：选B 100名学生中大约有40人摸出白球，60人摸出红球；摸出白球且号数为偶数的大约有20人，因此摸到红球且不喜欢数学课的大约有26－20＝6(人)，摸到红球且喜欢54
数学课的大约有60－6＝54(人)，由此估计该校学生中喜欢数学课的大约占60＝90%.
11．(2012·湖北模拟)在区间[0,1]上任取三个数a，b，c，若向量m＝(a，b，c)，则|m|≤1的概率是( )
π
A.24 3π
C.32
πB.12 πD.6
0≤b≤1，
解析：选D 依题意得，实数a，b，c满足0≤c≤1，这样的点(a，b，c)可视为在空间直角坐标系下的单位正方体区域(其中原点是该正方体的一个顶点)内的点，其中满足|m|≤1，即≤1，a2＋b2＋c2≤1，这样(a，b，c)可视为在空间直角坐标系下的单位正方体区域内且其1
还在以原点为球心、1为半径的球形区域内的点，该部分的体积恰好等于该球体积的8，因π×13π
此|m|≤1的概率等于13＝6.
12． (2012·临沂模拟)若在区间[－5,5]内任取一个实数a，则使直线x＋y＋a＝0与圆(x－1)2＋(y＋2)2＝2有公共点的概率为( )
2A.5
2B.5
3C.5
2D.10
|1－2＋a||a－1|
解析：选B 若直线与圆有公共点，则圆心到直线的距离d＝2＝2≤，解42得－1≤a≤3.又a∈[－5,5]，故所求概率为10＝5.
二、填空题(本题有4小题，每小题5分，共20分)
13.某校开展“爱我青岛，爱我家乡”摄影比赛，9位评委为参赛作品A给出的分数如茎叶图所示．记分员在去掉一个最高分和一个最低分后，算得平均分为91，复核员在复核时，发现有一个数字(茎叶图中的x)无法看清，若记分员计算无误，则数字x应该是________．
89＋89＋92＋93＋92＋91＋94640
解析：当x≥4时，7＝7≠91，∴x＜4，则89＋89＋92＋93＋92＋91＋x＋90
7＝91，∴x＝1.
答案：1
14． (2012·河南模拟)2012年的NBA全明星赛于美国当地时间2012年2月26日在佛罗里达州奥兰多市举行．如图是参加此次比赛的甲、乙两名篮球运动员以往几场比赛得分的茎叶图，则甲、乙两人这几场比赛得分的中位数之和是________．
解析：依题意得，甲、乙两人这几场比赛得分的中位数分别是28、36，因此甲、乙两人这几场比赛得分的中位数之和是64.
答案：64
15．(2012·苏州模拟)甲、乙两名射击运动员参加某大型运动会的预选赛，他们分别射击了5次，成绩如下表(单位：环)：
甲 乙
如果甲、乙两人中只有1人入选，则入选的最佳人选应是________．
212
解析：甲＝乙＝9，s甲＝5×[(9－10)2＋(9－8)2＋(9－9)2＋(9－9)2＋(9－9)2]＝5， 216222222
s乙＝5×[(9－10)＋(9－10)＋(9－7)＋(9－9)＋(9－9)]＝5＞s甲，故甲更稳定．
10 10 8 10 9 7 9 9 9 9 答案：甲
16． (2012·福州模拟)在圆x2＋y2＝4所围成的区域内随机取一个点P(x，y)，则|x|＋|y|≤2的概率为________．
解析：不等式|x|＋|y|≤2表示的平面区域如图中的阴影部分所示，则|x|＋|y|≤2的概率为222P＝π×22＝π.
2
答案：π
三、解答题(本题有6小题，共70分)
17．(11分)(2012·东北三校联考)一次数学模拟考试，共12道选择题，每题5分，共计60分，每道题有四个可供选择的答案，仅有一个是正确的．学生小张只能确定其中10道题的正确答案，其余2道题完全靠猜测回答．
小张所在班级共有40人，此次考试选择题得分情况统计表：
得分(分) 百分率 40 15% 45 10% 50 25% 55 40% 60 10% 现采用分层抽样的方法从此班抽取20人的试卷进行选择题质量分析． (1)应抽取多少张选择题得60分的试卷？
(2)若小张选择题得60分，求他的试卷被抽到的概率．
404解：(1)得60分的人数40×10%＝4.设抽取x张选择题得60分的试卷，则20＝x， 则x＝2，故应抽取2张选择题得60分的试卷．
(2)设小张的试卷为a1，另三名得60分的同学的试卷为a2，a3，a4，所有抽取60分试卷的方法为：(a1，a2)，(a1，a3)，(a1，a4)，(a2，a3)，(a2，a4)，(a3，a4)共6种，其中小张的试31
卷被抽到的抽法共有3种，故小张的试卷被抽到的概率为P＝6＝2.
18．(11分)某中学生物兴趣小组在学校生物园地种植了一批名贵树苗，为了解树苗的生长情况，在这批树苗中随机测量了其中50棵树苗的高度(单位：厘米)，并把所得数据列成了如下表所示的频数分布表： 组别 频数
(1)在这批树苗中任取一棵，其高度在85厘米以上的概率大约是多少？
[40,50) 2 [50,60) 3 [60,70) 14 [70,80) 15 [80,90) 12 [90,100] 4 (2)这批树苗的平均高度大约是多少？(计算时可以用组中值代替各组数据的平均值) (3)为了进一步获得研究资料，若从[40,50)组中移出1棵树苗，从[90,100]组中移出2棵树苗进行试验研究，则[40,50)组中的树苗A和[90,100]组中的树苗C同时被移出的概率是多少？
解：(1)因为[80,90)的组中值是85，所以高度在85厘米以上的树苗棵数约为6＋4＝10. 101
所以在这批树苗中任取一棵，其高度在85厘米以上的概率大约是50＝5＝0.2. (2)树苗的平均高度约为
45×2＋55×3＋65×14＋75×15＋85×12＋95
50＝ 3 690
50＝73.8(厘米)．
(3)记[40,50)组中的树苗为A，B，[90,100)组中的树苗为C，D，E，F，则事件“从[40,50)组中移出1棵树苗，从[90,100]组中移出2棵树苗”中所包含的基本事件是(A，C，D)，(A，C，E)，(A，C，F)，(A，D，E)，(A，D，F)，(A，E，F)，(B，C，D)，(B，C，E)，(B，C，F)，(B，D，E)，(B，D，F)，(B，E，F)，共12个．
其中，满足树苗A，C同时被移出的事件为(A，C，D)，(A，C，E)，(A，C，F)，共3个．
3
所以树苗A和树苗C同时被移出的概率P＝12＝0.25.
19．(12分)(2012·东北三校联考)汽车行业是碳排放量比较大的行业之一．欧盟规定，从2012年开始，将对CO2排放量超过130 g/km(视为排放量超标)的MI型新车进行惩罚．某检测单位从甲、乙两类MI型品牌车中各抽取5辆进行CO2排放量检测，记录如下(单位：g/km)：
甲 乙
经检测发现，乙品牌车CO2排放量的平均值为乙＝120 g/km.
(1)从被检测的5辆甲类品牌车中任取2辆，则至少有一辆CO2排放量超标的概率是多少？
(2)若90＜x＜130，试比较甲、乙两类品牌车CO2排放量的稳定性．
解：(1)从被检测的5辆甲类品牌车中任取2辆，其CO2排放量共有10种不同的结果：80,110；80,120；80,140；80,150；110,120；110,140；110,150；120,140；120,150；140,150.
80 100 110 120 120 x 140 y 150 160 设“至少有一辆CO2排放量超标”为事件A，则事件A包含以下7种不同的结果：80,140；80,150；110,140；110,150；120,140；120,150；140,150.
7
∴P(A)＝10＝0.7.
(2)由题可知，甲＝乙＝120，x＋y＝220.
2
5s甲＝(80－120)2＋(110－120)2＋(120－120)2＋(140－120)2＋(150－120)2＝3 000， 2
5s乙＝(100－120)2＋(120－120)2＋(x－120)2＋(y－120)2＋(160－120)2＝2 000＋(x－120)2＋(y－120)2.
2
∵x＋y＝220，∴5s乙＝2 000＋(x－120)2＋(x－100)2， 令x－120＝t，∵90＜x＜130，∴－30＜t＜10， 2
∴5s乙＝2 000＋t2＋(t＋20)2，
22
∴5s乙－5s甲＝2t2＋40t－600＝2(t＋30)(t－10)＜0， 22
∴s乙＜s甲，∴乙类品牌车CO2排放量的稳定性好．
20．(12分)(2012·福建模拟)某种产品的广告费支出x与销售额y(单位：万元)之间有如下对应数据：
x y
(1)求回归直线方程；
(2)试预测广告费支出为10万元时，销售额多大？
(3)在已有的五组数据中任意抽取两组，求至少有一组数据其预测值与实际值之差的绝52525
对值不超过5的概率.参考数据：xi＝145，yi＝13 500，xiyi＝1 380
2＋4＋5＋6＋825
解：(1)＝5＝5＝5， ＝
30＋40＋60＋50＋70250
5＝5＝50，
2 30 4 40 5 60 6 50 8 70 525
又已知xi＝145，xiyi＝1 380，
b21380－5×5×50
于是可得：^＝2＝145－5×5×5＝6.5，
ab
^＝－^ ＝50－6.5×5＝17.5，
y
因此，所求回归直线方程为^＝6.5x＋17.5.
y
(2)根据上面求得的回归直线方程，当广告费支出为10万元时，^＝6.5×10＋17.5＝82.5(万元)，
即这种产品的销售收入大约为82.5万元． (3)
x y y^
基本事件：(30,40)，(30,60)，(30,50)，(30,70)，(40,60)，(40,50)，(40,70)，(60,50)，(60,70)，(50,70)共10个．
两组数据其预测值与实际值之差的绝对值都超过5有(60,50)，
19所以至少有一组数据其预测值与实际值之差的绝对值不超过5的概率为1－10＝10. 21．(12分) (2012·深圳调研)通过随机询问某校110名高中学生在购买食物时是否看营养说明，得到如下的列联表：
看营养说明 不看营养说明 总计
(1)从这50名女生中按是否看营养说明采取分层抽样的方法抽取一个容量为5的样本，则样本中看与不看营养说明的女生各有多少名？
(2)从(1)中的5名女生样本中随机选取两名作深度访谈，求选到看与不看营养说明的女生各一名的概率；
(3)根据以上列联表，问有多大把握认为“性别与在购买食物时是否看营养说明”有关？ n(ad－bc2
参考公式：K2＝(a＋b(c＋d(a＋c(b＋d，其中n＝a＋b＋c＋d.
男 50 10 60 女 30 20 50 总计 80 30 110 2 30 30.5 4 40 43.5 5 60 50 6 50 56.5 8 70 69.5 参考数据：
P(K2≥k0) k0
5
解：(1)根据分层抽样可得：样本中看营养说明的女生有50×30＝3名，样本中不看营养5
说明的女生有50×20＝2名．
(2)记样本中看营养说明的3名女生为a1，a2，a3，不看营养说明的2名女生为b1，b2，从这5名女生中随机选取2名，共有10个等可能的基本事件：a1，a2；a1，a3；a1，b1；a1，b2；a2，a3；a2，b1；a2，b2；a3，b1；a3，b2；b1，b2.
其中事件A“选到看与不看营养说明的女生各一名”包含了6个基本事件：a1，b1；a1，b2；a2，b1；a2，b2；a3，b1；a3，b2.
63
所以所求的概率为P(A)＝10＝5. (3)根据题中的列联表得K2＝
110×(50×20－30×102539
80×30×60×50＝72≈7.486. 0.10 2.706 0.05 3.841 0.025 5.024 0.010 6.635 0.005 7.879 由P(K2≥6.635)＝0.010，P(K2≥7.879)＝0.005可知，有99%的把握认为“性别与在购买食物时是否看营养说明”有关．
22．(12分)(2012·石家庄模拟)某班甲、乙两名同学参加100米达标训练，在相同条件下两人10次训练的成绩(单位：秒)如下：
甲 乙
(1)请画出适当的统计图；如果从甲、乙两名同学中选一名参加学校的100米比赛，从成绩的稳定性方面考虑，选派谁参加比赛更好，并说明理由(不用计算，可通过统计图直接回答结论)；
(2)从甲、乙两人的10次成绩中各随机抽取一次，求抽取的成绩中至少有一个低于12.8秒的概率；
(3)经过对甲、乙两位同学的若干次成绩的统计，甲、乙的成绩都均匀分布在[11.5,14.5]之间，现甲、乙比赛一次，求甲、乙成绩之差的绝对值小于0.8秒的概率．
1 11.6 12.3 2 12.2 13.3 3 13.2 14.3 4 13.9 11.7 5 14.0 12.0 6 11.5 12.8 7 13.1 13.2 8 14.5 13.8 9 11.7 14.1 10 14.3 12.5
解：(1)甲、乙两人10次训练的成绩的茎叶图：
或频率分布直方图如下：
从统计图中可以看出，乙的成绩较为集中，差异程度较小，所以选派乙同学代表班级参加比赛更好．
(2)设事件A为：甲的成绩低于12.8秒，事件B为：乙的成绩低于12.8秒，则甲、乙两6616
人成绩至少有一个低于12.8秒的概率为：1－10×10＝25.
(3)设甲同学的成绩为x，乙同学的成绩为y，则|x－y|＜0.8，得x－0.8＜y＜0.8＋x，如4.16
图，阴影部分面积即为3×3－2.2×2.2＝4.16，则P(|x－y|＜0.8)＝P(x－0.8＜y＜0.8＋x)＝3×3104＝225.
选修4－1 几何证明选讲
因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容