高考数学专题《运用同构求值》填选压轴题及答案

专题16 运用同构求值 【方法点拨】 含有指对运算的方程称之为超越方程，遇到相关的求值问题,可考虑”同构”,其关键是对已知等式进行变形，使其“结构相同”，然后构造函数利用函数的单调性，最终利用两方程“同解”来求解. 【典型题示例】 例1 (2022·新高考I·22改编)已知函数f(x)exx和g(x)xlnx，存在直线yb，其与两条曲线yf(x)和yg(x)共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标分别为x1，x2，x3，则【答案】2 【分析】由“等高”得bf(x1)f(x2)g(x2)g(x3)，即x13 ． x2ex1x1ex2x2x2lnx2x3lnx3，这样就建立x1，x2，x3间的等量关系，为达到“减元”之目的，需在纷杂的关系中，梳理出e1x1x2lnx2、e2x2x3lnx3两x组关系，发现“指对同现”想“同构”，从而得到x1lnx2，x3e2，代入求解即得解. xx【解析】令f(x)e10得x0 所以函数f(x)在,0上为减函数，在0,上为增函数，且f(x)minf01. 令g(x)1x10得x1 x所以函数g(x)在0,1上为减函数，在1,上为增函数，且g(x)ming11. 故函数f(x)ex和g(x)xlnx有相同的最小值1 x如下图所示，当直线yb过函数f(x)和g(x)的交点时，满足题意， 此时b1，故x10x21x3 2f(x) = e xx1bg(x) = x ln(x) 2x1Ox21x32468由bf(x1)f(1x2)g(x2)g(x3)， 2得e1x1e2x2x2lnx2x3lnx3

xxex1x1ex2x2x即x3lnx3e2x2 x2ex2x2lnx2一方面e1x1x2lnx2，而e1x1e1lne1g(e1) 所以g(x2)g(e1)

又因为0ex11，0x21，且g(x)在0,1上为减函数

x所以x2e1，所以x1lnx2

xxxxxx另一方面，由e2x2x3lnx3，同理可得x3e2

xxx13lnx2ex2 所以x2x2xx再由bf(x2)e2x2和bg(x2)x2lnx2得be2x2x2lnx2

lnx2ex22 据果移项得elnx22x2，所以

x2x2综上，

x132. x2xlog3x1例2 (2022·四川·成都·二检)已知函数f(x)92的零点为x0，则

xxx09(x01) .

【答案】1

log301log9x01，观察期【分析】“据果变形”， 由题意得 92，所以9x0(x01)x0x0x01x0x011log9x019log9log9x01，设g(x)x9x即可. 结构特征，对右侧实施变形

x01x11111log30【解析】由题意得: 92

x0x0x0x011log9x019log9log9x01 ∴9x0(x01)x01x1111设g(x)x9x在(1,)上单增 故有x0log91x01，即9x01 x01∴9x0(x01)1.

例3 (2022·江苏七市三模)已知函数yxex的零点为x1，yxlnx的零点为x2，则 A．x1x20 C．e1lnx20 【答案】BCD

【解析】x1e1x2lnx20，则x1e1lnx2exxlnx2xB．x1x20 D．x1x2x1x21

，

xxx显然f(x)xe单增，故x1lnx2等价于e1x2，则x1x2x1e10，

故A错误；

x因为f(x)xe单增，且f(0)1，故f(x1)0f(0)，则x10

故x1x2x1e10，则B正确；

xex1lnx2x2lnx20，则C正确；

D.x1x2x1x21x1(x21)1x2，因为x2lnx201ln1，故

x21，

x1则x1(x21)1x2x11，而x1e101e，则x11，故D

正确.

5x3例4 已知实数x1，x2满足x1e1e，x2lnx22e，则x1x2______.

【答案】e5

t2【分析】由已知条件考虑将两个等式转化为统一结构形式，令lnx22t,x2e，得到

xtete3，研究函数f(x)xe的单调性，求出x1,t关系，即可求解. 3【解析一】实数x1，x2满足x1e1e，x2lnx22e，

x5x10,x2e2，lnx22t0,x2et2，则tete3，

f(x)xex(x0),f(x)(x1)ex0(x0)，

3所以f(x)在(0,)单调递增，而f(x1)f(t)e，

x1tlnx22,x1x2x2(lnx22)e5.

x3【解析二】对x1e1e两边取自然对数得：lnx1x13，

对x2lnx22e两边取自然对数得：lnx2lnlnx225 （※）

5为使两式结构相同，将（※）进一步变形为：lnx22lnlnx223 设f(x)lnxx，则f(x)110 x所以f(x)在(0,)单调递增，f(x)3的解只有一个.

5∴x1lnx22， ∴x1x2lnx22x2e

点评:两种解法实质相同，其关键是对已知等式进行变形，使其“结构相同”，然后构造函数，

利用函数的单调性，利用是同一方程求解.

例5 已知实数a，b满足3aa7，log333b1b2，则a＋3b＝ ． 【答案】16

【解析】令log333b1c，则bc13c312，即33c3c7 313c31 ，代入log333b1b2可化为3设f(x)3xx7，则f(x)ln33x10，f(x)在R上单增 故f(x)3xx70只有一个零点 所以a3c，即3log333b1a，3a3b1 所以a3ba3a1716.

例6 已知实数x，y满足x2x7，ylog2y228，则xy （ ） A.112 B.28 C.7 D.4

yyyyylog247 【答案】ylog2y228，ylog228，即log27，log224444x设f(x)x2，则f(x)f(log2y)7，且易知其为定义在（0，+∞）上的单增函数 4故xlog2yy，即xyylog228，选B. 4455例6 已知实数x，y满足x12xsinx13，y12ysinx11，则xy（ ）

A.0 B.2 C.4 D.6

【答案】B

【解析】x12xsinx13x12x1sinx11

55y152ysinx11y12y1sinx11

55设f(x)x2xsinx，则f(x1)1，f(y1)1

则f(x)5x2cosx0，且f(x)(x)2(x)sin(x)f(x)， 故f(x)为定义在R上的单增函数，且f(x1)f(y1)0 所以(x1)(y1)0，即xy2，选B.

45【巩固训练】

1.已知、分别是方程x5x10、x2.已知实数x、y满足x的值是 . 3.方程3x132x33x40的根是 . 4.已知实数a，b(0，2)，且满足ab4225x10的根，则＋的值是 .

x21yy211，则x23xy4y26x6y20204a24b，则a＋b的值为_______． b2x5.设方程x2x4的根为m，方程xlog24的根为n，则mn= .

6.已知a3－3a2＋5a＝1，b3－3b2＋5b＝5，那么a＋b的值是 .

x7. 若x1满足2x+2=5， x2满足2x+2log2(x－1)=5， x1+x2＝ ( )

A.

57 B.3 C. D.4 22

【答案或提示】

1.【答案】－1

54【提示】设f(x)xx1，则f(x)5x10，f(x)单增.

由10，

55555510得5 5代入10得2.【答案】2020

10，即10，得＋＝－1.

【提示】两边取自然对数得lnxx21lnyy210

设f(x)lnxx21，则易得其为R上的单增奇函数 所以xy0，

故x3xy4y6x6y2020(xy)(x4y)6(xy)20202020. 3.【答案】224 3【分析】利用“同构”构造函数，再利用函数的单调性. 【解析】原方程可化为3x1x132x32x30 设f(x)3xx，易得其为R上的单增奇函数

所以x12x30，x4.【答案】2

【分析】将ab4224即为所求. 342xa2a22bfxx224b化为：，设，a2(2b)2b2则fx在0,2上递增，由【解析】由ab422faf2b，得a＋b的值.

4a2a2b224ba22(b2)，化简为：，即b2a22a(2b)222b，

设fxx2，则fx在0,2上递增，因为a，b(0，2)，所以2-b(0，2)，

2x且

faf2b，所以a2b，即ab2.

5.【答案】4 6.【答案】2

【解析】由题意知a3－3a2＋5a－3＝－2，b3－3b2＋5b－3＝2，

设f (x)＝x3－3x2＋5x－3，则f (a)＝－2，f (b)＝2. 因为f (x)图象的对称中心为(1,0)，所以a＋b＝2.

点评：本题的难点在于发现函数的对称性，对于三次函数f (x)y＝ax3＋bx2＋cx＋d其对称中

心为(x0，f (x0))，其中f ″(x0)＝0. 7. 【答案】C