全国大联考2020届高三4月联考 理数

全国大联考2020届高三4月联考

理科数学试卷

注意事项：

1．考试前，请务必将考生的个人信息准确的输入在正确的位置。 2．考试时间120分钟，满分150分。

3．本次考试为在线联考，为了自己及他人，请独立完成此试卷，切勿翻阅或查找资料。 4．考试结束后，本次考试原卷及参考答案将在网上公布。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的。 1. 不等式1−10成立的充分不必要条件是 xA. x1 B. x−1 C.x−1或0x1 D. −1x1 2. 复数z=1+2i的共轭复数是𝑧，则z·𝑧=

A. √3 B. 3 C. 5 D. √5

3. 已知随机变量X~N(2,2)，若P（1X3)=0.36，则P（X3)=

A．0.64 B．0.32 C．0.36 D．0.72

4. 设m,n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，由下列四个命题，其中正确的是

A. 若m⊥α，m⊥n，则n∥α B. 若m∥α，n∥α，则m∥n C. 若α∥β，m⊂ α，则m∥β D. 若m∥β，m ⊂ α，则α∥β 5. 已知sinA.

3−=−，则cos+=

233233 B. − 2211C. D. -

226. 如图是某高校用于计算500名学生某学科（满分为100分）

期末考试及格率q的程序框图，图中空白框内应填入 A. q=N B. q=M

MNC. q=N D. M

q=M+NM+N7. 右图是某几何体的三视图，该几何体的体积为

理科数学试卷 第 1 页（共 4 页） 20·LK4·QG

A. C.

113

12

B.

612

1

D.

x−y08. 设不等式组2x−y+20表示的平面区域为m，则

x1A. m的面积为 B. m内的点到x轴的距离有最大值 C. 点A(x,y)在m内时，

231392

x

＜2 D. 若点p(x0,y0)∈m，则x0+y0≠2 x+2

11a=,b=9. 已知,c=log3，则a,b,c的大小关系为

34A. abc B. acb C. cab D. cba

10. 函数y=f(x)的定义域为R，且φ(x)-f(x)-f(x+a)，对任意a＜0，φ(x)在R上是增函数，则函数y=f(x)的图象可以是

A B C D

x2y211. 双曲线E:2−2=1(a0,b0)的左，右焦点分别为F1，F2，过F1作一条直线与

ab两条渐近线分别相交于A，B两点，若F1B=2F1A，F1F2=2OB，则该双曲线的离心率为 A．2

B．3 C．2

D．3

12. 已知函数f(x)=alnx+(a-1)x2+1(a＜0)，在函数f(x)图象上任取两点A，B，若直线AB的斜

率的绝对值都不小于5，则实数a的取值范围是 A.（-∞，0） B.（-∞，

2-3√64

） C.（-∞，-

2-3√64

） D.（

2-3√64

，0）

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13. 已知(3x-1)5=a0+a1x+a2x2+……+a5x5，则a1+a3+a5=

）14. 已知P是抛物线y=4x上的动点，A（2,15，若点P到y轴的距离为d1，点P到

点A的距离为d2，则d1+d2的最小值是_________.

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215. 已知定义在实数集R上的函数f(x)满足f(1)=0，且f(x)的导函数f’(x)满足f’(x)+1＜0，则

不等式f(lnx)+lnx＞1的解集为_______.（结果用区间表示） 16. 如图,点P是正方形ABCD-A1B1C1D1外的一点,过点P作

直线l,记直线l与直线AC1，BC的夹角分别为1，2，若sin(1−50)=cos(140−2)=线l有 条。

三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考

题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：（共60分）

17.（12分）在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且csinA=3acosC. （1）求角C的值;

（2）若S△ABC=23,a+b=6,求c的值.

18.（12分）现有甲、乙两种不同规格的产品,其质量按测试指标分数进行划分,其中分数不小于82分的为合格品,否则为次品.现随机抽取两种产品各100件进行检测,其结果如下:

测试指标分数 甲产品 乙产品 [70,76) 8 7 [76，82) 12 18 [82,88) 40 40 [88,94) 32 29 [94,100) 8 6 1，则满足条件的直2（1）根据以上数据,完成右边的2×2列联表,并

甲产品 乙产品 合计 判断是否有95%的有把握认为两种产品的质量有

合格品 明显差异？

次品 （2）已知生产1件甲产品,若为合格品,则可盈

利40元,若为次品,则亏损5元;生产1件乙产品,若为合格品,则可盈利50元,若为次品,则亏损10元.记X为生产1件甲产品和1件乙产品所得的总利润,求随机变量X的分布列和数学期望（将产品的合格率作为抽检一件这种产品为合格品的概率） 参考公式：K2=n(ad−bc)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)0.15 2.702 0.10 2.706 0.05 3.841 0.025 5.024 0.010 6.635 0.005 7.879 0.001 10.828 k0 P(K2≥k0) 19.（12分）如图所示的多面体中，底面ABCD为正方形，△GAD为等边三角形，BF⊥平面ABCD，∠GDC＝90°，点E是线段GC上除两端点外的一点． （1）若点P为线段GD的中点，证明：AP⊥平面GCD； （2）若二面角B－DE－C的余弦值为

√7

，试通过计算说明点E的位置． 7

理科数学试卷 第 3 页（共 4 页） 20·LK4·QG

x2y220.（12分）设F1,F2分别是椭圆E:+2=1的左、右焦点,若P是该椭圆上的一个动

4b点, PF1PF2的最大值为1. （1）求椭圆E的方程;

（2）设直线l:x=ky−1与椭圆交于不同的两点A,B?,且AOB为锐角(其中O 为坐标原点),求k的取值范围.

21.（12分）已知函数f(x)=x2−8x+alnx(aR)

（1）当x=1时, f(x) 取得极值,求a的值并判断x=1?是极大值点还是极小值点 （2）当函数f(x) 有两个极值点x1,x2(x1x2),且x11时,总有立,求t的取值范围.

（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题做答。如果多做，则按所做的第一题记分。

22.【选修4-4：坐标系与参数方程】（12分）

alnx1t(4+3x1−x12)成1−x11x=t2在平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为 (t为参数).以坐标原点为极

y=1−3t2点, x轴正半轴为极轴建立极坐标系,圆C的极坐标方程为p=2sin （1）判断直线l与圆C的交点个数

（2）若圆C与直线l交于A,B两点,求线段AB的长度

23.【选修4-5:不等式选讲】（12分） 已知函数f(x)=x−5−x+3. （1）解不等式f(x)x+1;

（2）记函数f(x)的最大值为m ,若a0,b0,eae4b=e4ab−m,求ab的最小值.

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秘密★考试结束前 [考试时间：2020年4月2日 15:00~17:00]

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理科数学参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.

题号 答案 1 A 2 C 3 B 4 C 5 C 6 D 7 D 8 C 9 D 10 A 11 C 12 B 12.【解析】f’(x)=

2(a-1)x2+a

x

＜0，f(x)在（0, +∞）单调递减.

A(x1,y1), B(x2,y2)，|

f(x1)-f(x2)x1-x2

|≥5.

设x1＞x2＞0，则f(x1)≤f(x2)+5x2，

设g(x)= f(x)+5x，则g(x)在(0, +∞)上单调递减， 则g’(x)=

2(a-1)x2+5x+a

x

≤0对x∈(0, +∞)恒成立.

则2(a-1)x2+5x+a对x∈(0, +∞)恒成立，则△≤0，即8a2-8a-25≥0, 解得a≤

2-3√64

或a≥

2+3√64

.又a＜0，所以a≤2-3√64

.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．528 14．315．(0, e) 16．4

三、解答题：共70分． 17.（12分）

解：（1）在△ABC中, csinA=3acosC,

∴结合正弦定理得sinCsinA=3sinAcosC, ∵0Aπ,∴sinA0, ∴sinC=3cosC, 又∵sinC0, ∴tanC=3,∴C=π. 3π, 3（2）∵S△ABC=23,C= 理科数学参考答案 第 1 页（共 7 页） 20·LK4·QG

∴

1absinC=23, 2∴ab=8, 又a+b=6,

∴c2=a2+b2−2abcosC

=(a+b)−2ab−2abcosC

2=36−16−8=12.

∴c=23. 18.（12分） 解：（1）列联表如下:

合格品 次品 合计 甲产品 80 20 100 2乙产品 75 25 100 合计 155 45 200 K2=200(8025−7520)100100155450.7173.841

∴没有95%的有把握认为两种产品的质量有明显差异 （2）依题意,生产一件甲,乙产品为合格品的概率分别为

随机变量X可能取值90,45,30,-15

43,, 54133P(X=45)==

5420P(X=30)=411= 545111P(X=−15)==

5420X的分布列为:

X P ∴E(X)=9090 45 30 -15 3 53 201 51 203311+45+30−15=66 520520 理科数学参考答案 第 2 页（共 7 页） 20·LK4·QG

19.（12分）

解：（1）因为△GAD是等边三角形，点P为线段GD的中点，故AP⊥GD，

因为AD⊥CD，GD⊥CD，且AD∩GD＝D，故CD⊥平面GAD， 又AP⊂平面GAD，故CD⊥AP， 又CD∩GD＝D，故AP⊥平面GCD.

（2）取AD的中点O，以OA所在直线为x轴，过O点作平行于AB的直线为y轴，OG所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

→

设AD＝2，则G(0,0，3)，C(－1,2,0)，故GC＝(－1,2，－3)， →→

设GE＝λGC＝(－λ，2λ，－3λ)(0<λ<1)， 故E＝(－λ，2λ，3－3λ). 又B(1,2,0)，D(－1,0,0)，C(－1,2,0)，

→→

故DE＝(1－λ，2λ，3－3λ)，BD＝(－2，－2,0)， →m·DE＝0，

设m＝(x，y，z)为平面BDE的法向量，则

→m·BD＝0，

(1－λ)x＋2λy＋(3－3λ)z＝0，

故 x＋y＝0，

令x＝1，故y＝－1，z＝故m＝1，－1，

3λ－1

，

3－3λ



3λ－1

为平面BDE的一个法向量.

3－3λ

33→

由(Ⅰ)可知，AP＝－，0，为平面DEC的一个法向量，

227→

故|cos〈m，AP〉|＝，即

7

－3＋(3λ－1)22(1－λ)

3·

3λ－17

＝，令＝t，则

1－λ(3λ－1)27

3·2＋

3(1－λ)2

－3＋t22

1＝， t272＋

3

171

t2－14t＋13＝0，t＝1或13，解得λ＝2或8，经检验知λ＝2， 此时点E为线段GC的中点.

20.（12分）

解：（1）由题易知𝑎=2 ,c=4−b2,b24,

所以F1−4−b2,0,F2()(4−b2,0,

) 理科数学参考答案 第 3 页（共 7 页） 20·LK4·QG

设P(x,y),则PF1PF2=−4−b2−x,−y()(b22b2x224−b−x,−y=x+y−4+b=x+b−−4+b=1−x+2b2−4,

442)22222因为x−2,2,故当x2,即点P为椭圆长轴端点时, PF1PF2有最大值1,

b2即1=1−4+2b2−4,解得b2=1,

4x2+y2=1。 故所求的椭圆方程为411（2）设A(x1,y1),B(x2,y2),由x1,

3e得y1+y2=22k−3,, yy=1222k+4k+4=(2k)+12(4+k2)=16k2+480,

因为AOB为锐角,所以cosAOB0, 所以OAOB=x1x2+y1y20,

又x1x2+y1y2=1+k2y1y2−k(y1+y2)+1

()−32k2=(1+k)−+1

4+k24+k2−3−3k2−2k2+4+k2=

4+k21−4k2=0, 24+k2所以k2111,解得−k, 422所以k的取值范围是−21.（12分）

11,。 222x2−8x+a6 解：（1）f'(x)=(x0),f'(1)=0,则a= x2(x−1)(x−3)从而f'(x)=为增函数; (x0),所以x(0,1)时, f'(x)0,f(x) xx(1,3)时, f'(x)0,f(x) 为减函数,所以x=1为极大值点.

（2）函数f(x) 的定义域为(0,+),有两个极值点x1,x2(x1x2),

理科数学参考答案 第 4 页（共 7 页） 20·LK4·QG

则t(x)=2x2−8x+a=0在(0,+)上有两个不等的正实根, 所以0a8,

x1+x2=4a0x12由x1x2=可得

a=2x4−x2()11x1x2从而问题转化为在0x12,且x11时即证

alnx1t(4+3x1−x12)成立. 1−x12x1(4−x1)lnx11−x1t(4+3x1−x12)成立.

即证

2x1lnx1t(x1+1) 1−x1t(x12−1)2x1lnx1x12lnx1+0. −t(x1+1)0亦即证即证

1−x11−x1x1①令h(x)=2lnx+t(x2−1)xtx2+2x+t(0x2) (0x2)则h'(x)=x2(i)当t0时, h(x)0,则h(x)在(0,2)上为增函数且h(1)=0, ①式在(1,2)上不成立. (ii)当t0时,△=4−4t2 若△0,即t−1时, h'(x)0,

tx12−1x1所以h(x)在(0,2)上为减函数且h(1)=0,、2lnx1+在区间(0,1)及

x11−x1()(1,2)上同号,故①式成立.

1若0,即−1t0时, y=tx2+2x+t的对称轴x=−1,

t1令a=min−,2,则1xa时, h(x)0,不合题意.

t综上可知: t−1满足题意.

（二）选考题（10分） 22.（12分）

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1x=t2解:（1）∵直线l的参数方程为 (t为参数).

y=1−3t2∴消去参数t得直线l的普通方程为3x+y−1=0, ∵圆C的极坐标方程为p=2sin,即p2=2psin,

∴由p2=x2+y2,psin=y,得圆C的直角坐标方程为x2+y2−2y=0. ∵圆心(0,1)在直线l上, ∴直线l与圆C的交点个数为2 （2）由（1）知圆心(0,1)在直线l上, ∴AB为圆C的直径,

∵圆C的直角坐标方程为x2+y2−2y=0. ∴圆C的半径r=14=1, 2∴圆C的直径为2,

AB=2

23.（12分）

解:（1）当x−3时,由5−x+x+3x+1,得x7, 所以x−3;当−3x5时, 由5−x−x−3x+1,得x11,所以−3x; 331, 3当x5时,由x−5−x−3x+1, 得x−9,无解.综上可知, x即不等式f(x)x+1的解集为−,.

31（2）因为x−5−x+3x−5−x−3=8, 所以函数f(x)的最大值m=8.应为eae4b=e4ab−8, 所以a+4b=4ab+8.

理科数学参考答案 第 6 页（共 7 页） 20·LK4·QG

0,b0,

+4b24ab=4ab, ab−2−ab0,又ab0, ab2,ab4, 的最小值为4

理科数学参考答案 第 7 页（共 7 页）20·LK4·QG

又a所以a所以有所以即ab